1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质1直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面垂直(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面(4)直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线垂直于同一条直线的两平面平行2直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90和0.
2、3二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角4平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于
3、同一个平面的两平面平行()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m.()A若l，则B若，则lmC若l，则D若，则lmAl，l，(面面垂直的判定定理)，故A正确3(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足 m，n，则()AmlBmnCnlDmnCl，l.n，nl.4如图751，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_. 【导学号：51062236】图7514PA平面AB
4、C，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，从而BCPC.因此ABC，PBC也是直角三角形5边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为_a如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO，则AOC是二面角ABDC的平面角即AOC90，又AOCOa，ACa，即折叠后AC的长(AC)为a.线面垂直的判定与性质如图752，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积图752解(1)证明：因为AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD
5、.2分又因为CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，所以CD平面ABD.6分(2)由AB平面BCD，得ABBD.又ABBD1，所以SABD12.10分因为M是AD的中点，所以SABMSABD.根据(1)知，CD平面ABD，则三棱锥CABM的高hCD1，故VAMBCVCABMSABMh.15分规律方法1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想变式训练1如图
6、753所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求证：PACD.图753证明因为AB为圆O的直径，所以ACCB，在RtABC中，由ACBC，得ABC30.4分设AD1，由3ADDB，得DB3，BC2，由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAO.10分因为PD平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDAOD，得CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.15分面面垂直的判定与性质(2017湖州调研)如图754，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，B
7、C的中点图754(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明(1)如图所示，连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.2分在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形.4分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD，由于HM平面FGH，BD平面FGH，故BD平面FGH.6分(2)连接HE，GE，CD.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.8分由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.12分由于CFBC，所以
8、HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH.所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.15分规律方法1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题2垂直问题的转化关系：变式训练2如图755，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分别为AB，PA的中点图755(1)求证：PB平面MNC；(2)若ACBC，求证：PA平面MNC.证明(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MNPB，2分
9、又因为MN平面MNC，PB平面MNC，所以PB平面MNC.6分(2)因为PAPB，MNPB，所以PAMN.因为ACBC，AMBM，所以CMAB.8分因为平面PAB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB.所以CM平面PAB.12分因为PA平面PAB，所以CMPA.又MNCMM，所以PA平面MNC.15分平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明如图756，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.图756求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱AB
10、CA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.3分又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.6分(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.9分又因为A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.12分又因为B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F
11、.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.15分规律方法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化2垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用角度2平行垂直中探索开放问题(2017嘉兴调研)如图757所示，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图757所示图757(1)求证：A1FBE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？并说明理由证明(1)由已知，得ACBC，且DEBC.所以DEAC，则DEDC，DEDA1，因为D
12、CDA1D，所以DE平面A1DC.2分由于A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，CDDED，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.6分(2)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.7分理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQBC.又因为DEBC，则DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.10分由(1)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.又DPDED，所以A1C平面DEQP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.15分规律方法1.对命题
13、条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性2平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.线面角的求法与应用(2016浙江高考)如图758，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.图758(1)求证：BF平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值. 【导学号：51062237】解(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.1分因为
14、平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，3分因此，BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.所以BF平面ACFD.6分(2)因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.10分在RtBFD中，BF，DF，得cosBDF，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.15分规律方法1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角(2)证：证明找出的角即为所求的角(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角2线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面
15、角转化到一个三角形中求解变式训练3如图759，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点图759(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD.解(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，2分故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.PB和平面PAD所成的角的大小为45.6分(2)证明：在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，P
16、AACA，CD平面PAC.10分又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.13分又PCCDC，故AE平面PCD.15分思想与方法1证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任一直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性质：，l，a，ala.2证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3转化思想：垂直关系的转化易错与防范1在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的
17、互相转化2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可课时分层训练(四十)直线、平面垂直的判定及其性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1(2017浙江五校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A且mB且mCmn且nDmn且C由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确2(2017杭州二中模拟)设l是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则lBA中，或与相交，不正确B中，过直线
18、l作平面，设l，则ll，由l，知l，从而，B正确C中，l或l，C不正确对于D中，l与的位置关系不确定3如图7510，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()图7510ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABCD因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项A正确在正四面体中，AEBC，PEBC，DFBC，所以BC平面PAE，则DF平面PAE，从而平面PDF平面PAE.因此选项B，C均正确4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若
19、mn，n，则mCA中，由mn，n可得m或m与相交或m，错误；B中，由m，可得m或m与相交或m，错误；C中，由m，n可得mn，又n，所以m，正确；D中，由mn，n，可得m或m与相交或m，错误5如图7511，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()图7511A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDEC因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面B
20、DE.二、填空题6如图7512所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DMPC(或BMPC等)由定理可知，BDPC.图7512当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD.又PC平面PCD，平面MBD平面PCD.7如图7513，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_. 【导学号：51062238】图7513取BC的中点E，连接AE，DE，则AE平面BB1C1C.所以ADE为直线AD与平
21、面BB1C1C所成的角设三棱柱的所有棱长为a，在RtAED中，AEa，DE.所以tanADE，则ADE.故AD与平面BB1C1C所成的角为.8，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)对于，可以平行，也可以相交但不垂直，故错误对于，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正确对于，因为，所以，没有公共点又m，所以m，没有公共点，由线面平行的定义可知m，故正确对于，因为mn，所以m与所成的角和n与所成的角相等因为
22、，所以n与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所成的角相等，故正确三、解答题9.如图7514，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点图7514(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积. 【导学号：51062239】解(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.3分又因为VB/平面MOC，所以VB平面MOC.5分(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC
23、平面VAB.9分(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.12分又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.15分10O的直径AB4，点C，D为O上两点，且CAB45，F为的中点沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图7515)图7515(1)求证：OF平面ACD；(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：由CAB45，知COB90，1分又因为F为的中点，所以
24、FOB45，因此OFAC，3分又AC平面ACD，OF平面ACD，所以OF平面ACD.6分(2)存在，E为AD中点，因为OAOD，所以OEAD.7分又OCAB且两半圆所在平面互相垂直所以OC平面OAD.10分又AD平面OAD，所以ADOC，由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD平面OCE.又AD平面ACD，所以平面OCE平面ACD.所以AD上存在一点E，使平面OCE平面ACD，且E点为AD的中点.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017绍兴市二模)如图7516，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重
25、合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()图7516AO是AEF的垂心BO是AEF的内心CO是AEF的外心DO是AEF的重心A由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA平面PEF，从而PAEF，而PO平面AEF，则POEF，因为POPAP，所以EF平面PAO，所以EFAO，同理可知AEFO，AFEO，所以O为AEF的垂心2如图7517，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.图7517a或2aB1D平面A1ACC1，CFB1
26、D.为了使CF平面B1DF，只要使CFDF(或CFB1F)设AFx，则CD2DF2FC2，x23ax2a20，xa或x2a.3如图7518，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.图7518(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD. 【导学号：51062240】解(1)取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点理由如下：连接CM，因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.4分所以四边形AMCB是平行四边形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)6分(2)证明：由已知，PAAB，PACD，因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.10分因为ADBC，BCAD，M为AD的中点，连接BM，所以BCMD，且BCMD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.15分
