1、热点探究课(五)平面解析几何中的高考热点问题命题解读圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现热点1圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系另外抛物线的准线，双
2、曲线的渐近线也是命题的热点(2017诸暨质检)如图1，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.图1(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e. 【导学号：51062314】解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.2分设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2.即c，从而b1，故所求椭圆的标准方程为y21.5分(2)连接F1Q，如图，由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，又|PF1|PQ|PF2|QF2|(2a|PF1|
3、)(2a|QF1|)，可得|QF1|4a2|PF1|.又因为PF1PQ且|PF1|PQ|，所以|QF1|PF1|.由可得|PF1|(42)a，9分从而|PF2|2a|PF1|(22)a.由PF1PF2知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即(42)2a2(22)2a24c2，13分可得(96)a2c2，即96，因此e.15分规律方法1.用定义法求圆锥曲线的方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用2圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只要明确a，b，c中任意两量的等量关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制对点训练1已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的
4、一个顶点为抛物线x24y的焦点(1)求椭圆方程；(2)若直线yx1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程解(1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上设椭圆的方程为1(ab0)因为抛物线x24y的焦点为(0,1)，所以b1.4分由离心率e，a2b2c21c2，从而得a，所以椭圆的标准方程为y21.6分(2)由解得所以点A(2,1).9分因为抛物线的准线方程为y1，所以圆的半径r1(1)2，12分所以圆的方程为(x2)2(y1)24.15分热点2圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定
5、值问题角度1圆锥曲线中的定值问题已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值. 【导学号：51062315】解(1)由题意得解得4分所以椭圆C的方程为y21.6分(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设P(x0，y0)，则x4y4.当x00时，直线PA的方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM|.直线PB的方程为yx1.10分令y0，得xN，从而|AN|2xN|.所以|AN|BM|4.13分当x00时
6、，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.综上，|AN|BM|为定值.15分规律方法1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的角度2圆锥曲线中的定点问题设椭圆E: 1(ab0)的离心率为e，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：xmyt0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过
7、定点，求出该定点的坐标. 【导学号：51062316】解(1)由e2，可得a22b2，2分椭圆方程为1，代入点可得b22，a24，故椭圆E的方程为1.5分(2)由xmyt0得xmyt，把它代入E的方程得：(m22)y22mtyt240，设M(x1，y1)，N(x2，y2)得：y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)2t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2tm(y1y2)t2.8分因为以MN为直径的圆过点A，所以AMAN，所以(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y2240.因为M，N与A均不重合，所以t2，所以t，直线l的方程是xmy，直线l过定点T，14分由
8、于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l过定点T.15分规律方法1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点2从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意热点3圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题(2017杭州调研)如图2，已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称图2(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大
9、值(O为坐标原点). 【导学号：51062317】解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.2分因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220.将线段AB中点M代入直线方程ymx，解得b.由得m.故m的取值范围是.6分(2)令t，则|AB|，且O到直线AB的距离为d.10分设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d，当且仅当t2时，即m时，等号成立故AOB面积的最大值为.15分规律方法范围(最值)问题的主要求解方法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明
10、确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解对点训练2如图3所示，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1.(1)求p的值；图3(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围解(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，由抛物线的定义得1，即p2.5分(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t0，t1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：xsy1(s0)由消去x
11、得y24sy40.故y1y24，所以B.8分又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为.从而得直线FN：y(x1)，直线BN：y，所以N.设M(m,0)，由A，M，N三点共线得，于是m2，所以m2.14分经推理知，m2满足题意综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)(2，).15分热点4圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题(本小题满分15分)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(1)当k0时，分别求
12、C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由. 【导学号：51062318】解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).1分又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.3分y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0或xya0.6分(2)存在符合题意的点证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.9分将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故
13、x1x24k，x1x24a.从而k1k2.12分当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意15分答题模板第一步：分别求出曲线y在M点，N点处的导数第二步：利用点斜式分别写出在M点、N点的切线方程第三步：联立直线ykxa与抛物线y，并写出根与系数的关系式第四步：由kPMkPN0，结合根与系数的关系式，探索点P的坐标第五步：检验反思，查关键点，规范步骤温馨提示1.(1)在第(2)问中，不能把条件OPMOPN适当转化为k1k20，找不到解题的思路和方法，而不能得分(2)运算能力差或运算不细心，导致运算结果错误而扣分或者不得分2数学阅卷
14、时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤(1)本题的关键点一是利用导数的几何意义求切线方程，二是把条件中转化为只需直线PM，PN的斜率之和为0.(2)解析几何对运算能力要求较高，解题时一定要细心准确，否则可能是思路正确，但是运算结果错误，而不得分对点训练3如图4，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1.图4(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：51062319】解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点
15、P的坐标为(0,1)，且1，2分于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.5分(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.8分其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.13分此时，3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，213.故存在常数1，使得为定值3.15分热点探究训练(五)平面解析几何中的高考热点问题1设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、
16、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根据c及题设知M，2b23ac.2分将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.5分(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.8分设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|1.图5(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动
17、直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 【导学号：51062320】解(1)由c1，ac1，得a2，b，故椭圆C的标准方程为1.5分(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.8分设P(xP，yP)，则xP，yPkxPmm，即P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，12分(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在点M(1,0)符合题意.15分3如图7，已知抛物线C：x24y，过点M
18、(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)图7(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值解(1)证明：依题意可设AB方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28.直线AO的方程为yx；BD的方程为xx2.2分解得交点D的坐标为注意到x1x28及x4y1，则有y2.因此D点在定直线y2上(x0).5分(2)依题设，切线l的斜率存在且不等
19、于0，设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0.8分由0得(4a)216b0，化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2，y2得N1，N2的坐标为N1，N2，10分则|MN2|2|MN1|224228，即|MN2|2|MN1|2为定值8.15分4已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点相同，且椭圆C上一点与椭圆C的左、右焦点F1，F2构成的三角形的周长为22.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：ykxm(k，mR)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，AOB的重心G满足：，求实数m的取值范围解(1)依题意得即椭圆C
20、的方程为y21.4分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立得方程组消去y并整理，得(12k2)x24kmx2m220，则6分设AOB的重心为G(x，y)，由，可得x2y2.由重心公式可得G，代入式，整理可得(x1x2)2(y1y2)24(x1x2)2k(x1x2)2m24，8分将式代入式并整理，得m2，代入(*)得k0，则m211.12分k0，t0，t24t0，m21，m(，1)(1，).15分5已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM
21、与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由. 【导学号：51062321】解(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).1分将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.6分(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.8分设点P的横坐标为xP.由得x，即xP.将点的坐标代入直线l的方程得b
22、，因此xM.11分四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当直线l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形.15分6已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，证明：k0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.2分将xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.5分(2)证明：设直线AM的方程为yk(x2)(k0)，代入1得(34k2)x216k2x16k2120.7分由x1(2)得x1，故|AM|x12|.由题意，设直线AN的方程为y(x2)，故同理可得|AN|.10分由2|AM|AN|得，即4k36k23k80.设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)单调递增又f()15260，f(2)60，因此f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以k2.15分
