1、课时作业(十四)导数与函数的单调性授课提示：对应学生用书第216页一、选择题1(2017厦门质检)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(0,1)B(0,1C(1，) D(0,2)解析：由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得00时，1x2；f(x)0时，x2；f(x)0时，x1或x2.则函数f(x)的大致图象是()解析：根据信息知，函数f(x)在(1,2)上是增函数在(，1)，(2，)上是减函数，故选C.答案：C3f(x)x2aln x在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围为()Aa1 Ba1Ca2，a2.故选D.答案：D4已知函数f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)
2、的导函数，则函数f(x)的图象大致是()解析：设g(x)f(x)2x2sin x，g(x)22cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增答案：A5(2017福建上杭一中检测)函数f(x)x3ax为R上增函数的一个充分不必要条件是()Aa0 Ba0解析：函数f(x)x3ax为R上增函数的一个充分不必要条件是f(x)3x2a0在R上恒成立，所以a(3x2)min.因为(3x2)min0，所以a2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)解析：由f(x)2x4，得f(x)2x40，设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2，因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒
3、成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1，选B.答案：B二、填空题7函数f(x)(x3)ex的单调递增区间为_解析：函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.答案：(2，)8已知函数f(x)exkx2，xR.若f(x)在区间(0，)上单调递增，则k的取值范围是_解析：方法一(分离参数法)：f(x)ex2kx.当x0时，由ex2kx0，得k在(0，)上恒成
4、立，令p(x)，则有kp(x)min，则p(x)，令p(x)0，解得x1，列表如下：x(0,1)1(1，)p(x)0p(x)极小值故函数p(x)在x1处取得极小值，亦即最小值因为p(x)minp(1)，所以k，故实数k的取值范围是（，.方法二(分类讨论法)：f(x)ex2kx，xR，若k0，显然f(x)0，则f(x)在区间(0，)上单调递增；记(x)ex2kx，则(x)ex2k，当0ke01,2k0，则(x)在(0，)上单调递增，于是f(x)(x)(0)10，所以f(x)在(0，)上单调递增当k时，(x)ex2kx在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，)上单调递增，于是f(x)(x)
5、(ln 2k)eln 2k2kln 2k，由eln 2k2kln 2k0，得2k2kln 2k0，则k，综上所述，k的取值范围是（，.答案：（，9若函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)x2exax，f(x)2xexa.函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，f(x)2xexa0，即a0，xln 2，g(x)2exln 2，当xln 2时，g(x)max2ln 22.a2ln 22.故实数a的取值范围是(，2ln 22)答案：(，2ln 22)三、解答题10已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x
6、)f(x)ex，讨论g(x)的单调性解析：(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f()0，即3a2()0，解得a.(2)由(1)得g(x)(x3x2)ex，故g(x)(x22x)ex(x3x2)ex(x3x22x)exx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0或x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数11已知函数f(x)x3ax2xc，且af().(1)求a的值；(2)设函
7、数g(x)(f(x)x3)ex，若函数g(x)在x3,2上单调递增，求实数c的取值范围解析：(1)由f(x)x3ax2xc，得f(x)3x22ax1.当x时，得af()3()22a()1，解之，得a1.(2)函数g(x)(f(x)x3)ex(x2xc)ex有g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex，因为函数g(x)在x3,2上单调递增，所以h(x)x23xc10在x3,2上恒成立只要h(2)0，解得c11，所以c的取值范围是11，)12已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，
8、对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).当a0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3（2）x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)0在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2，当g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m.所以m9.即实数m的取值范围是（，9）.
