1、上海市闵行区2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设集合，则 _.【答案】【解析】【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】.故答案为:.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知复数满足（为虚数单位），则_【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：由，得，.故答案为：.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3.若直线的方向向量为，则此直线的倾斜角为_【答案】【解析】【分析】利用直线的方向向量算出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角.【
2、详解】解：直线的方向向量为，直线的斜率为1，直线的倾斜角为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的倾斜角，是基础题.4.记为等差数列的前n项和，若，则_【答案】6【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出.【详解】解：设等差数列的公差为，解得.则.故答案为：6.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5.已知圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则该圆锥的侧面积为_【答案】【解析】【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论.【详解】解：设底面的半径为，则该圆锥的侧面积故答案为【点睛】本题考查了圆锥的性
3、质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.6.二项展开式的常数项为_.【答案】28【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的指数为0，求出的值，将的值代入通项公式，求出展开式的常数项【详解】解：展开式的通项为，令，解得，所以常数项为故答案为：【点睛】本题解决二项展开式的特定项问题，常利用的工具是二项展开式的通项公式，属于中档题7.若x、y满足，且，则的最大值为_【答案】5【解析】【分析】画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最大值.【详解】解：由x、y满足，且，画出可行域如图所示，可得A（2，1），则目标函数在点A（2，1）取得最大值
4、，代入得，故的最大值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解题关键.8.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为_（结果用最简分数表示）【答案】【解析】【分析】先求出基本事件总数，再用列举法求出此数列为等比数列包含的基本事件有4个，由此能求出此数列为等比数列的概率.【详解】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，基本事件总数，此数列为等比数列包含的基本事件有：（1，2，4），（1，3，9），（2，4，8），共3个，此数列为等比数
5、列的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9.已知直线，斜率为的直线与x轴交于点A，与y轴交于点，过作x 轴的平行线，交于点，过作y轴的平行线，交于点，再过作x轴的平行线交于点，这样依次得线段、，记为点的横坐标，则_【答案】【解析】【分析】先由题设条件得出点的坐标，根据它们之间的关系求出点的坐标，然后利用数列极限的运算性质求出.【详解】解：斜率为的直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线，A1（a，a）.A1B0x轴，B1（a，aq+a），A2（aq+a，aq+a）.B1A2x轴，B2（aq+a，aq2+aq+a）.同理可得：A3（a
6、q2+aq+a，aq2+aq+a），B3（aq2+aq+a，aq3+aq2+aq+a），Bn（aqn1+aqn2+aqn3+aq2+aq+a，aqn+aqn1+aqn2+aqn3+aq2+aq+a），xn为点Bn的横坐标，xnaqn1+aqn2+aqn3+aq2+aq+a.故xn是首项为a，公比为q（0q1）的等比数列的前n项的和，由数列极限的运算性质得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查数列在实际问题中的应用及数列极限的求法，属于中档题.10.已知是定义在R上的偶函数，当，且，总有，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据题意可得出在上单调递减，且，从而根据原不等式即可得出，解出x的范
7、围即可.【详解】解：，且时，在上单调递减，在上单调递减，由得，解得，原不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查了偶函数的定义，偶函数在对称区间上的函数的单调性的特点，减函数和增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题.11.已知A、B、C是边长为1的正方形边上的任意三点，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】建系，设A（a，0），B（p，q），C（r，s），利用不等式，考虑极限情况求范围.【详解】解：建系如图，M（1，0），N（1，1），P（0，1），设A（a，0），B（p，q），C（r，s），其中a，p，q，r，s0，1，当且仅当或时,等号成立；，当且仅当，即或时，等号成立.故答案为：.
8、【点睛】本题考查了正方形的性质、考查向量坐标表示，数形结合思想，极限思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12.已知函数，若函数在区间内恰好有奇数个零点，则实数k的所有取值之和为_【答案】【解析】分析】讨论0x时与x时函数解析式，令ksinx+cosx4sinxcosx，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案.【详解】解：（1）当0x时，设ksinx+cosx4sinxcosx，令tsinx+cosxsin（x+），则t1，kt2（t21）2t2+ t+2，t1，为单调函数，则可知当t1时，即k1时，一解；当t时，即k时，一解；当1t时，即2k1时两解；（2）当x时，设ksinxcosx
9、4sinxcosx，令tsinxcosxsin（x），则t（1，kt+2（t21），t（1，也为单调函数，则可知当1t时，即1k2+时两解，当t时，即k时一解，综上：k1或k2或k，故所有k的和为.故答案为：.【点睛】本题考查函数零点与方程根的转化，换元思想，分类讨论思想，属于中档偏难题.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交，即可判断出结论.【详解】解：在空间中，
10、“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交.“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了空间中两条直线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.14.某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ）A. 45B. 46C. 47D. 48【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样的定义和性质即可得到结论.【详解】解：根据题意，样本间
11、隔数，在1到20中抽到的是7，则41到60为第3组，此时对应的数为7+22047.故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键，比较基础.15.已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于MN两点，交y轴于点E，若，则（ ）A B. C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】设直线MN的方程为yk（x1），与抛物线方程联立，由，分别表示出1，2，利用根与系数关系即可算得答案.【详解】解：根据条件可得F（1，0），则设直线MN的方程为yk（x1），M（x1，y1），N（x2，y2），所以E（0，k），联立，整理可得k2x2（2k2+4）x+k20，则x1+x2，x1x
12、21，因为，所以1（1x1）x1，2（1x2）x2，即有1，2，所以.故选：D.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，将条件转化为坐标形式，结合根与系数关系解题是关键，属于中档题.16.关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x24x+50的解为，设对应的两点分别为A，B，得A（2，1），B（2，1），设x2+2mx+m0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2
13、），（1）当0，即0m1时，的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆；（2）当0，即m1或m0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且m，故此圆的圆心为（m，0），半径，又圆心O1到A的距离O1A，解得m1，综上：m（0，1）1.故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直三棱柱中，M是侧棱上一点，设（1）若，求多面体的体积；（2）若异面直线BM与所成的角为，求h的值【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）多面体的体
14、积为，由此能求出结果；（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出h的值.【详解】解：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，M是侧棱C1C上一点，设MC，多面体ABMA1B1C1的体积为：.（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），M（2，0，h），A1（0，2，2），C1（2，0，2），（2，0，h），（2，2，0），异面直线BM与A1C1所成的角为60，cos60，由h0，解得h2.【点睛】本题考查多面体的体积、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
15、础知识，考查运算求解能力，是中档题.18.已知函（1）当的最小正周期为时，求的值;（2）当时，设的内角ABC对应的边分别为a、b、c，已知，且，求的面积【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得f（x）sin（2x+）+，根据f（x）的最小正周期为2，可得.（2）当1时，代入可得sin（2）+3，解得A，利用余弦定理可得：a2b2+c22bccosA，解得c，即可得出ABC的面积S.【详解】解：（1）函数.f（x）3sin（2x+）+，当f（x）的最小正周期为2时，2，解得；（2）当1时，sin（2）+3，又A为三角形的内角，解得A.且，由余弦定理可得：a2b2+
16、c22bccosA，c26c+80，解得c2或4.ABC的面积SbcsinA3或6.【点睛】本题考查了三角函数的性质与三角形的面积、和差公式与倍角公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19.如图，A、B两地相距100公里，两地政府为提升城市抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造储备仓库，共享民生物资，当点P在线段AB的中点C时，建造费用为2000万元，若点P在线段AC上（不含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比，若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、B之间的距离成反比，现假设P、A之间的距离为x千米，A地所需该物资每年的运输费用为万元，B地所需该物资每年的运输费
17、用为万元，表示建造仓库费用，表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）（1）求函数的解析式;（2）若规划仓库使用的年限为，求的最小值，并解释其实际意义【答案】（1）当，；当，；（2），见解析【解析】【分析】（1）由题意，设f（x），由f（50）2000，求得k1与k2值，则函数解析式可求；（2）求出g（x）2.5x+0.5（100x）2x+50，然后分段写出H（x），求导后再对n分类求解H（x）的最小值，并解释其实际意义.【详解】解：（1）由题意，设f（x），由f（50）2000，求得k1k2100000.f（x）；（2）g（x）2.5x+0.5（100x）2x+50，若0x50，则H（x）f
18、（x）+ng（x），H（x），由H（x）0，得x100，若nN*且n20，则H（x）在（0，50上单调递减，H（x）minH（50）2000+150n；若nN*且n20，则H（x）在（0，100）上单调递减，在（100，50）单调递增，；若50x100，则H（x）f（x）+ng（x），H（x）0，H（x）在（50，100）上单调递增，若nN*且n20，则H（x）2000+150n；若nN*且n20，则H（x）50n+.综上，若nN*且n20，则H（x）min2000+150n；若nN*且n20，则.实际意义：建造储备仓库并使用n年，花费在建造仓库和两地物资运输总费用的最小值.【点睛】本题考查根
19、据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题.20.在平面直角坐标系中，A、B分别为椭圆的上、下顶点，若动直线l过点，且与椭圆相交于C、D两个不同点（直线l与y轴不重合，且C、D两点在y轴右侧，C在D的上方），直线AD与BC相交于点Q（1）设的两焦点为、，求的值;（2）若，且，求点Q的横坐标；（3）是否存在这样的点P，使得点Q的纵坐标恒为？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）；（3）【解析】【分析】（1）由椭圆方程易知OAF245，结合对称性可得F1AF290；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），根据已知条件可求得直线BC的方程为y2x1，直线AD
20、的方程为yx+1，联立两直线方程即可得到点Q的横坐标；（3）设直线l的方程为ykx+b（k0，b1），与椭圆方程联立，可得，直线BC的方程为，直线AD的方程为，进而得到点Q的纵坐标，由此建立方程化简即可得出结论.【详解】解：（1）由椭圆的方程知，F1（1，0），F2（1，0），A（0，1），则OAF245，F1AF290；（2）若b3，设C、D的两点坐标为C（x1，y1），D（x2，y2），即，而C（x1，y1），D（x2，y2）均在上，代入得，解得，分别代入解得，直线BC的方程为y2x1，直线AD的方程为yx+1，联立，解得，Q点的横坐标为；（3）假设存在这样的点P，设直线l的方程为ykx+
21、b（k0，b1），点C，D的坐标为C（x1，y1），D（x2，y2），联立，得（2k2+1）x2+4kbx+2b220，由16k2b28（2k2+1）（b21）0，得，由，可得，直线BC的方程为，直线AD的方程为，而x1y2kx1x2+bx1，x2y1kx1x2+bx2，联立，得，则b31，因此，存在点P（0，3），使得点Q的纵坐标恒为.【点睛】本题考查椭圆方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点定值问题，考查化简运算能力，属于较难题目.21.已知数列，若对任意，都有成立，则称数列为“差增数列”（1）试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由；（2）若数列为“差增数列”，且，
22、对于给定的正整数m，当，项数k的最大值为20时，求m的所有可能取值的集合；（3）若数列为“差增数列”，且，证明:【答案】（1）；见解析（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）数列是“差增数列”.由新定义可知，只要证明an+1即可；（2）由新定义可得对任意的nN*，an+2an+1an+1an恒成立，可令bnan+1an（n1），运用累加法，结合等差数列的求和公式可得an，由于1n19，结合条件可得m的取值集合；（3）运用反证法证明，假设x1010x10111，由题意可得x1x2x20201，运用不等式的性质推得x1009x10121，即可得到矛盾，进而得证.【详解】解：（1）数列是“差增数列
23、”.因为任意的nN*，都有an+an+2n2+（n+2）22n2+4n+42（n+1）2+22（n+1）22an+1，即an+1成立，所以数列是“差增数列”；（2）由已知，对任意的nN*，an+2an+1an+1an恒成立.可令bnan+1an（n1），则bnN，且bnbn+1，又anm，要使项数k达到最大，且最大值为20时，必须bn（1n18）最小.而b10，故b21，b32，bnn1.所以ana1b1+b2+bn10+1+2+（n2）（n1）（n2），即当1n19时，an1+，a19154，因为k的最大值为20，所以18a20a1918+19，即18m15418+19，所以m的所有可能取值的集合为m|172m191，mN*.（3）证明：（反证法）假设x1010x10111.由已知可得xn（n1，2，2020）均为正数，且x1x2x20201，.而由可得，即x1010x1011x1009x1012，所以x1009x10121.又，即x1008x10131，同理可证x1007x10141，x1x20201，因此x1x2x20201，这与已知矛盾，所以x1010x10111.【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，主要考查化简整理的运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.
