1、一、正、余弦定理及其应用1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bc cos A；b2c2a22ca cos B；c2a2b22ab cos C变形(3)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C；(4)sin A，sin B，sin C；(5)abcsin Asin Bsin C；(6)a sin Bb sin A，b sin Cc sin B，a sin Cc sin A(7)cos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝
2、角或直角图形关系式ab sin Ab sin Aababab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sab sin Cac sin Bbc sin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径).二、等差数列及其前n项和1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d3等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A
3、叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2B
4、n(A，B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值三、等比数列及其前n项和1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0).2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1(a10，q0)3等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，G2ab，G，称G为a，b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n
5、，mN*).(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn四、数列求和的常用方法1公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和2分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项常见的裂项公式
6、(1)；(2)；(3).4倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广5错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解五、不等关系与不等式1两个实数比较大小的方法(1)作差法(a，bR)(2)作商法(aR，b0)2不等式的基本性质(1)对称性：abba(2)传递性：ab，bcac(3)可加性：abacbc(4)可乘性：acbcacbc.(5)同向可加性：acbd(6)同向可乘性：acbd(7)可乘方性：ab0anbn(nN，n
7、1).(8)可开方性：ab0(nN，n2).3不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0.a0b.ab0，0cd.0axb或axb0.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则；(bm0).；(bm0).六、一元二次不等式及其解法1“三个二次”的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2x|xR一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx22.常用结论(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法
8、不等式解集ababab(xa)(xb)0x|xa或xbx|xax|xb或xa (xa)(xb)0x|axbx|bxa口诀：大于取两边，小于取中间3常见分式不等式的解法(1)0(0)f(x)g(x)0(0).(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式七、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界
9、直线，则把边界直线画成实线(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号即可断定AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小
10、值问题八、基本不等式及其应用1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同号).(3)ab(a，bR).(4)(a，bR).以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值(简记
11、：和定积最大)1在ABC中，若sin Asin B，则AB.()2当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()3在ABC中，.()4在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()5若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()6等差数列an的单调性是由公差d决定的()7数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()8已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()9满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()10G为a，b的等比中项G2ab.()11如果数列an为等比数列，则数列l
12、n an是等差数列()12数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()13若1，则ab.()14一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()15ab0，cd0.()16若ab0，则ab.()17若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，), 则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()18若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()19不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()20若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()21点(x1，y1)，(x2，y2)在直线A
13、xByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()22第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示()23线性目标函数的最优解是唯一的()24最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解()25函数yx的最小值是2.()26函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()27“x0且y0”是“2”的充要条件()28若a0，则a3的最小值为2.()29不等式a2b22ab与有相同的成立条件()30两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin Ab sin
14、B4c sin C，cos A，则()A6B5C4 D3Aa sin Ab sin B4c sin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，6.故选A.2记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22nA法一：设等差数列an的公差为d，解得ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选A.法二：设等差数列an的公差为d，解得选项A，a12153；选项B，a131107，排除B；选项C，S1286，排除C；选项D，S12，排除D.故选A.3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
15、b，c，若ABC的面积为，则C()ABCDC因为SABCab sin C，所以ab sin C由余弦定理a2b2c22ab cos C，得2ab cos C2ab sin C，即cos Csin C，所以在ABC中，C.故选C.4在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A4 BC D2A因为cos ，所以cos C2cos212()21.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C5212251()32，所以AB4.故选A.5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin Aa cos B0，则B b sin Aa cos B0，.由正弦定理，得c
16、os Bsin B，tan B1.又B(0，)，B.6记Sn为等差数列an的前n项和若a35，a713，则S10 100an为等差数列，a35，a713，公差d2，首项a1a32d5221，S1010a1d100.7若x，y满足约束条件则zxy的最大值为 9法一：画出可行域如图中阴影部分所示目标函数zxy可化为yxz，作出直线yx，并平移，当平移后的直线经过点B时，z取得最大值联立，得解得所以B(5，4)，故zmax549.法二：画图(图略)知可行域是封闭的三角形区域，易求得可行域的三个顶点的坐标分别是(1，2)，(5，4)，(5，0)，依次代入目标函数zxy可求得z的值是3，9，5，故zma
17、x9.8ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin Cc sin B4a sin B sin C，b2c2a28，则ABC的面积为 由b sin Cc sin B4a sin B sin C得sin B sin Csin C sin B4sin A sin Bsin C，因为sin B sin C0，所以sin A.因为b2c2a28，cos A，所以bc，所以SABCbc sin A.9已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入
18、得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.10等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则
19、Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.11ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin b sin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sin A sin sin B sin A.因为sin A0，所以sin sin B.由ABC180，可得sin cos ，故cos 2sin cos .因为cos 0，故sin ，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C0知d0，故Snan等价于n211n100，解得1n10，所以n的取值范围是n|1n10，nN
