1、广东省佛山市南海区2020届高三数学下学期3月综合能力测试试题 文（含解析）本试卷4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷的规定位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置.上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考
2、生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集与补集的定义求解即可【详解】解：，集合，又，故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集与补集运算，属于基础题2.复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.【详解】设,则,所以复数在复平面内所对应的点为,在第二
3、象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.3.下列函数中，既是偶函数又在区间上是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据偶函数和减函数的定义对选项一一判断即可得出答案【详解】解：A，是偶函数，但在上是增函数，故A错；B，是偶函数，在上是减函数，故B对；C，是偶函数，但在上是增函数，故C错；D，偶函数，但在上是增函数，故D错；故选：B【点睛】本题主要考查偶函数与减函数的定义及判断，属于基础题4.抛物线的准线与轴交点为，过点与抛物线相切的直线方程为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】先求出点的
4、坐标，设切点坐标为，利用导数求切线方程【详解】解：由题意，抛物线的准线为，则，由得，求导得，设切点坐标为，则，解得，切线斜率为，切线方程为，即或，故选：D【点睛】本题主要考查过点的曲线的切线方程，属于基础题5.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断的奇偶性,即可排除B,C；再由,即可排除D.【详解】由题,显然定义域为,设,则,所以函数是奇函数,其图象关于原点对称,排除B,C；且当时,排除D,故选:A【点睛】本题考查图象的识别,考查函数奇偶性的应用,属于基础题.6.已知数列的前项和（，），则“”是“数列为等比数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充
5、分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由可得：，结合等比数列定义即可得到结果【详解】解：，当n2时，anSnSn1（）（）， 又，当n2时，数列为等比数列，要使数列为等比数列，则 即 ，；反之，显然，又，数列等比数列，“”是“数列为等比数列”的充要条件故选C【点睛】本小题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、等比数列等基础知识，考查运算求解能力与转化思想属于基础题7.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项
6、是基本音，其余的为泛音由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波下列函数中不能与函数构成乐音的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.8.把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象给出以下四个命题的一个周期为；的值域为；的一条对称轴是；的一个对称中心是其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据降
7、幂公式化简函数，再得到函数的解析式，再根据三角函数的性质判断各命题【详解】解：由题意得，则，函数的最小正周期，则它的周期为，对；，的值域为，对；由得函数的对称轴是，对；由得函数的对称中心是，对；正确的命题有4个，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题9.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A
8、. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.【详解】由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,所以所求概率,故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.10.已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查
9、三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.11.若的解集非空且最多有3个正整数根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由得，令，利用导数研究其单调性与最值，由此可得出结论【详解】解：由得，令，则，由得，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，又，的解集非空且最多有3个正整数根，故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查推理能力与计算能力，属于难题12.已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得；由过点所作的
10、圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.【详解】,所以离心率,又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量，且满足，则_.【答案】；【解析】【分析】由题意得，代入坐标进行计算即可【详解】解：，又，即，故答案为：【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题14.在中，则_.【答案】；【解析】【分析】先根据内角和求出，再利用正
11、弦定理求解即可【详解】解：，又，由正弦定理得，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题15.在棱长为1的正方体中，点是底面内的动点，则动点的轨迹的面积为_，动线段的轨迹所形成几何体的体积是_. 【答案】 (1). (2). ；【解析】【分析】由题意得点的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆和圆的内部，再根据扇形的面积公式以及圆锥的体积公式求解即可【详解】解：，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆和圆的内部，的轨迹的面积为，的轨迹所形成几何体为个圆锥，其体积为，故答案为：；【点睛】本题主要考查扇形的面积公式与圆锥的体积公式，属于基础题16.点在曲线：上，过作轴垂线，设与曲线交于点，若
12、，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为_.【答案】2.【解析】【分析】设，得，得，令，利用导数得单调性与最值，从而得出结论【详解】解：设，则直线的方程为，由题意得，令，则，由得，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得最小值，且，函数有两个零点，则曲线上的“水平黄金点”的个数为2，故答案为：2【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的的单调性与最值，属于难题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题（60分）17.已知数列满足
13、，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用累加法可求得答案；（2）由（1）可知，利用放缩，再根据裂项相消法即可得出证明【详解】（1）解：因为，所以因为，所以；（2）证明：由（1）可知.因为，所以【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题18.在四棱锥中，平面平面. （1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在；详见解析【解析】分析】（1）取中点为，连接，可得，再由平面平面可得，则，由此可得结论；（2）任取上一
14、点，连接，过作直线平行于交于，连接，则，假设平面，可得与已知矛盾，由此得出结论【详解】（1）证：取中点为，连接， 因为，所以，因为平面平面且相交于，所以平面，所以，因为，所以，因为在平面内，所以，所以；（2）不存在.理由如下：任取上一点，连接，过作直线平行于交于，连接，则.假设平面，所以，因为，所以四边形为平行四边形.所以与已知矛盾.所以棱上不存在点，使平面【点睛】本题主要考查面面垂直的判定与性质，考查线面平行的判定与性质，属于中档题19.为了调查“双11”消费活动情况，某校统计小组分别走访了、两个小区各20户家庭，他们当日的消费额按，分组，分别用频率分布直方图与茎叶图统计如下（单位：元）：（
15、1）分别计算两个小区这20户家庭当日消费额在的频率，并补全频率分布直方图；（2）分别从两个小区随机选取1户家庭，求这两户家庭当日消费额在的户数为1时的概率（频率当作概率使用）；（3）运用所学统计知识分析比较两个小区的当日网购消费水平.【答案】（1）频率为；作图见解析（2）（3）A小区当日网购的平均消费水平比B小区高，且消费水平的分化程度比B小区小【解析】【分析】（1）利用频率之和为1以及频率的计算公式即可求得答案；（2）由题意可知，当日消费额均在的概率分别为，再根据条件概率的计算公式求解即可；（3）利用平均消费水平比较即可【详解】解：（1）A小区这20户家庭当日消费额在的频率为，B小区这20户
16、家庭当日消费额在的频率为，补全频率分布直方图如下（2）由题意可知，分别从两个小区随机选取1户家庭，当日消费额均在的概率分别为，分别从两个小区随机选取1户家庭，这两户家庭当日消费额均在的户数为为事件，则；（3）A小区当日网购的平均消费水平比B小区高，且消费水平的分化程度比B小区小【点睛】本题主要考查频率分布直方图与茎叶图的应用，属于基础题20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，点与点关于坐标原点对称连接求证：存在实数，使得成立【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由点可得,由,根据即可求解；（2）设直线的方程为,联立可得,设,由韦
17、达定理可得,再根据直线的斜率公式求得；由点B与点Q关于原点对称,可设,可求得,则,即可求证.【详解】解:（1）由题意可知,又,得,所以椭圆的方程为（2）证明:设直线的方程为，联立,可得,设,则有,因为,所以,又因为点B与点Q关于原点对称,所以,即,则有,由点在椭圆上,得,所以,所以,即，所以存在实数,使成立【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线的斜率公式的应用,考查运算能力.21.已知（1）当时，判断函数的单调性；（2）记，若存在实数，使直线与函数的图象交于不同的两点，求证：.【答案】（1）在递增（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当时，利用二阶导可得，由此可得答案；（2）由题意得存在且使
18、，即，结合条件得，令，利用导数可得，由此得，从而求得答案【详解】（1）解：当时，所以在递增，所以，所以在递增；（2）证：，存在实数，使直线与函数的图象交于不同的两点，即存在且使，由可得：，因为，由（1）可知，可得：，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，则，所以，可得，所以【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与能成立问题，考查转化与化归思想，属于难题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的极坐标方程；（2）点
19、是曲线上的一点，试判断点与曲线的位置关系【答案】（1）（2）点在曲线外【解析】【分析】（1）先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；（2）由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.【详解】（1）由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即（2）由题,点是曲线上的一点,因为,所以,即,所以点在曲线外.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.23.已知，且（1）请给出的一组值，使得成立；（2）证明不等式恒成立【答案】（1）（答案不唯一）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）找到一组符合条件的值即可；（2）由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证.【详解】解析:（1）（答案不唯一）（2）证明:由题意可知,因为,所以.所以,即.因为,所以,因为,所以,所以.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.
