1、目标导航1了解半角公式及其推导过程2能运用和与差的三角函数分式进行简单的恒等变换(重点)3掌握三角恒等变换在三角函数性质中的应用(难点)1 新知识预习探究 知识点一 半角公式阅读教材 P139，完成下列问题(1)当 0 时，sin21cos2；cos21cos2；tan21cos1cos.(2)当 2 时，sin21cos2；cos21cos2；tan21cos1cos.(3)tan2sin2cos2sin1cos1cossin 1cos1cos.【练习 1】(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos21cos2.()(2)对任意 R，sin212cos 都不成立()(3)若 是第一象限角，则
2、 tan21cos21cos2.()知识点二 辅助角公式 asinbcos a2b2aa2b2sinba2b2cos a2b2sin()其中令cosaa2b2，sinba2b2.【思考】在辅助角公式中，的大小如何确定？【提示】由aa2b2与ba2b2的大小来确定，即 cos 和 sin的值【练习 2】函数 y 3sinxcosx 在6，6 上的值域是_解析：y 3sinxcosx2sin6x.又6x6，06x3.0y 3.答案：0，32 新视点名师博客1.半角公式的应用(1)确定半角的正弦、余弦、正切表示式前符号的原则：若给出的角是某一象限的角时，可根据下表决定符号.2sin2cos2tan2
3、第一象限第一、三象限、第二象限第一、三象限、第三象限第二、四象限、第四象限第二、四象限、若给出角 的范围(即某一区间)时，可先求出2的范围，然后再根据2所在的范围来确定符号如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号(2)利用半角公式求三角函数值时，易错的地方是公式右边“”的选取，选取的原则是：公式相等的前提条件是左右两边符号一致，即左边的三角函数值在2所在象限的符号就是右边的符号一般有如下规律：若已给出2所在象限，则由2所在象限确定该三角函数值的符号若没有给出限定符号的条件，该三角函数值取正、负值的详细变化见(1)表(3)利用半角公式求 sin2、cos2，关键在于求出 cos 的
4、值，如例 1.(4)应用公式 tan21cossinsin1cos的好处在于回避了对“”的讨论2辅助角公式形式上是 asinbcos(ab0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成 a2b2sin()的形式，其中 tanba，此公式称为辅助角公式其中 可通过 tanba以及点(a，b)所在的象限来确定.3 新课堂互动探究 考点一 用半角公式解决化简(或求值)问题例 1(1)求 sin15，cos15，tan15的值(2)化简：1sincossin2cos222cos(180360)分析：(1)因为 30是 15的二倍，且三角函数值易知，因此依据二倍角公式转化为用 30的相关三角函数值表示出 si
5、n15，cos15，再求值(2)本题中既有，又有2，因此要化简，需转换角，同时在式子中含有根号，需转换成能开方的形式，由角 的范围可确定2的范围，从而确定其三角函数值的符号，充分利用半角公式转换解析：(1)因为 cos302cos215112sin215，所以 sin21512(1cos30)121 32 2 34，cos21512(1cos30)121 32 2 34.因为 15是第一象限的角，所以sin152 34 6 24，cos152 34 6 24，从而 tan15sin15cos15 6 2446 22 3.(2)原式2cos222sin2cos2 sin2cos222cos222
6、cos2cos2sin2 sin2cos22cos2cos2coscos2.又180360，902180，cos20，原式cos2coscos2cos.点评：解决三角函数问题时，要注意“三看”：(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；(2)看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式如果满足直接使用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用变式探究 1(1)已知|cos|35，且52 3，求 sin2，cos2，tan2的值(2)化简12121212cos232，2.解析：(1)
7、|cos|35，52 3，cos35，54 232.由 cos12sin22，得 sin21cos21352 2 55，又 cos2cos221，得 cos21cos2 55，tan2sin2cos22.(2)32，2，cos0，则由半角公式得1212cos2cos，原式1212cos，又234，sin20，从而1212cossin2.即原式sin2.考点二 三角恒等式的证明例 2 证明：(1)sin2tan21tan22，cos1tan221tan22；(2)tan3x2 tanx22sinxcosxcos2x.分析：(1)依据二倍角公式将 的三角函数值转化为2的三角函数值，再将弦化切即可；
8、(2)从消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角 x,2x 配凑成3x2，x2的形式，注意到 x3x2 x2，2x3x2 x2.解析：(1)sin2sin2cos22sin2cos2sin22cos222tan21tan22.由于sincostan2tan21tan22，所以 cos1tan221tan22.(2)右边2sinxcosxcos2x2sin3x2 x2cos3x2 x2 cos3x2 x22sin3x2 cosx2cos3x2 sinx22cos3x2 cosx2sin3x2cos3x2sinx2cosx2tan3x2 tanx2左边即原等式成立点评：恒等式的证明实质是消除式子
9、左、右两边结构、角、函数名等的差异，有目的地化繁为简常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换、公式变形等变式探究 2 证明：(1)sin(1cos2)sin2cos；(2)tantantantansinsin.证明：(1)左边sin2cos2(2sincos)cossin2cos右边，原等式成立(2)右边sincoscossinsincoscossin，分子、分母同除以 coscos，得右边tantantantan左边，原等式成立.考点三三角恒等变换的综合应用例 3 若函数 f(x)cos2xsin2x2 3sinxcosx1.(1)求 f(x)的最小正周期及 f(x)的最小值；(
10、2)若 f()2，且 4，2，求 的值分析：解析：(1)f(x)cos2xsin2x2 3sinxcosx1，f(x)cos2x 3sin2x12sin(2x)1.tanba 33，且点(3，1)在第一象限，6，故 f(x)2sin2x6 1，f(x)的最小正周期 T22.当 sin2x6 1，即 2x62k2(kZ)，所以当 xk3(kZ)时，函数 f(x)min1.(2)f()2，即 2sin26 12，sin26 12，262k6或 262k56(kZ)，4，2，2623，76.2656，解得 3.点评：解答此类综合题的关键是利用三角函数的诱导公式以及和、差、倍角、半角公式和辅助角公式
11、asinxbcosx a2b2sin(x)，将三角函数式化为 f(x)Asin(x)k 的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究 f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误变式探究 3 已知 a(3，1)，b(sinx，cosx)，xR，f(x)ab.(1)求 f(x)的解析式；(2)求 f(x)的周期、值域及单调区间解析：(1)f(x)ab(3，1)(sinx，cosx)3sinxcosx(xR)(2)f(x)3sinxcosx232 sinx12cosx 2sinx6，T21 2，值域为2,2由22kx622k(kZ)，得 f(x)的单调递增区间
12、为32k，23 2k(kZ)；由22kx632 2k(kZ)，得 f(x)的单调递减区间为23 2k，53 2k(kZ).考点四 三角函数的实际应用例 4 有一块以 O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 辟为绿地，使其一边 AD 落在圆的直径上，另外两点 B，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为 a，如何选择关于点 O 对称的点 A，D 的位置，可以使矩形 ABCD 的面积最大？分析：设AOB，将 AB，OB 统一用半径 a 和 表示出来，再利用三角函数知识求最值解析：画出图象如图所示，设AOB0，2，则 ABasin，OAacos.设矩形 ABCD 的面积为
13、S，则 S2OAAB，S2acosasina22sincosa2sin2.0，2，2(0，)，当 22，即 4时，Smaxa2，此时，A，D 距离 O 点都为 22 a.点评：解决实际问题，应首先设定主变量角 以及相关的常量与变量，建立含有角 的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决变式探究 4 如图，某一公司位于两条平行的大道之间 A 处，且到两道的距离分别为 h1、h2，今公司想在两道上分别设置一个产品销售点 B 和 C，使 ABAC，试问如何设置使ABC 的面积最小？此时最小值为多少？解析：设ABD，则CAE，AB h2
14、sin，AC h1cos，SABC12ABAC h1h2sin2.02，当 22，即 4时，SABC 的最小值为 h1h2.4 新思维随堂自测1.如果|cos|15，52 3，那么 sin2的值等于()A 105 B.105C 155 D.155解析：|cos|15，52 3，cos15，54 232，sin21cos235 155.答案：C2函数 ysin2x6 cos2x3 的最小正周期和最大值分别为()A，1 B，2C2，1 D2，2解析：ysin2x6 cos 2x3 sin2xcos6cos2xsin6cos2xcos3sin2xsin3 32 sin2x12cos2x12cos2x
15、 32 sin2xcos2x.答案：A3已知 2sin1cos，则 tan2的值为()A2 B.12C.12或不存在 D2 或不存在解析：若 1cos0，则 tan2sin1cos12.若 1cos0，即 cos1，2k，22k.tan2不存在答案：C4在ABC 中，若 cosA13，则 sin2BC2cos2A 等于_解析：在ABC 中，BC22A2.sin2BC2cos2Asin22A2 cos2Acos2A2cos2A1cosA22cos2A11132 213212329119.答案：195函数 ysin2x cos6x 的最大值为_解析：ycosxcos6x12cos6cos2x6 3
16、4 12cos2x6.当 cos2x6 1 时，ymax 34 12.答案：34 125 辨错解走出误区易错点：忽略函数的定义域或三角函数符号而导致出错【典例】已知 sin45，求 tan2.【错解】因为 sin45，所以 cos35.若 cos35，则 tan2 1cos1cos13513512；若 cos35，则 tan2 1cos1cos1351352.【错因分析】由半角公式 tan2sin1cos1cossin可以知道，tan2和 sin 的符号相同，所以在求 tan2时应注意公式的选择【正解】已知 sin45，所以 cos35.若 cos35，则 tan21cossin1354512；若 cos35，则 tan21cossin135452.【反思】在运用二倍角或半角公式化简求值的过程中，容易漏掉函数的定义域而造成求值错误，或者遇到正、负号的选择时，不会分析正、负号的情况而造成求值错误遇到此类问题时，应在运用公式之前弄清公式成立的条件及各个角的范围，这样才能正确解决问题.
