1、四川省泸县第一中学2020届高三数学三诊模拟考试试题 文（含解析）第卷 选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出、中不等式的解集确定出、，找出与的交集即可【详解】集合，集合，所以.故选C【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，化简得到，解得答案.【详解】设，则，故，故，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.若，则（）A. B. C.
2、 D. 【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数诱导公式，可得，又由余弦的倍角公式，可得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式，得到，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；再由函数的单调性，排除A，即可得到答案.【详解】由题意，函数，可得，即，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；
3、当时，则0，所以函数在上递增，排除A，故选.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.已知等差数列的前项和为则数列的前10项和为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设等差数列的公差为，解得故选点睛：设等差数列的公差为，由已知条件及等差数列通项公式得到，解得和的值，可得，再利用裂项求和的方法即可得出答案6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，
4、再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案【详解】将将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数又由函数为偶函数，所以，解得，因为，当时，故选D【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题7.已知，则满足（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算法则化简，再根据函数的单调性比较大小.【详解】 ，是单调递增函数， ，.故选：A【点睛】本题考查对数的运算，和比较大小，意在考查基础计算能力，属于基础题型.8.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则
5、双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得，解得，此时双曲线，则曲线的离心率为，故选C【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题9.设的内角，所对的边分别为，且，则面积的最大值为（ ）A. 8B. 9C. 16D. 21【答案】B【解析】由三角形的面积公式： ，当且仅当 时等号成立.则面积的最大值为9.本题选择B选项.10.九章算术
6、是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取）（ ）A. 704立方尺B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺【答案】B【解析】【分析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积.【详解】设圆柱体底面圆半径为，高为，周长为.因为，所以，所以 （立方尺）.故选B项.【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.11.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A.
7、 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即60，由底面边长为3得，正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，故选：D【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系掌握正棱锥性质是解题关键12.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，由题设可得在上恒成立，令，则，又，且，故，所以问题转化为不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立令函数，则，应选答案D点睛：本题的求解过程自始
8、至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力第卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13._【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式可求得结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数值的计算，涉及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.14.设是两个向量，则“”是“”的_条件.【答案】充分必要【解析】由，所以是充分必要条件15.已知函数图象上一点处
9、的切线方程为，则_【答案】3【解析】【分析】求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得【详解】由题意，函数图象在点处的切线方程为，解得，故答案为：3【点睛】本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，16.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是_【答案】【解析】(i)当a=0时,f(x)=3x2+1,令f(x)=0,解得x=,函数f(x)有两个零点，舍去(ii)当a0时,f(x)=3ax26x=3ax(x),令f(x)=0,解得x=0或2a.当a0时,0,当x0时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减;当x0,此时函数f(x)单调递增是函数f(x)的极小值点,0是函数f(
10、x)的极大值点函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x00时,0,当x或x0,此时函数f(x)单调递增;当0x时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x00,即+10，a0，解得a2.综上可得：实数a的取值范围是(2,+).故答案为(2,+).点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直
11、角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知正项等比数列的前项和为，数列满足，且（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和【答案】（） ; （）.【解析】（）根据题意，由等比数列的通项公式及前项和公式，建立关于首项和公比的方程，求数列的首项，再用迭加法求出数列的通项公式；（）由（）得，再采用裂项相消法，即可求出数列的前项和.试题解析：（）根据题意，设的公比为，所以解得又，所以（）因为，所以点睛：此题主要考查裂项求和法在求数列
12、前项和、等比数列通过公式及前项和公式的应用能力，属于中低档题型，也是高频考点.裂项求和法是根据数列的通项公式特点，将其拆成两项之差（如本题中），在求和中叠加后就可消掉中间项，剩下首尾两项，从而达到求前项和公式.18.鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢,而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位:箱)在的客户称为“熟客”,并把他们去年采购的数量制成下表:采购数x 客户数10105205(1)根据表中的数据作出频率分布直方图,并
13、估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数;(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的,估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,决定今年年底是否在网上出售鱼卷,若不在网上出售鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为20元,预计销售量与去年持平;若在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调2至5元,且每下调m元()销售量可增加1000m箱,求小张今年年底收入Y(单位:元)的最大值.【答案】（1）见解析 17人（2）12000箱 （3）最大值为256000元.【解析】【分析】（1）根据统计表作
14、出频率分布直方图，再根据直方图即可求出，（2）根据统计表和直方图即可求出，（3）没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为（元，若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为，即可求出的最大值，比较即可【详解】解： (1)作出频率分布直方图,如图根据上图,可知采购量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数为(2)去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为(箱)小张去年年底总的销售量为(箱)(3)若不在网上出售鱼卷,则今年年底小张的收入为(元);若在网上出售鱼卷,则今年年底的销售量为箱,每箱的利润为,则今年年底小张的收入为,当时, 取得最大值256000,小张今年年底收入的最大值为256000元.【点睛
15、】本题考查了频率分布直方图的计算问题，属于基础题19.如图，在多面体中，平面，（）求证：；（）求三棱锥的体积【答案】（）见解析；（）【解析】【分析】（）根据线面垂直的性质可得；利用三角形相似可得，从而可证得，根据线面垂直的判定定理可知平面；根据线面垂直的性质可证得结论；（）利用体积桥进行等价转化，利用三棱锥体积公式求得结果.【详解】（）平面，平面 又 则 又 平面又平面 （）三棱锥的体积：【点睛】本题考查直线与直线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用.解决三棱锥体积的问题通常采用体积桥的方式，将所求三棱锥转化为底面积和高易求的三棱锥.20.中心在原点的椭圆E
16、的一个焦点与抛物线的焦点关于直线对称，且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点的直线l（直线的斜率k存在且不为0）交E于A，B两点，交x轴于点P点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于点Q.试探究是否为定值？请说明理由.【答案】（1）；（2）定值4，理由详见解析.【解析】【分析】（1）椭圆E的右焦点为，得到，计算，得到答案.（2）设直线l的方程为，联立方程得到，计算得到，计算，得到答案.【详解】（1）因为椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点关于直线对称，所以椭圆E的右焦点为，所以.又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为，所以，又，所以椭圆E标准方程为.（2）设直线l的方程为
17、，则点，设则点，联立直线l与椭圆E的方程有，得，所以有，即且，即直线BD的方程为令，得点Q的横坐标为，代入得：，所以，所以为定值4.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆的定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个极值点,且，求取值范围（其中e为自然对数的底数）【答案】(1) 单调递增区间为和，单调递减区间为 ；(2) .【解析】【分析】（1）求导，利用导数的符号确定函数的单调区间；（2）求导，利用导函数，将函数存在极值问题转化为导函数对应方程的根的分布情况进行求解.【详解】（1）的定义域为，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2
18、，有两个极值点令，则的零点为，且., 或，.根据根的分布，则且g() 0 即 , .a的取值范围是（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22.已知直线：(为参数)，曲线：（为参数）(1)设与相交于两点，求；(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值【答案】(1)；(2) 【解析】分析】（1）消去直线参数方程的参数，求得直线的普通方程.消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程，联立直线和曲线的方程求得交点的坐标，再根据两点间的距离公式求得.（2）根据坐标变换求得
19、曲线的参数方程，由此设出点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线的距离的最大值.【详解】（1）的普通方程为，的普通方程为，联立方程组，解得交点为,所以=； （2）曲线：（为参数）设所求的点为，则到直线的距离.当时，取得最大值【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查坐标变换以及点到直线距离公式，还考查了三角函数最值的求法，属于中档题.23.已知：，且（1）若求x的取值范围；（2）恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简得到，讨论，和三种情况计算得到答案.（2），解不等式得到答案.【详解】（1）把代入原不等式得，此不等式等价于或或分别解得：或货，故原不等式解集为（2），当且仅当，时取等号，故.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力.
