1、考点测试 20 三角函数的图象与性质 高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值5分、12分，中等难度 考纲研读1能画出 ysinx，ycosx，ytanx 的图象，了解三角函数的周期性 2理解正弦函数、余弦函数在0，2上的性质(如单调性，最大值和最小值，图象与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2 内的单调性 一、基础小题 1函数 y3cos25x6的最小正周期是()A25B52C2 D5 答案 D 解析 由 T2255，知该函数的最小正周期为 5故选 D 2已知 f(x)sinx2，g(x)cosx2，则 f(x)的图象()A与 g(x)的图象相同 B与 g(x)
2、的图象关于 y 轴对称 C向左平移2个单位，得到 g(x)的图象 D向右平移2个单位，得到 g(x)的图象 答案 D 解析 因为 g(x)cosx2 cos2x sinx，所以 f(x)向右平移2个单位，可得到 g(x)的图象，故选 D 3函数 y2sinx1，x76，136 的值域是()A3，1B2，1C(3，1D(2，1 答案 D 解析 由 ysinx 在76，136 上，1sinx12，所以函数 y2sinx1，x76，136 的值域是(2，1故选 D 4函数 ycos2x2sinx 的最大值与最小值分别为()A3，1 B3，2 C2，1 D2，2 答案 D 解析 ycos2x2sinx
3、1sin2x2sinxsin2x2sinx1，令 tsinx，则 t1，1，yt22t1(t1)22，所以最大值为 2，最小值为2故选D 5若函数 f(x)sinx 12为偶函数，则 cos2 的值为()A12B12C 32D 32 答案 C 解析 由题意 122k，kZ，所以 276 2k，kZ，所以 cos2cos76 cos6 32 故选 C 6函数 y2sin62x 的单调递增区间为()Ak3，k56(kZ)Bk6，k3(kZ)Ck 12，k712(kZ)Dk512，k 12(kZ)答案 A 解析 y2sin62x2sin2x6，22k2x632 2k(kZ)，即 k3xk56(kZ)
4、，即增区间为 k3，k56(kZ)故选 A 7函数 ysinxcosxsinxcosx 的值域为_ 答案 12 2，1 解析 设 tsinxcosx，则 t 2sinx4，t 2，2，t2sin2xcos2x2sinxcosx，sinxcosx1t22，yt22t1212(t1)21当 t1 时，ymax1；当 t 2时，ymin12 2函数的值域为12 2，1 8函数 ylg(sin2x)9x2的定义域为_ 答案 x3x2或0 x0，9x20得2k2x2k，kZ，3x3.3x2或 0 x2 函数 ylg(sin2x)9x2的定义域为 x3x2或0 x2 二、高考小题 9(2017全国卷)函数
5、 f(x)sin2x3 的最小正周期为()A4 B2 C D2 答案 C 解析 由题意得 2，所以函数 f(x)sin2x3的最小正周期 T2故选 C 10(2018全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为 3 Bf(x)的最小正周期为，最大值为 4 Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 答案 B 解析 根据题意，有 f(x)32cos2x52，所以函数 f(x)的最小正周期为 T22，且最大值为 f(x)max32524故选 B 11(2018全国卷)函数 f(x)tanx1tan2x的最小
6、正周期为()A4B2C D2 答案 C 解析 由已知得 f(x)tanx1tan2xsinxcosx1sinxcosx2sinxcosx12sin2x，f(x)的最小正周期 T22 故选 C 12(2018全国卷)若 f(x)cosxsinx 在a，a上是减函数，则 a 的最大值是()A4B2C34D 答案 A 解析 f(x)cosxsinx 2cosx4，由2kx42k(kZ)得42kx34 2k(kZ)，又f(x)在a，a上是减函数，因此当 k0 时，a，a4，34 aa，a4，a34，00，sinx，x0，则下列结论错误的是()Af(x)不是周期函数 Bf(x)在2，上是增函数 Cf(x
7、)的值域为1，)Df(x)的图象上存在不同的两点关于原点对称 答案 D 解析 画出 f(x)的图象如下：由图可知，A，B，C 正确；对于 D，当 0 xsinx，当 x2时，1sinx1，而 x1，所以 xsinx，所以当 x0 时，ysinx 与 yx 无交点，故 f(x)的图象上不存在不同的两点关于原点对称，所以 D 错误故选 D 20(2018南昌一模)已知 f(x)cos2xacos2x 在区间6，2上是增函数，则实数 a 的取值范围为()A2，)B(2，)C(，4)D(，4 答案 D 解析 f(x)cos2xacos2x12sin2xasinx 在6，2上是增函数，ysinx在6，2
8、上单调递增，且 sinx12，1令 tsinx，t12，1，则 y2t2at1 在12，1 上单调递增，则a41，因而 a(，4故选 D 一、高考大题 1(2018北京高考)已知函数 f(x)sin2x 3sinxcosx(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 f(x)在区间3，m 上的最大值为32，求 m 的最小值 解(1)f(x)1212cos2x 32 sin2x sin2x612 所以 f(x)的最小正周期为 T22 (2)由(1)知 f(x)sin2x612 由题意知3xm 所以56 2x62m6 要使 f(x)在3，m 上的最大值为32，即需 sin2x6在3，m 上的最大值为
9、1 所以 2m62，即 m3 所以 m 的最小值为3 2(2017浙江高考)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sinxcosx(xR)(1)求 f23 的值；(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解(1)由 sin23 32，cos23 12，f23 3221222 3 32 12，得 f23 2(2)由 cos2xcos2xsin2x 与 sin2x2sinxcosx 得 f(x)cos2x 3sin2x2sin2x6 所以 f(x)的最小正周期是 由正弦函数的性质得 22k2x632 2k，kZ，解得6kx23 k，kZ 所以，f(x)的单调递增区间是6k，23 k(kZ
10、)3(2016天津高考)已知函数 f(x)4tanxsin2x cosx3 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间4，4 上的单调性 解(1)f(x)的定义域为xx2k，kZ f(x)4tanxcosxcosx3 3 4sinxcosx3 3 4sinx12cosx 32 sinx 3 2sinxcosx2 3sin2x 3 sin2x 3(1cos2x)3 sin2x 3cos2x2sin2x3 所以，f(x)的最小正周期 T22 (2)令 z2x3，易知函数 y2sinz 的单调递增区间是22k，22k，kZ 由22k2x322k，kZ，得 12kx512k，
11、kZ 设 A4，4，Bx 12kx512k，kZ，易知 AB 12，4 所以，当 x4，4 时，f(x)在区间 12，4 上单调递增，在区间4，12上单调递减 二、模拟大题 4(2018福建福州月考)已知函数 f(x)6cos4x5sin2x4cos2x，求 f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域 解 由 cos2x0 得 2xk2，kZ，解得 xk2 4，kZ，所以 f(x)的定义域为xxR，且xk2 4，kZ 因为 f(x)的定义域关于原点对称，且 f(x)6cos4x5sin2x4cos2x 6cos4x5sin2x4cos2xf(x)所以 f(x)是偶函数当 xk2 4，kZ 时
12、，f(x)6cos4x5sin2x4cos2x6cos4x55cos2x42cos2x1 2cos2x13cos2x12cos2x13cos2x1 所以 f(x)的值域为y1y12或120)的最小正周期为 (1)求函数 yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数 f(x)在 0，2上的单调性 解(1)f(x)sinxcosx 2sinx4，且 T，2于是 f(x)2sin2x4 令 2x4k2(kZ)，得 xk2 38(kZ)，故函数 f(x)的对称轴方程为 xk2 38(kZ)(2)令 2k22x42k2(kZ)，得函数 f(x)的单调增区间为 k8，k38(kZ)注意到 x0，2，令 k0
13、，得函数 f(x)在 0，2上的单调增区间为 0，38；其单调减区间为38，2 6(2018武汉质检)已知向量 a(sinx，3)，b(1，cosx)(1)若 ab，求 tan2x 的值；(2)令 f(x)ab，把函数 f(x)的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半(纵坐标不变)，再把所得图象沿 x 轴向左平移3个单位，得到函数 yg(x)的图象，求函数 yg(x)的单调递增区间及图象的对称中心 解(1)由 ab，可得 ab0，即 sinx 3cosx0，tanx 3，tan2x 2tanx1tan2x 3(2)由(1)得 f(x)2sinx3，从而 g(x)2sin2x3，解 2k122x32k12(k1Z)得 k1512xk1 12(k1Z)，函数 yg(x)的单调递增区间是 k1512，k1 12(k1Z)由 2x3k2 得 x12k26(k2Z)，函数 yg(x)图象的对称中心为12k26，0(k2Z)
