1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-第五章 平面向量【知识网络】【学法点拨】向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用学习和理解向量有关知识时，建议：1.注意比较与分析向量的有关概念与我们学习过的有关知识既有联系又有区别，如：平行、相等、乘积等等留心比较分析，可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响2.能画图时尽可能多画草图数离形时少直观，形离数时欠入微向量具有数与形的双重特征，加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对应着一个方程，数形结合考察问题，常常事半功倍3.学会联想与化归向量知识是从日常生活、生产实践中抽
2、象出来的，求解向量综合题，向量及其运算关 系表示法运 算运 用共 线不共线几何法坐标法加减法数 乘数量积三角形法则平行四边形法则坐标运算两点间距离定比分点平移实际应用相等垂 直中点坐标概 念高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-常需要适当联想，并将应用问题数学化，复杂问题熟悉化、简单化第 29 课向量的基本运算【考点指津】1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量、相等向量等概念2掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则3 掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算4理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算【知识在线】1（2a8b
3、）（4a2b）=2在ABC 中，BC=a，CA=b，则AB=3设 a 表示向东 3km，b 表示向北偏东 30走 3km，则 ab 表示的意义为4画出不共线的任意三个向量，作图验证 abc=a（bc）5向量 a、b 满足|a|=8，|b|=10，求|ab|的最大值、最小值【讲练平台】例 1 化简以下各式：AB+BC+CA；AB AC BD CD；OA OD AD；NQ QP MN MP 结果为的个数为 （）分析 题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为 答 点评 本题巩固了向
4、量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律注意：AB=BA，+CB=AB 变题作图验证 A1A2A2A3A3A4An1An=A1An（n2，nN）高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-例 2 如图，在ABC 中，D、E 为边 AB的 两 个 三等分点，CA=3a，CB=2b，求CD，CE 分析 本题中的已知向量都集中体现在三角形中为此，可充分利用向量加减法的三角形法 则 实 施求解如已知CA、CB 可求AB，根据AD、AE、AB 均为共线向量，故又可求得AD、DE、由CA、AD 又可求CD，由DE、CD
5、 又可求CE 解AB=AC+CB=3a+2b，因 D、E 为AB 的两个三等分点，故AD=31 AB=a 32 b=DE，CD=CA AD=3aa 32 b=2a 32 b，CE=CD DE=2a 32 ba 32 b=a 34 b点评三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量值得注意的是，向量的方向不能搞错当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行例 3 已知 A、B、C、P 为平面内四点，求证：A、B、C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数 m、n，使PC=mPA+nPB，且 m+n=1分析A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数，使得A
6、C=AB 很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC、AB，对此，我们不妨利用 PC=PA AC来转化，以便进一步分析求证证明充分性，由PC=mPA nPB，mn=1，得PA AC=mPA n（PA AB）=（mn）PA nAB=PA nAB，AC=nAB ABCDE高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-A、B、C 三点共线必要性:由 A、B、C 三点共线知，存在常数，使得AC=AB，即AP+PC=（AP+PB）PC=（1）AP PB=（1）PA PB，m=1，n=，mn=1，PC=mPA nPB 点评 逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是
7、，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识变题 在ABC 所在平面上有一点 P，满足PA PB PC=AB，试确定点 P 的位置答：P 在 AC 边上，且 P 为 AC 的一个三等分点（距 A 点较近）例 4（1）若点 O 是三角形 ABC 的重心，求证：OA OB OC=0；（2）若 O 为正方形ABCD 的中心，求证：OA OB OC OD=0；（3）若 O 为正五边形 ABCDE 的中心，求证：OA OB OC OD OE=0若 O为正n边形A1A2A3A n的中心，OA1 OA2 OA3 OAn=0还成立吗？说明理由分析 本题四问构成一个题链，条件相似，结论相似，求证方法可望相似正
8、三角形、正方形性质特殊，我们十分熟悉，求证方法多，不容易发现那一种方更有利于推广，我们选定正五边形来研究看着结论，联想一个相似的并且已经解决的问题，本课例 1 的变题A1A2A2A3A3A4An1An+AnA1=0，这里的向量首尾相接，我们能不能将OA、OB、OC、OD、OE 也转化成首尾相接的形式呢？运用向量相等的定义试试看解证（3）以 A 为起点作AB=OB，以 B为 起点作BC=OC，以 C为起点作CD=OD，以 D为起点作DE=OE AOB=72，ABCDEBCD(E)O高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-OAB=108同理ABC=BCD=CDE=108，故DEA=
9、108|OA|=|AB|=BC|=|CD|=|DE|，故 E与 O 重合，OABCD为正五边形OA OB OC OD OE=OA AB BCCDDE=0正三角形，正方形、正 n 边形可类似获证点评 本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况；面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律如退到正方形情况，发现OA OB 与OC OD 正好互为相反向量，结论成立这一方法却不具一般性【知能集成】1 基础知识：向量加减的代数形式运算与几何形式运算2 基本技能：向量运算中的合二为一与
10、拆一为二3 基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想【训练反馈】1下列各式正确的是：（）Aaba+bB a+ba+bCa+babD ab=ab2下面式子中不能化简成AD 的是（）AOC OA C DBPBDA BPCAB DC BCD（AD BM）（BC MC）3正方形 ABCD 的边长为 1，AB=a，BC=b，AC=c，则 abc、abc、ab c 的摸分别等于4设 a、b 为已知向量，若 3x4y=a，2x3y=b，则 x=y=5 已知 e1、e2 不共线，AB=2e1ke2，CB=e13e2，C D=2e1e2，且 A、B、D 三点在同一高
11、考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-条直线上，求实数 k 6在正六边形 ABCDEF 中，O 为中心，若OA=a，OE=b，用 a、b 表示向量OB，OC，OD，结果分别为（）Ab，ba，aB b，a，baCb，a，abDb，a，ab7 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形8已知 P 为ABO 所在平面内的一点，满足OP=OBOBOAOA，则 P 在（）AAOB 的平分线所在直线上B 线段 AB 的中垂线上C AB 边所在的直线上D AB 边的中线上9设 O 是平面正多边形 A1A2A3A n 的中心，P 为任意点，求证：PA1 PA2 PA3 PAn=nPO
12、 10如图设 O 为ABC 内一点，PQBC，且PQ BC=23，OA=a，OB=b，OC=c，则 OP，OQ11P 为ABC 所在平面内一点，PA PBPC=0，则 P 为ABC 的（）A重心B垂心C 内心D外心12在四边形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的中点求证：EF=21（ABDC）第 30 课向量的坐标运算【考点指津】1 理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应2 掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题3 掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行（共线）的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别B
13、ACOPQ高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-7-【知识在线】1 若向量 a 的起点坐标为（2，1），终点坐标为（2，1），则向量 a 的坐标为2若 O 为坐标原点，向量 a=（3，4），则与 a 共线的单位向量为3已知 a=（1，2），b=（1，2），则 ab 与 ab 的坐标分别为（）A（0，0），（2，4）B（0，0），（2，4）C（2，4），（2，4）D（1，1），（3，3）4若向量 a=（x2，3），与向量 b=（1，y2）相等，则（）A.x=I，y=3，Bx=3，y=1Cx=1，y=5 Dx=5，y=15已知 A（0，0），B（3，1），C（4，3），D（1，2），
14、M、N 分别为 DC、AB 的中点（1）求证四边形 ABCD 为平行四边形；（2）试判断AM、CN 是否共线？为什么？【讲练平台】例 1 已知 a=（1，2），b=（3，2），当 k 为何值时，ka+b 与 a3b 平行？分析已知 a、b 的坐标，可求 a3b 的坐标，kab 的坐标也可用含 k 的表达式表示运用两向量平行的充要条件 x1y2x2y1=0 可求 k 值解由已知 a=（1，2），b=（3，2），得a3b=（10，4），kab=（k3，2k2）因（kab）（a3b），故 10（2k2）4（k3）=0得 k=31 点评坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标；其纵坐标之
15、和即为和向量的纵坐标实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积向量的平行用坐标形式表达即为一个方程例2 已知向量 a=（21，23），b=（1，2），c=（2，4）求向量 d，使 2a，b 21 c 及 4（ca）与 d 四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-8-分析四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为 0即四个向量的纵横坐标之和均为 0据此列出关于向量 d（x，y）的方程组，不难求得 x、y简解设向量 d 的坐标为（x，y），由 2a（b 21 c）4（ca）d=0，
16、可解得 d=（9，23）点评数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到例 3 已知平面上三点 P（2，1），Q（3，1），R（1，3）若点 S 与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求 S 的坐标分析平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得 S 点的坐标但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论简解设 S 的坐标为（x，y）（1）当PQ 与RS 是一组对边时，若PQ=RS，则（3，1）（2，1）=（x1，y3），即（1，2）=（x1，y3），得 S 点
17、坐标为（0，1）若PQ=SR，则 S 点坐标为（2，5）（2）当PR 与SQ 是一组对边时，若PR=SQ，则 S 点的坐标为（6，3）若PR=QS，则 S 点的坐标为（0，1）（3）当PS 与RQ 是一组对边时，若PS=RQ，则 S 点的坐标为（6，3）若PS=QR，则 S 点的坐标为（2，5）综上所述，S 点坐标可以为（0，1），（6，3），（2，5）点评本题求解需运用分类讨论思想上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-9-例 4 向量PA=（k，12），PB=（4，5），PC=（10，k）
18、，当 k 为何值时，A、B、C 三点共线分析三点共线问题前一课已涉及，A、B、C 三点共线的充要条件是AB=BC，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算解AB=PB PA=（4k，7），BC=PC PB=（6，k5）当 A、B、C 三点共线时，存在实数，使得AB=BC，将坐标代入，得4k=6，且7=（k5），故（4k）（k5）=42解得 k=11，或 k=2点评向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解（证）同一个问题只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择变题求证：互不重合的三点 A（x1，y1），B（x2，y2
19、），C（x3，y3）共线的充要条件是（x2x1）（y3y1）=（x3x1）（y2y1）证明必要性（略）充分性若（x2x1）（y3y1）=（x3x1）（y2y1），由 A、B、C 互不重合，得（x2x1）、（y3y1）、（x3x1）、（y2y1）中至少有一个不为零，不妨设 x3x10令 x2x1=（x3x1），若=0，则 x2x1=0，此时 y2y1（否则 A、B 重合）而已知等式不成立，故0于是（x3x1）（y2y1）=（x3x1）（y3y1）因 x3x10，故（y2y1）=（y3y1）于是（x2x1，y2y1）=（x3x1，y3y1），即 AB=AC，且AC 0 又因AB 与AC 有相同起点
20、，所以 A、B、C 三点共线【知能集成】基础知识：坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积基本技能：向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用基本思想：将向量等式转化成方程的思想；对几何图形的分类讨论思想【训练反馈】1若 a=（2，3），b=（4，y1），且 ab，则 y=（）高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-10-A6 B5 C7 D 8 2已知点 B 的坐标为（m，n），AB 的坐标为（i，j），则点 A 的坐标为（）A（mi，nj）B（im，jn）C（mi，nj）D（mn，ij）3若 A（1，1），B（1，3），C（x，5）三点共线，则 x=4已知
21、a=（5，4），b=（3，2），则与 2a3b 平行的单位向量为5有下列说法 已知向量PA=（x，y），则 A 点坐标为（x，y）；位置不同的向量，其坐标有可能相同；已知 i=（1，0），j=（0，1），a=（3，4），a=3i4j；设 a=（m，n），b=（p，q），则 a=b 的充要条件为 m=p，且 n=q其中正确的说法是（）ABCD6下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是（）Aa=（1，2），b=（0，5）Ba=（1，2），b=（2，1）Ca=（2，1）b=（3，4）Da=（2，1），b=（4，2）7设 a=（1，2），b=（1，1），c=（3，2），用 a、b 作基
22、底，可将向量 c 表示为 c=paqb，则（）Ap=4，q=1 Bp=1，q=4 Cp=0，q=4 Dp=1，q=48设 i=（1，0），j=（0，1），在平行四边形 ABCD 中，AC=4i2j，BD=2i6j，则AB 的坐标为9已知 3sin=sin（2），k 2，k，kz，a=（2，tan（+），b=（1，tan），求证：ab10已知 A（4，0），B（4，4），C（2，6），求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标（x，y）11已知点 O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP=OA tAB（1）当 t 变化时，点 P 是否在一条定直线上运动？（2）当 t 取何值时，点 P 在 y
23、 轴上？（3）OABP 能否成为平行四边形？若能求出相应的 t 值；若不能，请说明理由高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-11-第 31 课平面向量的数量积【考点指津】1 掌握平面向量的数量积及其几何意义2 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题3 掌握向量垂直的条件【知识在线】1若a=4，b=3，ab=6，则 a 与 b 的夹角等于（）A150B 120C60D30 2若 a=（2，1），b=（1，3），则 2a2ab=（）A，15 B11C9 D6 3已知向量 i=（1，0），j=（0，1），则与向量 2ij 垂直的一个向量为（）A 2ijB i2jCij
24、D ij4已知 a=（1，2），b=（1，1），c=bka，且 ca，则 C 点坐标为5已知a=3，b=4，且 a 与 b 夹角为 60，ka2b=13，求 k 的值【讲练平台】例1（1）在直角三角形 ABC 中，C=90，AB=5，AC=4，求AB BC（2）若 a=（3，4），b=（2，1），试求（a2b）（2a3b）分析（1）中两向量AB、BC 的模及夹角容易求得，故可用公式ab=|a|b|cos求解（2）中向量 a、b 坐标已知，可求 a2、b2、ab，也可求 a2b 与 2a3b 的坐标，进而用（x1，y1）（x2，y2）=x1x2y1y2 求解解（1）在ABC 中，C=90，AB=
25、5，AC=4，故 BC=3，且 cosABC=53，AB 与BC 的夹角=ABC，AB BC=AB BC cosABC=53 53=9高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-12-（2）解法一a2b=（3，4）2（2，1）=（1，6），2a3b=2（3，4）3（2，1）=（12，5），（a2b）（2a3b）=（1）12（6）（5）=18解法二（a2b）（2a3b）=2a2ab6b2=232（4）232（4）16（2212）=18点评向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算具体应用时可根据已知条件的特征来选择值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，（1
26、）中ABC 并非AB 与BC 的夹角从第（2）问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算如：a（bc）=abbc，而（ab）ca（bc）例 2已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点，且满足 OA2+BC2=OB2+CA2，试用向量方法证明 ABOC 分析要证AB OC，即证AB OC=0，题设中不涉及AB，我们用AB=AO+OB 代换，于是只需证AO OC=BO OC 至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA、OB、OC 的形式证明由已知得OA2+BC2=OB2+CA2，即OA2+（BO+OC）2=OB2+（CO+OA
27、）2，整理得AO OC=BO OC，即 OC（BO+OA）=0，故 OC AB=0所以 ABOC 点评用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为 0本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在例 3设OA=a=（3 1，3 1），OB=b=（3，3），试求AOB 及AOB 的面积分析已知 a、b 可以求|a|、|b|及 ab，进而求得AOB（即 a 与 b 的夹角），在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S=21 absin求面积解设AOB=，AOB 的面积为 S，由已知得：OA=a=22)13()13(=22，OB=b=2 3，高考资源网（
28、）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-13-cos=baba=3222313313=22=4 又 S=21 absin=21 222322=2 3，即AOB=4，AOB 的面积为 2 3 点评向量的数量积公式 ab=abcos不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角要注意该公式与三角形的面积公式的区别此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况（见变题）变题设ABC 的面积为 S，AB=a，AC=b，求证 S=2122baba例 4已知 a 与 b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a-4b 与 7a-2b 垂直，求 a 与 b的夹角分析要求夹角，必需求出 cos；求 cos需
29、求出 ab 与ab的比值（不一定要求出a、b的具体值）由已知的两个向量的垂直关系，可以得到ab与 ab的关系解（a+3b）（7a-5b），（a-4b）（7a-2b），（a+3b）（7a-5b）=0，（a-4b）（7a-2b）=0即7a2+16ab-15b2=0，7a2-30ab+8b2=0两式相减，得b2=2ab故a2=b2，即a=bcos=baba=21222bb=60，a 与 b 的夹角为 60 点评从基本量思想考虑，似乎没有具体的 a 与 b，无法求出 a 与 b 的夹角，其实不然，cos是一个 ab 与ab的比值，并不需要具体分别求出类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关
30、系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用在本题求解过程中注意，b2=2ab 不能得出 b=2a，同样 a2=b2 也不能得到 a=b高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-14-【知能集成】基础知识：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条件基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的论证与求解基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想求向量夹角时的设而不求的思想【训练反馈】1 已知 a=5，a 与 b 的夹角的正切值为 43，ab=12，则 b 的模为（）A4 B
31、3 C 31D 5122已知 a=2，向量 a 在单位向量 e 方向上的投影为 3，则向量 a 与 e 向量的夹角为（）A30B60C120D1503已知 a=（1，2），b=（5，8），c=（2，3），则 a（bc）为（）A34 B（34，68）C 68 D（34，68）4边长为2 的正三角形 ABC 中，设AB=c，BC=a，CA=b，则 abbcca 等于（）A3 B0 C1 D35已知 a=（1，2），b=（x，1），当（a2b）（2ab）时，实数 x 的值为6已知 m=（5，3），n=（1，2），当（mn）（2nm）时，实数的值为7已知|a|=|b|=1，a 与 b 夹角为 90，c
32、=2a3b，d=ka4b，且 cd，则 k=8已知 A、B、C、D 是平面上给定的四个点，则AB CD AC DB AD BC=9已知 ab=（2，8），ab=（8，16），则 a 与 b 夹角的余弦值为10设两向量 e1、e2 满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2 的夹角为 60，若向量 2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围11设向量 a=（cos23，cos67），b=（cos68，cos32），u=atb(tR)（1）求 ab；（2）求 u 的模的最小值12设 a=（1cos，sin），b=（1cos，sin），c=（1，0），（0，），（，2）
33、，a 与 c 的夹角为1，b 与 c 的夹角为2，且12=6，求 sin4 的值高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-15-第 32 课线段的定比分点、平移【考点指津】1 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且熟练运用2 掌握平移公式，并能运用平移公式化简函数解析式3 理解公式的推导过程，必要时能回到定义去，用向量运算的相关知识，解决定比分点问题和平移问题【知识在线】1若 P 分AB 所成的比为 43，则 A 分BP 的比为（）A 73B 73C 37D 372设点 P 在线段 AB 的延长线上，P 分AB 所成的比为，则（）A1 B10 C01 D13按向量 a 将点（2，3）
34、平移到（0，1），则按向量 a 将点（7，1）平移到点（）A（9，3）B（9，3）C（5，1）D（5，3）4若函数 y=f（12x）的图象，按向量 a 平移后，得到函数 y=f（2x）的图象，则向量a=5设三个向量OA=（1，2），OB=（2，4），OC 的终点在同一条直线上（O 为坐标原点）（1）若点 C 内分AB 所成的比为 23，求 C 点坐标；（2）若点 C 外分AB 所成的比为 23，求 C 点坐标【讲练平台】例1 已知 P（1，1），A（2，3），B（8，3），且 C、D 顺次为 AB 的三等分点（C 靠近A），求PC 和PD 的坐标分析已知 A、B 两点坐标，可求 AB 的两个三
35、等分点 C、D 的坐标，进而结合已知 P 点坐标，可求PC，PD 解解法一由题知，点 C、D 分 AB 所成的比分别为1=21，2=2，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-16-设 C（x，y），则.12113213,42118212yx即 C（4，1），同理可得 D（6，1）故 PC=（4，1）（1，1）=（3，0），PD=（6，1）（1，1）=（5，2）解法二因 A、B、C、D 四点共线，由已知得ABAC31，AD=23 AB，故PC=PA AC=（21，31）31（82，33）=（3，0），PD=PA AD=（21，31）23（82，33）=（5，2）点评定比分点公式涉及
36、起点坐标、终点坐标、分点坐标、定比七个量，它们之间固有的联系有两个方程，故已知其中五个量能求其余两个量，若是只考察其中一个方程（如横坐标关系式），只须已知其中三个，可求第四个对此，我们不仅要考察公式的原形，还需掌握公式的变形本题的解法二，回归到最基础的向量加减来处理定比分点问题，运算量小，出错率低例 2 将函数123xxy的图象按向量 a 平移后得到函数xky 的图形，求 a 和实数 k分析平移前后的函数表达式已知，可以通过恒等变形，求得整体结构一致，再比较变量 x、y 的变化，确定平移公式，得向量 a，而 k 则可通过比较系数法求得解212145123xxxy令x=x 21，y=y 21 原
37、函数解析式变形为 y=x45，a=（,21 21），k=45 点评图形的平移变换，实质是图形上任意一点的变换，求解平移变换问题至关重要的高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-17-是确定关于点的坐标的平移公式面对较为复杂的函数表达式，为了画出其图形，并讨论其性质，常采纳平移变换化繁为简变题通过平移变换，化简dcxbaxy（adbco，co），并作出图形提示：dcxbaxy=cacdxadbcc21，令cayycdxx并记adbcc21=k0，则原方程化简为xky因此，原函数的图象按向量 a=cacd,平移后得xky的图象，故其图象是以cacd,为中心的，以 x=caycd,为渐近
38、线的双曲线例 3将函数1372sin2xy的图象，按向量 a 平移后得到的函数图象关于原点对称这样的向量是否唯一？若唯一，求出向量 a；若不唯一，求 a 模的最小值分析正弦函数是周期函数，其图象关于原点对称时，表达式不唯一就本题而言，平移后的函数解析式可以是 y=2sin2x，也可以是 y=2sin（2x），y=2sin（2x）等等因此，向量 a 不唯一要求a的最小值，首先必需确定平移后函数表达式的一般式，并在此基础上建立关于a的目标函数解向量 a 不唯一平移后的图象对应解析式可以为 y=2sin（2xk），kZ考察原函数表达式1372sin2xy，可令1672yyxkx（kZ）高考资源网（）
39、您身边的高考专家 版权所有高考资源网-18-即1267yykxx，a=（267k，1），(kZ)，|a|221267k（kZ）当 k=2 时，a取最小值，最小值为3612点评常见向量平移变换应用于三角函数式化简，多数问题思路单一，结论唯一本题突破常规，开放性的设计，要求解题者具有更深刻的思维能力例4 设 A（1，1），B（5，5），且 P 在直线 AB 上，若AB=AP，AP=PB，P 点是否可能落在线段 AB 的延长线上？若能，求出 P 点坐标；若不能；说明理由分析由AB=AP知，要使 P 落在线段 AB 的延长线上，只需（0，1）为此，我们设法将两个已知向量等式转化成关于的方程，解出，检验
40、（0，1）是否成立解AB=（5，5）（1，1）=（4，4），设 P（x，y），则AB=AP=2 PB（4，4）=2（5x，5y）=（x1，y1），45452222yx且1414yx依据两个方程组的第一个方程，消去 x，得52（4）=4，即21=0，=251数形结合知，在AB=AP 时，要 P 落在线段 AB 的延长线上，则需（0，1），所求两个的值均不符合题意，故 P 不可能落在 AB 延长线上【知能集成】基础知识：向量的平移公式，定比分点定义、公式及中点坐标公式基本技能：求平移公式，求点关于向量平移后的坐标，求函数图象关于向量平移后对应高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-19
41、-的函数解析式运用定比分点公式，求端点、分点坐标及定比基本思想：回到定义去，回避定比分点公式的繁琐运算用基本量思想看定比分点公式运用整体分析、比较观点，确定平移公式【训练反馈】1点（4，3）关于点（5，3）的对称点坐标是（）A（4，3）B（6，9）C（29，0）D（12，3）2点 A（0，m）按向量 a 平移后得到点 B（m，0），则向量 a 的坐标是（）A（m，m）B（m，m）C（m，m）D（m，m）3 按向量 a 可把点（2，0）平移到点（1，2），则点（1，2）按向量 a 平移后得到的点是（）A（2，0）B（3，2）C（2，4）D（4，4）4将函数462sin3xy的图象，按向量 a 平
42、移后得到的图象对应函数 y=f（x）是奇函数，则 a 可以是（）A（6，4）B（12，4）C（6，4）D（12，4）5已知点 P（2，3），分 P1P2 所成的比为 2，且点 P2（1，2），则点 P1 的坐标为（）A（4，5）B（0，1）C（3，4）D（5，6）6将函数 y=x2mxn 图象的顶点 P 按向量 a 平移到原点 O，则 a=7 函数的图象按向量 a=（2，1）平移后得到函数xy1的图象8已知 A（2，2），B（3，4），C（4，1），则ABC 的重心坐标为9若P1P2=5 cm，点 P 在线段 P1P2 的反向延长线上，且P1P=1 cm，则 P 分 P1P2 所成的比为10
43、已知 O 为原点，mR 且 m0，OA=（m，2m），OB=（2，2），求点 B 关于直线 OA 的对称点 C 的坐标11 已知关于 x 的一次函数 y=ax+b 的图象 C 按向量 p=（1，2）平移后，得到的图象仍然是C，问这样的一次函数是否唯一？若唯一，求出该函数的解析式；若不唯一，说明这类函数的表达式的共同特征12已知 A、B、C 三点在一条直线上，且OA 3OB 2OC=0，求点 A 分BC 所成的比高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-20-第 33 课平面向量的应用【考点指津】1 在阅读、理解具有实际意义的文字材料的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题
44、2 能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型3 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解4 能结合实际意义，正确表述问题的解5 能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题【知识在线】1下列各个量：物体的位移；汽车的速度；物体的质量；某液体的温度其中能称为向量的有2已知三个力 F1=（1，3），F2（2，1），F3=（x，y），某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力 F3=3设某人向东走 3 km 后，又改变方向向北偏东 30走 3 km，该人行走的路程是，他的位移是4用向量方法证明勾股定理5一条东西方向的河流，水流速度为 2 km/h，方向正东一船从南岸出发，向北岸横渡，船
45、速为 4 km/h，试求船的实际航行速度，并画出图形（角度可用反三角函数表示）【讲练平台】例 1 某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡根据测量，这一天水流速度 3km/h，方向正东，风向北偏西 30，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2 3 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向aVV3V2V1a高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-21-分析撇开题设情境，提炼出四个速度，即水流速度 v1，风的速度 v2，船本身的速度 v3，船的实际航行速度 v，并且有 v1v2v2=v，在这一等式中，v1、v2、v 已知，v3 可
46、求略解：设水的速度为 v1，风的速度 v2，v1v2=a，易求得 a 的方向是北偏东 30，a 的大小为 3 km/h 设船的实际航行速度v，方向南向北，大小 2 3km/h船本身的速度v3，则a+v3=v，即v3=v-a，数形结合知，v3 方向是北偏西 60，大小为 3 km/h点评这是一个与“知识在线”第 5 题相似的问题，熟悉的情境以及简单情况下的解题经验为本题求解奠定了基础四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略每一次合成只相当于求解了一个简单题例 2 已知 O 为ABC 所在平面内一点，满足|OA|2|BC|2=|CA|2|OB|2=|OC|2|AB|2试证明 O 是ABC
47、 的垂心分析已知等式是关于线段长度平方和的等式，OA 与BC、OB与CA、OC与AB 都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难但线段长度平方和即向量模的平方，要证 O 是ABC 的垂心，只需证得OA BC，OBCA，联想向量的数量积，只需证OA BC=OBCA=0|OA|2|BC|2=|CA|2|OB|2，得a2（cb）2=b2（ac）2，cb=ac，即（ba）c=0OCAB=0，故 ABOC同理CAOB，BC OA 故 O 是ABC 的垂心点评向量知识的应用领域很宽泛，中学数学所涉及的平几、立几、解几、函数、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于
48、揭去伪装，合理转化例 3如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮 A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为 m1 和 m2 的物体（m1m2），另在两滑轮中间的一段绳子的 O 点处悬挂质量为 m 的另一物体，已知 m1m2=OBOA，且系统保持平衡（滑轮BOmm2Am1高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-22-半径、绳子质量均忽略不计）求证：（1）AOB 为定值；（2）212mmm2分析依据题意，我们可以作出物体的受力图，引用平衡条件可列出方程组，在方程组的变形中，探索AOB 的大小，在求出AOB 后，再向第 2 问结论努力解（1）设两绳子 AO、BO 对
49、物体m 的拉力分别为F1、F2，物体 m 向下的重力为 F，由系统平衡条件知 F1+F2+F=0如图，设BAO=，ABO=，根据平行四边形法则，得F2cos+F1cos（）=0，F2sin+F1sin（）F=0即m2cosm1 cos=0，m2sinm1 sin=m在AOB 中，由正弦定理，得 OBOA=sinsin，将 m1m2=sinsin代入，得sincos=sincos，即 sin2=sin2m1m2，OAOB，22=180=90，即AOB=90（）由=90，得 coscossinsin 将平方相加，得 m2=m12m22由 m22m1m2=m12m222m1m2=（m1m2）20，得
50、 m22m1m2212mmm2点评 向量在物理中的应用最常见的是力学问题，物体处于平衡状态即所受各力的合力为，亦即向量之和为零向量，运用三角形法则、平行四边形法则及解斜三角形的基础知识可望得到问题的解本题所列方程组，是根据物体水平方向、竖直方向所受各力的合力分F2F1FBA高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-23-别为得到【知能集成】向量知识是一种基础性、工具性知识，在跨学科内分支、跨学科范畴、跨认知领域的广泛应用中，我们应逐步增强阅读理解能力，数学建模、解模能力，和分析问题解决问题能力【训练反馈】如果一架向东飞行 200km，再向南飞行 300km，记飞机飞行的路程为 s，位
51、移为 a，则（）As|a|Bs0，则ABC 为钝角三角形C 若 ab=0，则ABC 为直角三角形D若 c（abc）=0，则ABC 为正三角形8在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行此时，风向是北偏东 30，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速为 20 km/h，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-24-若不考虑其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度为9已知 a=（sin，sincos），b=（cos，0），O 为坐标原点，OP=ab，则|OP|=10一个 30的斜面上放有一个质量为 1kg 的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜
52、面方向给球多大的力？若表示球的重力的向量为 p，球对斜面的压力为，则球的重力沿斜面方向的分力 f 如何表示？保持球在斜面上静止不动的推力 f又如何表示？11 已知点 A（1，2）和 B（4，1），问能否在 y 轴上找一点 C，使ACB=90，若能，求出 C 点坐标；若不能，说明理由12 已知 O 为坐标原点，OA=（3，0），OB=（23,21），两个质点甲、乙分别从 A、B 两点同时出发，速度均为 4km/h，且甲沿AO方向运动，乙沿OB方向运动（1）甲乙两个质点之间的初始距离是多少？（2）用包含 t 的式子 f（t）表示 t 小时后，两个质点之间的距离；（3）什么时候两个质点之间相距最近单
53、元练习五（平面向量）（考试时间 120 分钟 总分 150 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 向量 a=（1，2），向量 a 与 b 共线，且|b|=4|a|则 b=（）A（4，8）B（4，8）或（4，8）C（4，8）D（8，4）或（4，8）2 已知 a=（2，1），b=（x，1），且 ab 与 2ab 平行，则 x 等于（）A10 B10 C2 D23已知向量 a 和 b 满足|a|=1，|b|=2，a（ab）则 a 与 b 的夹角为（）A30B45C75D1354设 e1、e 2 是两个不共线向量，若向量
54、 a=3e15e2 与向量 b=me13e2 共线，则 m 的值等于（）高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-25-A 53B 95C 35D 595 设 ABCD 的 对 角 线 交 于 点 O，AD=（3，7），AB=（2，1），OB=（）A（52，3）B（52，3）C（1，8）D（12，4）6设 a、b 为两个非零向量，且 ab=0，那么下列四个等式|a|=|b|；|ab|=|ab|；a（ba）=0；（ab）2=a2b2其中正确等式个数为（）A0 B1 C2 D3 7将 y=2x 的图象 （）A按向量（0，1）平移B按向量（0，1）平移C按向量（1，0）平移D按向量（1，0
55、）平移再作关于直线 y=x 对称的图象，可得到函数 y=log2（x1）的图象8a=（1，2），b=（1，1），c=（3，2）用 a、b 作基底可将 c 表示为 c=paqb，则实数 p、q 的值为 （）Ap=4 q=1 Bp=1 q=4 Cp=0 q=4 D p=1 q=0 9将函数 y=2sin2x 的图象按向量 a 的方向平移得到函数 y=2sin（2x3）1 的图象，则向量 a 的坐标为 （）A（3，1）B（6，1）C（3，1）D（6，1）10设平面上四个互异的点 A、B、C、D，已知（DB DC 2DA）（AB AC）=0则ABC 的形状是 （）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角
56、形D等边三角形11将函数 y=2x 的图象按向量 a 平移后得到函数 y=2x6 的图象，给出以下四个命题：a的坐标可以是（，）；a 的坐标可以是（，6）；a 的坐标可以是（6，）；a 的坐标可以有无数种情况其中真命题的个数为（）A1 B2 C3 D4高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-26-12设 F1、F2 是双曲线 x24 y2=1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且PF1 PF2=0，则|PF1|PF2|的值为（）A2 B2 2C4 D8 二、填空题：每小题 4 分，共 16 分13设线段 P1P2 的长为 10cm，P 在 P1P2 的延长线上，且 P2P=20cm，
57、则 P 分P1P2所成的比为14已知向量 a=（2，2），b=（3，1）那么（ab）（ab）的值是15若 a=（2，3），b=（4，7），ac=0，则 c 在 b 方向上的投影为16若对 n 个向量 a1，a2，a3，an，存在 n 个不全为零的实数 k1，k2，kn，使得 k1 a1k2a2knan=0 成立，则称 a1，a2，an 为“线性相关”依此规定，能使 a1=（1，0），a2=（1，1），a3=（2，2）“线性相关”的实数 k1，k2，k3 依次可以取三、解答题17（本题满分 12 分）如图，一艘船从点 A 出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向AD 行驶，同时河水的流
58、速为 2 km/h求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）18（本题满分 12 分）已知OFQ 的面积为 S，且OF FQ=1，若12 S 23，求向量OF 与 FQ 的夹角的范围19（本题满分 12 分）已知点 H（3，0），点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且满足MQPMPMHP23,0，当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C20（本题满分 12 分）已知向量OA=3i4j，OB=6i3j，OC=（5m）i（4m）j，其中 i、j 分别是直角坐标系内 x 轴与 y 轴正方向上的单位向量（1）若 A、B、C 能构成三角形，求
59、实数 m 应满足的条件；（2）若ABC 为直角三角形，且A 为直角，求实数 m 的值DCB高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-27-21（本题满分 12 分）已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120（1）求证(ab)c；（2）若kabc1(kR)，求 k 的取值范围22（本题满分 14 分）已知向量 a、b、c、d，及实数 x、y，且|a|=1，|b|=1，c=a（x23）b，d=yaxb，如果 ab，cd，且|c|10（1）求 x、y 的函数关系式 y=f（x）及定义域；（2）（供部分考生选做）判断 f（x）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值
