1、9三角函数的简单应用考纲定位重难突破1.了解三角函数知识在实际生活中的应用2.会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.重点：建立三角函数模型刻画实际问题并解决实际问题难点：三角函数模型的选择与建立.授课提示：对应学生用书第26页自主梳理建立三角函数模型的步骤双基自测1某人的血压满足函数关系式f(t)24sin 160t110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()A60B70C80D90解析：T，f80.答案：C2.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s6sin(2t)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A2
2、 s B s C0.5 s D1 s解析：2，T1.答案：D3电流I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)(A0，0,0)的图像如图所示，则当t秒时，电流是()A5安 B5安C5安 D10安解析：由题图知A10，T，100，把(，10)代入解析式求得.当t时，I10sin(100)5.答案：A授课提示：对应学生用书第27页探究一三角函数实际应用典例1据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在64元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波动(x为月份)已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)f(x2)2.(1)分别写出
3、该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；(2)哪几个月能盈利？解析(1)f(x)Asin(x)B，由题意可得A2，B6，所以f(x)2sin(x)6(1x12，x为正整数)g(x)2sin(x)8(1x12，x为正整数)(2)由g(x)f(x)得sinx，2kx2k，kZ，8k3x8k9，kZ，1x12，kZ，k0时，3x9，x4,5,6,7,8；k1时，11x17，x12.x4,5,6,7,8,12.故4,5,6,7,8,12月份能盈利面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，这个过程并不神秘，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个
4、过程就是数学建模的过程1已知某地一天从416时的温度变化曲线近似满足函数y10sin20，x4,16(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差(2)若有一种细菌在15 到25 之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？解析：(1)由函数易知，当x14时，函数取得最大值，此时最高温度为30 ， 当x6时，函数取得最小值，此时最低温度为10 ，所以最大温差为30 10 20 .(2)令10sin2015，得sin，因为x4,16，所以x.令10sin2025，得sin.因为x4,16，所以x.故该细菌能存活的最长时间为(小时)探究二三角函数在物理学中的应用典例2交流电的电压E(单位：V
5、)与时间t(单位：s)的关系可用E220sin(100t)来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解析(1)当t0时，E110(V)，即开始时的电压为110 V.(2)T(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 V，当100t，即t(s)时第一次取得最大值由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合函数yAsin(x)b(A0，0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象 2已知电流与时间t的关系式为IAsin(t)，(1)如图是IAsin(t)(0，|)在一个周期
6、内的图像，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解析：(1)由题图可知A300，设t1，t2，则周期T2(t2t1)2()，150，又当t时，I0，即sin(150)0，150k(kZ)|，.故所求的解析式为I300sin(150t)(2)依题意，周期T，即(0)300942，N.故的最小正整数值为943.探究三三角函数在航海与测量中的应用典例3受日月的引力，海水会发生涨落这种现象叫做潮汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋某港口水的深度y(米)是时间t(0t24
7、，单位：时)的函数，记作yf(t)，下面是某日水深的数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，yf(t)的曲线可以近似地看成函数yAsin tb的图像(1)试根据以上数据，求出函数yf(t)的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?解析(1)由已知数据，易知函数yf(t)的周期T12，振幅A3
8、，b10，所以y3sin 10，t0,24(2)由题意知，该船进出港时，水深应不小于56.511.5(米)，所以3sin 1011.5，所以sin .解得2kt2k(kZ)，12k1t12k5(kZ)在同一天内，取k0或1，所以1t5或13t17.所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，它至多能在港内停留16小时解决此类问题，关键是找出问题的本质，转化为数学问题解决3如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8 m，圆环的圆心O距离地面的高度为10 m，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处(1)试确定在时刻t(min)时蚂蚁距离地面的高度h(m)
9、；(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面不低于14 m?解析：(1)设在时刻t(min)时蚂蚁达到点P，则以Ox为始边，OP为终边的角的大小为tt，故P点的纵坐标为8sin，则h8sin10108cos t，所以在t时刻蚂蚁距离地面的高度h108cos t(t0)(2)由(1)知h108cos t.令108cos t14，可得cos t，所以2kt2k(kZ)，解得412kt812k(kZ)，又0t12，所以4t8.即在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4 min蚂蚁距离地面不低于14 m.转化与化归思想典例下表是芝加哥19511981年月平均气温(华氏).月份123456月均气温21
10、.426.036.048.859.168.6月份789101112月均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x月份1，以平均气温为y轴(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据；(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A；(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据cos；coscos；sin.解析(1)(2)如图所示(3)1月份的气温最低为21.4,7月份的气温最高为73.0，根据图知，716，所以T12.(4)2A最高气温最低气温73.021.451.6，所以A25.8.(5)因为x月份1，所以不妨取x211，y26.0，代入，得1cos ，所以错误；代入，得0cos ，所以错误；同理错误，所以四个模型中最适合这些数据感悟提高(1)利用三角函数的周期能够建立三角函数模型解决一些简单问题，其实施的过程就是转化与化归根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型(2)三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意的几点反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质；充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量；结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论
