1、课时作业23简单线性规划时间:45分钟基础巩固类一、选择题1在如图所示的可行域内(阴影部分),使目标函数zxy取得最小值的点的坐标为(A)A(1,1)B(3,2)C(5,2)D(4,1)解析:由目标函数zxy得到yxz,作出直线yx,在平面直角坐标系中进行平移,显然当直线过点A(1,1)时,yxz中的z最小2若变量x,y满足条件则zxy的最大值为(D)A0B.C2D.解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,作直线xy0,上下平移,当直线平移到过点A时,zxy取得最大值,所以zmax.3已知点(x,y)构成的可行域如图阴影部分所示,zmxy(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m
2、的值为(B)AB.C.D.或解析:观察平面区域可知直线ymxz与直线AC重合,则解得m.4若x0,y0,且xy1,则zxy的最大值为(B)A1B1C2D2解析:作出可行域,如图中阴影部分所示当直线yxz经过点A时,z最小从而z最大,zmax1.5设x,y满足约束条件则目标函数zxy(A)A有最小值2,无最大值B有最大值3,无最小值C有最小值2,最大值3D既无最小值,也无最大值解析:画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由zxy,得yxz,画出yx的图像当它的平行线经过点A(2,0)时,z取得最小值,最小值为2;无最大值故选A.6设x,y满足约束条件则目标函数zx2(y2)2的最小值
3、是(B)A4B5C6D7解析:由约束条件作出可行域如图所示又表示区域内的点到点B(0,2)的距离,当点(x,y)在点A(1,0)处时,()min,zx2(y2)2的最小值为5.7已知x,y满足不等式组当3s5时,目标函数z3x2y的最大值的变化范围是(D)A6,15B7,15C6,8D7,8解析:当3s4时,z3x2y的最大值在直线xys,y2x4的交点处取得,即在点(4s,2s4)处取得,此时zmax4s,其取值范围是7,8);当4s5时,z3x2y的最大值在点(0,4)处取得,即zmax8,故所求的取值范围是7,88若A为不等式组表示的平面区域,则当a从2连续变化到1时,动直线xya扫过A
4、中的那部分区域的面积为(C)A.B1C.D2解析:如图所示,区域A表示的平面区域为OBC内部及其边界组成的图形,当a从2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域S四边形ODECSOBCSBDE2.二、填空题9设变量x,y满足约束条件:则zx3y的最小值为8.解析:作出可行域如图阴影部分所示可知当x3yz经过点A(2,2)时,z有最小值,此时z的最小值为2328.10设实数x、y满足条件则的最大值为.解析:画出可行域,如图阴影部分所示的几何意义表示区域内的点与原点连线的斜率,易知在点A(2,1)处取得最大值11目标函数z3x2y在约束条件下取得最大值时的最优解只有一个,则实数a的取值
5、范围是2,)解析:作出约束条件表示的平面区域,如图中阴影部分所示因为取得最大值时的最优解只有一个,所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行,根据题意及直线的斜率,可得实数a的取值范围是2,)三、解答题12设z2xy,且x,y满足下列条件:求z的最值解:首先画出满足不等式组的可行域,由图知,(0,0)不在区域内作一组平行线2xyt,t是直线2xyt的纵截距,这里A(1,1),B(5,2)显然,当直线2xyt过A点时,t最小,过B点时t最大zmax12,zmin3.13已知x、y满足约束条件求的取值范围解:作出可行域,如图阴影部分所示设k,因为,表示平面区域内的点(x,y)与点P(1,1)连
6、线的斜率,由图可知kPA最小,kPC最大,而A(5,0)、C(0,2),则kPA,kPC3,所以k,3,即的取值范围为,3能力提升类14已知点P(x,y),其中x,y满足点A,B是圆x2y22上的两个点,则APB的最大值为.解析:由已知可得点P在如图所示的阴影部分内(包含边界)运动,易知点P位于圆外,当APB最大时,应有PA,PB所在直线与圆相切,且点P位于离圆心最近的H处,又圆心到直线xy40的距离d2,连接OA,则在RtOAP中,OP2OA,所以OPA,同理OPB,因此APB.15已知x,y满足约束条件(1)求x2y2的取值范围;(2)求4xy的取值范围解:(1)作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,因为x2y2的几何意义是可行域内的点P(x,y)到坐标原点O的距离d的平方,所以由图可知d的最小值为点O到直线AC的距离,即;d的最大值为OB4.所以x2y2的取值范围为.(2)4xy22xy,设z2xy,则y2xz,即z为直线y2xz(记为直线l)在y轴上截距的相反数,由图可知当直线l经过点A时,z取得最大值;当直线l经过点C时,z取得最小值由得A(3,0),故z2xy的最大值为2306;由得C(0,3),故z2xy的最小值为2033.综上,2xy的取值范围为3,6,所以4xy的取值范围为.