1、7.3球课时过关能力提升1.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么它的体积扩大到原来的()A.2倍B.22倍C.2倍 D.32倍解析:设球原来的半径为r,则表面积S=4r2,体积V=43r3,又设扩大后球的半径为R,则4R2=8r2,R=2r,扩大后球的体积V扩=43R3=43(2r)3=2243r3=22V,V扩V=22.答案:B2.棱长为a的正方体内有一个球,且与这个正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为()A.6a3 B.4a3C.23a3 D.24a3解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为r,则r=22a,球的体积V=4322a3=23a3.答案:C3.如图所示,用一
2、个边长为2的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为43的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为()A.62+32 B.32C.22+32 D.32+32解析:由题意可得,蛋巢的底面是边长为1的正方形,则经过4个小三角形的顶点截鸡蛋(球)所得的截面圆的直径为1.鸡蛋的体积为43,鸡蛋的半径为1,球心到截面圆的距离为1-122=32.垂直折起的4个小直角三角形的高为12,故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为32+1+12=32+32.答案:D4.从点M出发的三条射线MA,MB,MC两两成60,且分别与球O相切于A,B,C三点,若球的体积为3
3、23,则OM=()A.23 B.6 C.26 D.1解析:连接AB,BC,AC,连接OM交平面ABC于点O,由题意可得ABC和MAB为正三角形,所以OA=3AB3=3AM3.因为AOMO,OAMA,所以OMOA=AMAO,所以OM=OAAMAO=3OA.又球的体积为323,所以半径OA=2,所以OM=23.答案:A5.如图所示,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,那么球的体积为()A.5003 cm3 B.8663 cm3C.1 3723cm3 D.2 0483 cm3解析:设球半
4、径为R cm,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm,球心到截面的距离为(R-2) cm.所以由42+(R-2)2=R2,得R=5,所以球的体积为V=43R3=4353=5003 cm3,故选A.答案:A6.半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.56 B.62C.2D.512解析:作过正方体对角面的截面如图,设半球的半径为R,正方体的棱长为a,那么CC=a,OC=2a2.在RtCCO中,由勾股定理,得CC2+OC2=OC2,即a2+22a2=R2,R=62a.从而V半球=23R3=2362a3=62a3.V正方体=a3.因此V半球V正方体=
5、62a3a3=62.答案:B7.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d3169V.人们还用过一些类似的近似公式.根据=3.141 59判断,下列近似公式最精确的一个是()A.d3169V B.d32VC.d3300157V D.d32111V解析:由球的体积公式得d=36V31.909 860 93V.因为1691.777 777 78,3001571.910 828 03,21111.909 090 91,所以2111最接近于6,故选D.答案:D8.公元前3世纪,古希
6、腊欧几里得在几何原本里提出:“球的体积(V)与它的直径(D)的立方成正比”.此即V=kD3,欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解,他们将体积公式V=kD3中的常数称为“立圆率”或“玉积率”.类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)、正方体也可利用公式V=kD3求体积(在等边圆柱中,D表示底面圆的直径;在正方体中,D表示棱长).假设运用此体积公式求得球(直径为a)、等边圆柱(底面圆的直径为a)、正方体(棱长为a)的“玉积率”分别为k1,k2,k3,则k1k2k3=.解析:设V1,V2,V3分别为球、等边圆柱、正方体的体积,则V1=43a23=6a3,k1=6,
7、V2=a22a=4a3,k2=4,V3=a3,k3=1,从而k1k2k3=641.答案:6419.据说伟大的阿基米德去世以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑.在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.则图形中圆锥、球、圆柱的体积比为.解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=r2h,圆锥的底面半径为r,高为h,则V圆锥=13r2h,球的半径为r,所以V球=43r3.又h=2r,所以V圆锥V球V圆柱=13r2h43r3(r2h)=23r343r3(2r3)=123.答案:12310.设四面体的各条棱
8、长都为1,若该四面体的各个顶点都在同一个球面上,求该球的表面积.解如图所示,由已知四面体的各条棱长都为1,得各个面都是边长为1的正三角形,过点A作AO平面BCD于点O,连接BO.在RtAOB中,AB=1,BO=3223=33,所以AO=1-13=63.设球的半径为R,球心为O1,则O1在线段AO上,OO1=AO-R=63-R,O1B=R,BO=33,在RtO1OB中,O1B2=OB2+OO12,即R2=332+63-R2,解得R=64.所以球的表面积S=4R2=32.11.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球的半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球的表面积与体积.解如图所示
9、,设球心为O,球的半径为R,作OO1平面ABC于O1,由于OA=OB=OC=R,则O1是ABC的外心.设M是AB的中点,由于AC=BC,则O1CM.设O1M=x,易知O1MAB,则O1A=22+x2,O1C=CM-O1M=62-22-x.又O1A=O1C,所以22+x2=62-22-x.解得x=724.则O1A=O1B=O1C=924.在RtOO1A中,O1O=R2,OO1A=90,OA=R.由勾股定理,得R22+9242=R2.解得R=362.故S球=4R2=54,V球=43R3=276.12.在棱长为2R的正方体容器内装满水,先把半径为R的球放入水中,然后放入一球,使它淹没在水中,且使溢出
10、的水最多,问这个球的半径应是多少?并计算放入这两个球后溢出的水量与容器容量的比值.解设半球为R的球的球心为O,另一个球的球心为O1,半径为r,过正方体的对角面的截面图如图所示.由正方体的性质可知,四边形AA1C1C为矩形,点O是AC1的中点,欲使第二个球放入后溢出的水最多,则其球心O1也在AC1上,且OQAC于点Q,O1PAC于点P.设两球外切于点E,则APO1AQO,PO1AO1=QOAO. CC1=2R,AC=22R,AC1=CC12+AC2=23R,rAO1=R12AC1, r=33AO1=33(AE-r).又AE=AO-R=(3-1)R,r=(2-3)R,43R3+43(2-3)3R3(2R)3=9-532. 即放入的另外一球的半径为(2-3)R,放入这两个球后溢出的水量与容器容量的比值为9-532.
