1、8.6.2 直线与平面垂直(二)基础预习初探 如图是马路旁的路灯灯柱,若将灯柱看作一条直线,地面看作平面,请回答下面的问题.1.灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系?提示:灯柱所在直线与地面所在平面垂直.2.灯柱所在的直线间是什么位置关系?提示:灯柱所在的直线都是平行的.【概念生成】1.直线与平面垂直的性质定理 文字语言垂直于同一个平面的两条直线_符号语言 _图形语言 作用证明两条直线_平行 ab 平行 2.直线到平面的距离,平面到平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上_到这个平面的距离,叫做这 条直线到这个平面的距离;如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点 到另一个平面的
2、距离都_,我们把它叫做这两个平行平面的距离.任意一点 相等 核心互动探究 探究点一 直线与平面垂直的性质的应用【典例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN平面A1DC,求证:MNAD1.【思维导引】两直线垂直于同一平面两直线平行.【证明】因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1,所以CDAD1.因为A1DCD=D,所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC,所以MNAD1.【延伸探究】1.本例中条件不变,求证:M是AB的中点.【证明】假设A1D与AD1交于点O,连接ON,在A1DC中,A1O=OD,A1
3、N=NC,所以ON CD AB,所以ONAM.又由例题可知MNOA,所以四边形AMNO为平行四边形,所以ON=AM.因为ON=AB,所以AM=AB,所以M是AB的中点.121212122.本例中把条件“MN平面A1DC”改为“M是AB的中点”,求证:MN平面A1DC.【证明】连接A1M,CM,取CD中点P,连接NP,MP,由正方体AC1,M,N为中点,则A1M=CM,所以MNA1C.又P为CD中点,所以PNA1D.因为CDA1D,所以CDPN.又MPCD,MPPN=P,所以CD平面MPN.因为MN平面MPN,所以MNCD.又A1CCD=C,所以MN平面A1DC.【类题通法】1.线面垂直的性质:
4、应用直线与平面垂直的常见性质达到证明线线平行的目 的,即线面垂直的性质提供了证明线线平行的依据.2.直线与平面垂直的其他性质:(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面.(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.【定向训练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1与B1D1的中点,则直线CE垂直于()A.AC B.BD C.A1D D.A1D1 【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1C1,B1D1的
5、中点,设O是AC,BD的交点,连接EO(图略),则EO平面ABCD,所以EOBD,又COBD,COEO=O,所以BD平面COE,因为CE平面COE,所以BDCE.探究点二 直线与平面垂直的综合运用【典例2】如图,已知矩形ABCD,SA平面AC,AESB于E,EFSC于F.(1)求证:AFSC;(2)若SD交平面AEF于G,求证:AGSD.【思维导引】(1)证明SC平面AEF,根据直线与平面垂直的性质可得AFSC.(2)证明AG平面SDC.根据SD平面SCD,可得AGSD.【证明】(1)因为SA平面AC,BC平面AC,所以SABC.因为ABCD是矩形,所以ABBC.又SAAB=A,所以BC平面S
6、AB.因为AE平面SAB,所以BCAE.又SBAE,SBBC=B,所以AE平面SBC.因为SC平面SBC,所以AESC.又EFSC,EFAE=E,所以SC平面AEF.所以AFSC.(2)因为SA平面AC,所以SADC.又ADDC,SAAD=A,所以DC平面SAD.因为AG平面SAD,所以DCAG.又由(1)SC平面AEF,AG平面AEF.所以SCAG.又SCDC=C,所以AG平面SDC.因为SD平面SCD,所以AGSD.【类题通法】线线、线面垂直问题的解题策略 (1)证明线线垂直,一般转化为证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.(
7、2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.【定向训练】(2019全国卷)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE.(2)求点C到平面C1DE的距离.【解析】(1)连接B1C,ME,C1D.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN平面C1DE,所以MN
8、平面C1DE.1212(2)过C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得DEBC,DEC1C,又BCC1C=C,所以DE平面C1CE,故DECH.从而CH平面C1DE,故CH的长即为点C到平面C1DE的距离,由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=,故CH=.所以点C到平面C1DE的距离为 .174 17174 1717【课堂小结】课堂素养达标 1.直线n平面,nl,直线m,则l,m的位置关系是()A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直【解析】选D.由题意可知l,所以lm.2.如图,设平面 平面=PQ,EG平面,FH平面,垂足分别为G,H.为使PQGH,则需增加的一个条件是()A.EF平面 B
9、.EF平面 C.PQGE D.PQFH 【解析】选B.因为EG平面,PQ平面,所以EGPQ.若EF平面,则由PQ平面,得EFPQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ平面EFHG,所以PQGH.3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=,若A1CBC1,则BC1=()6A.2 6 B.2 3C.3 2 D.3 6【解析】选C.如图,连接AC1,因为AC=AA1,所以直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1为正方形,所以A1CAC1,因为A1CBC1,AC1BC1=C1,所以A1C平面ABC1,所以A1CAB,因为ABAA1,A1CAA1=A1,所以AB侧面ACC1A1,所以ABAC1,因为AB=AC=AA1=,所以AC1=2 ,所以BC1=3 .6324.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件_时,有VCAB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)【解析】只要VC平面VAB,即有VCAB;故只要VCVA,VCVB即可.答案:VCVA,VCVB(答案不唯一,只要能保证VCAB即可)
