1、第十四章 第一讲 选修2 时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1设f(x)在xx0处可导，且 1，则f (x0)()A1B0C3D.答案：D解析：因为 33f (x0)1，所以f (x0).故选D.2在下列求导运算中，正确的是()A(sinx3x3)(sinx)(3)(x3)B()C(cotx)D()答案：C解析：(cotx)()；故选C.3(2009保定市高三年级调研)曲线yx3x在点(1，)处的切线的斜率为()A B0 C1 D1答案：B解析：yx3x，yx21，y|x1110，故选B.4一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是(
2、)A0秒 B1秒末C2秒末 D1秒末和2秒末答案：D解析：根据导数的物理意义，st23t2，令s0，得t1或t2.故选D.5(2009全国)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2 C1 D2答案：B解析：对yln(xa)求导得y，设切点为(m，n)，则切线斜率为1，ma1，nln(ma)ln10，再由(m，n)在直线yx1上得m1，从而得a2.故选B.6(2009全国)曲线y在点(1,1)处的切线方程为()Axy20 Bxy20Cx4y5 Dx4y50答案：B解析：y()，y|x11，切点坐标为(1,1)，切线方程为y1(x1)，即xy20.7若函数f(x)x3f (
3、1)x2x5，则f (1)的值为()A2 B2 C D.答案：D解析：由已知，得f (x)x22f (1)x1，则f (1)12f (1)1，故f (1).总结评述：分清楚函数式中常量与变量，通过求导函数，再给变量x赋值1，最后解出导函数在x1处的函数值8(2009东北四校质检)若点P在曲线yx33x2(3)x上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是()A0，) B0，)，)C，) D0，)(，答案：B解析：y3x26x33(x1)2，即tan，又0，)，0，)，)故选B.二、填空题(4520分)9(2009北京)设f(x)是偶函数，若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为
4、1，则该曲线在点(1，f(1)处的切线的斜率为_答案：1解析：依题知f (1) 1，f(x)是偶函数，f (1) f (1)1.10(2009湖北)已知函数f(x)f ()cosxsinx，则f()的值为_答案：1解析：f(x)f ()cosxsinx，f (x)f ()sinxcosx，f ()f ()sincos，f ()1，从而有f()(1)cossin1.11(2009福建)若曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_答案：(，0)解析：f (x)3ax2，f(x)存在垂直于y轴的切线，f (x)0有解，即3ax20有解，a，x0，0，a0.12已知对任意实数
5、x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f (x)0，g(x)0，则x0，g(x)0.三、解答题(41040分)13求下列函数在xx0处的导数(1)f(x)cosxsin2xcos3x，x0；(2)f(x)，x02；(3)f(x)，x01.解析：(1)f (x)cosx(sin2xcos2x)(cosx)sinx，f ().(2)f (x)()，f (2)0.(3)f (x)(x)x(lnx)x1，f (1).14求曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2xy30，即斜率是2，则y|xx0(2x1)|xx0|xx02.
6、解得x01，所以y00，即点P(1,0)，点P到直线2xy30的距离为，曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是.15设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任意一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值解析：(1)解：f (x)a，于是解得或因为a，bZ，故f(x)x.(2)证明：在曲线上任取一点(x0，x0)，由f (x0)1知，过此点的切线方程为y1(xx0)令x1，得y，切线与直线x1的交点为(1，)；令yx，得y2x01，切线与直线yx的交点为(2x
7、01,2x01)；直线x1与直线yx的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为S|1|2x011|2x02|2.所以，所围三角形的面积为定值2.16设曲线yex(x0)在点M(t，et)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值解析：(1)因为f (x)(ex)ex，所以切线l的斜率为et.故切线l的方程为yetet(xt)即etxyet(t1)0.(2)令y0得，xt1，又令x0，得yet(t1)所以S(t)(t1)et(t1)(t1)2et.从而S(t)et(1t)(t1)当t(0,1)时，S(t)0，当t(1，)时，S(t)0，所以S(t)的最大值为S(1).
