1、12.1归纳与类比1归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性我们将这种推理方式称为归纳推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理归纳推理的基本模式：a、b、cM且a、b、c具有某属性，结论：任意dM，d也具有某属性2类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a，b，c；结论：B具有属性d.(a，b，c，d与a，b，c，d相似或相同)3归纳推理
2、和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确4演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN)()(6)在演绎推理
3、中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28B76C123 D199解析：选C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10b10123.2(2016高考山东卷)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2221_.解析：由题意知，各个等式中的第一项中角的规律为，对应的等式的右边分别为乘两个连续的正整数，第一个因子分别为1,2,3，.故答案
4、为n(n1)答案：n(n1)3(教材改编)在等差数列an 中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，nN)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则b1b2b3b4bn_.答案：b1b2b3b4b17n(n0，nN)，若bmc，bnd(nm2，m，nN)，则可以得到bmn_.解析设数列an的公差为d1，数列bn的公比为q，则等差数列中ana1(n1)d1，等比数列中bnb1qn1.amn，bmn.答案(2)(2017山东临沂质检)如图所示，若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比.如图，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线O
5、P，OQ和OR上分别有点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论为_解析本题是把二维的面积关系，推广到三维的体积关系：.答案(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等2在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_解析：设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥
6、ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：1.答案：1类型三演绎推理(2017福建三明调研)数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2.(小前提)故是以2为公比，1为首项的等比数列(结论)(2)由(1)可知，4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(
7、结论)3已知函数yf (x)满足：对任意a，bR，ab，都有af (a)bf (b)af (b)bf (a)，试证明：f (x)为R上的单调增函数证明：设x1，x2R，取x1x1f (x2)x2f (x1)，x1x20，(x2x1)0，x10，f (x2)f (x1)yf (x)为R上的单调增函数学科培优高频微考点高考中的合情推理问题(十)典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：b2 014是数列an的第_项；b2k1_.
8、(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf (x)满足：(1)Tf (x)|xS；(2)对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f (x1)0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”其中类比结论正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：选C.在复数集C中，若两个复数满足ab0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等，故正确；在有理数集Q中，若abcd，则(ac)(bd)0，易得ac，bd.故正确；若a，bC，当a1i，bi时，ab10，但a，b是两个虚数，不能比较大小，故错误故3个结论中，有两个是正确的故选C.3某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说
9、了真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件可以判断偷珠宝的人是()A甲 B乙C丙 D丁解析：选A.假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选A.4若数列an是等差数列，则数列bn也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()Adn BdnCdn Ddn解析：选D.若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn为等比数
10、列，故选D.5在数列an中，已知a12，a27，an2为an与an1(nN)的积的个位数，则a2 017等于()A8 B6C4 D2解析：选D.由题意得a34，a48，a52，a66，a72，a82，a94，a108，a112，a126，a132，a142.可见从第3项开始，an为周期为6的循环数列，根据规律得a2 0172.6将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n(n3)行从左至右的第3个数是_解析：前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行从左至右的第3个数是全体正整数中第3个，即为.答案：7若P0(x0，y0)在椭圆1(ab0)外，过P0作椭圆的两条切线的切
11、点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是_解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有1，1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线1上，故切点弦P1P2所在的直线方程是1.答案：18已知等差数列an中，有，则在等比数列bn中，会有类似的结论：_.解析：由等比数列的性质可知b1b30b2b29b11b20，.答案：9给出下面的数表序列：表1
12、 表2表3 113135 448 12其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解：表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列10f (x)，先分别求f (0)f (1)，f (1)f (2)，f (2)f (3)，然
13、后归纳猜想一般性结论，并给出证明解：f (0)f (1)，同理可得f (1)f (2)，f (2)f (3).由此猜想f (x)f (1x).证明f (x)f (1x).(时间：25分钟)11在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则()A. BC. D解析：选C.从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，E为等边三角形ABC的中心，O为内切球与外接球球心，则AEa，DEa.设OAR，OEr，则OA2AE2OE2，即R222，Ra，ra，正四面
14、体的外接球和内切球的半径之比是31，故正四面体PABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于，故选C.12已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四条边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若k，则h12h23h34h4.类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若K，则H12H23H34H4()A. BC. D解析：选B.根据三棱锥的体积公式，得S1H1S2H2S3H3S4H4V，即KH12KH23KH34KH43V，H12H23H34H
15、4.13某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin
16、cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2sin2sin2cos2.14对于三次函数f (x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f (x)是函数yf (x)的导数，f (x)是f (x)的导数，若方程f (x)0有实数解x0，则称点(x0，f (x0)为函数yf (x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称
17、中心若f (x)x3x23x，请你根据这一发现，(1)求函数f (x)的对称中心；(2)计算f f f f f .解：(1)f (x)x2x3，f (x)2x1，由f (x)0，即2x10，解得x.f 3231.由题中给出的结论，可知函数f (x)x3x23x的对称中心为.(2)由(1)，知函数f (x)x3x23x的对称中心为，所以f f 2，即f (x)f (1x)2.故f f 2，f f 2，f f 2，f f 2. 所以f f f f f 22 0122 012.12.2综合法与分析法、反证法1综合法(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地
18、接近要证明的结论，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法(2)框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)2分析法(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法(2)框图表示：.3反证法我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法反证法的证题步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，
19、导出矛盾；否定假设，肯定结论【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(6)证明不等式q D不确定解析：选B.qp.2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多
20、有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故应选A.3已知ab0，证明可选择的方法，以下最合理的是()A综合法 B分析法C类比法 D归纳法解析：选B.首先，排除C、D.然后，比较综合法、分析法我们选择分析法，欲证：，只需证：，即证：ab(ab)2，只需证：02.4(2017山东青岛模拟)设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c()A都大于2 B都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析：选D.a0，b0，c0，6，当且仅当abc1时，“”
21、成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.5(教材改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_三角形解析：由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形答案：等边类型一分析法的应用已知函数f (x)tan x，x，若x1，x2，且x1x2，求证：f .证明要证f ，即证明(tan x1tan x2)tan ，只需证明tan ，只需证明.由于x1，x2，故x1x2(0，)所以cos x1co
22、s x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即证1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即证cos(x1x2)f .若本例中f (x)变为f (x)3x2x，试证：对于任意的x1，x2R，均有f .证明：要证明f ，即证明32，因此只要证明(x1x2)3(x1x2)，即证明3，因此只要证明，由于x1，x2R时，3x10,3x20，由基本不等式知 显然成立，故原结论成立1已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明：要证，即证3也就是1，只需证
23、c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立类型二综合法的应用若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lg lg lg lg alg blg c.2(1)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：abbcac.证明：由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b
24、2c2abbcca.由题设知(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)已知xyz1，求证：x2y2z2.证明：x2y22xy，x2z22xz，y2z22yz，2x22y22z22xy2xz2yz，3x23y23z2x2y2z22xy2xz2yz，即3(x2y2z2)(xyz)2，xyz1，(xyz)21，3(x2y2z2)1，即x2y2z2.类型三反证法的应用题点1证明否定性命题已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列解(1)当n1时，a1S12a1
25、2，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明：反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，则2，所以22rq2rq1.(*)又因为pqr，且p，q，rN，所以rq，rpN.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证题点2证明存在性问题(2017山东济南模拟)若f (x)的定义域为，值域为(a2)，使函数h(x)是区间上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解(1)由题设得g(x)(x1)21，其图像的对称
26、轴为x1，区间在对称轴的右边，所以函数在区间上单调递增由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.因为b1，所以b3.(2)假设函数h(x)在区间(a2)上是“四维光军”函数，因为h(x)在区间(2，)上单调递减，所以有即解得ab，这与已知矛盾故不存在3已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3，而abc2x22x32233，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.反证法在证明题中的应用(二十二)典例(12分)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21
27、相交于A、C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形思维点拨(1)根据菱形对角线互相垂直平分及点B的坐标设出点A的坐标，代入椭圆方程求得点A的坐标，后求AC的长；(2)将直线方程代入椭圆方程求出AC的中点坐标(即OB的中点坐标)，判断直线AC与OB是否垂直(1)因为四边形OABC为菱形，则AC与OB相互垂直平分由于O(0,0)，B(0,1)所以设点A，代入椭圆方程得1，则t，故|AC|2.(2)证明：假设四边形OABC为菱形，因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整
28、理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为，因为k1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去思想方法感悟提高1分析法的特点：从未知看需知，逐
29、步靠拢已知2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来1用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论2利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的课时规范训练(时间：35分钟)1用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0
30、(a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数用反证法证明时，下列假设正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个偶数D假设a，b，c至多有两个偶数解析：选B.“至少有一个”的否定为“都不是”，故选B.2有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母现规定：当卡片的一面为字母P时，它的另一面必须是数字2.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P，Q,2,3，为检验这四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是()A第一张，第三张B第一张，第四张C第二张，第四张 D第二张，第三张解析：选B.由题意知如果卡片的一面为P，
31、另一面必须是2，所以一定要看P的另一面是否为2，一面为2的另一面可以是任意有关字母，一面为3的卡片的另一面一定不能是P，所以必须翻看第一张、第四张卡片3已知定义在R上的函数f (x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af (log0.53)，bf (log25)，cf (2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dcba解析：选C.由f (x)2|xm|1是偶函数可知m0，所以f (x)2|x|1.所以af (log0.53)2|log0.53|12log2312，bf (log25)2|log25|12log2514，cf (0)2|0|10，所以ca1；ab2；ab
32、2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A BC D解析：选C.若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.5设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab，ab0，m，n，则m，n的大小关系是_解析：(方法一)(取特殊值法)：取a2，b1，则mn.(方法二)(分析法)：a0，显然成立答案：m0，ab0，b0，a0，b0且0成立，即a，b不为0且同号即可，故能
33、使2成立答案：8若二次函数f (x)4x22(p2)x2p2p1，在区间内至少存在一点c，使f (c)0，则实数p的取值范围是_解析：令解得p3或p，故满足条件的p的范围为.答案：9已知非零向量a，b，且ab，求证：.证明：abab0，要证.只需证|a|b|ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证(时间：30分钟)10已知函数f (x)满足：f (ab)f (a)f (b)，f (1)2，则()A4 B8C12 D16解析：选D.根据f (
34、ab)f (a)f (b)，得f (2n)f 2(n)又f (1)2，则2.由16.11如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形解析：选D.由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形由得那么，A2B2C2，这与三角形内角和为180相矛盾所以假设不成立，又显然A2B2C2不是直角三角形所以A2B2C2是钝角三
35、角形12已知点An(n，an)为函数y图像上的点，Bn(n，bn)为函数yx图像上的点，其中nN，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：由条件得cnanbnn，cn随n的增大而减小 ，cn1cn.答案：cn10)的图像与x轴有两个不同的交点，若f (c)0，且0xc时，f (x)0.(1)证明：是函数f (x)的一个零点；(2)试用反证法证明c.证明：(1)f (x)图像与x轴有两个不同的交点，f (x)0有两个不等实根x1，x2，f (c)0，x1c是f (x)0的根，又x1x2，x2，是f (x)0的一个根即是函数f (x)的一个零点(2)假设0，由0xc时，f (x)0，知f
36、 0与f 0矛盾，c，又c，c.14已知等差数列an中，首项a10，公差d0.(1)若a11，d2，且，成等比数列，求整数m的值；(2)求证：对任意正整数n，都不成等差数列解：(1)a11，d2，a47，am2m1.，成等比数列，2，(2m1)2492.a10，d0，m25.(2)证明：假设存在mN*，使，成等差数列，即，化简，得d23a，又a10，d0，am1a1mdd，3a3d2d2，与d23a矛盾，因此假设不成立，故原命题得证12.3算法的基本思想、算法框图及基本语句1常用程序框及其功能2算法的基本结构名称内容顺序结构选择结构循环结构定义按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的
37、算法，或者称为算法的顺序结构在算法的执行过程中，需要对条件进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件，反复执行某一处理步骤的情况，像这种需要反复进行相同的操作的结构称为循环结构算法框图3.基本算法语句(1)条件语句：条件语句是表达选择结构最常用的语句条件语句的格式及算法框图(2)循环语句：算法中的循环结构是由循环语句来实现的循环语句的格式：F or语句的一般形式是：F or循环变量初始值To终值循环体NextDo Loop语句的一般形式是：Do循环体Loop While条件为真【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打
38、“”或“”)(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用()(2)算法框图中的图形符号可以由个人来确定()(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框()(4)选择结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的()(5)5x是赋值语句()(6)输入语句可以同时给多个变量赋值()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)1(教材习题改编)如图所示，算法框图的输出结果是() A.BC. D解析：选D.s0，n2,28，s0；n224,48，s；n426,68，s；n628,80，x3300，x0330”或“x0”答案：x0(或x0)5. 如图是求1222321002的值的算法框图，则正整数n_
39、.解析：第一次判断执行后，i2，s12；第二次判断执行后，i3，s1222，而题目要求计算12221002，故n100.答案：100类型一顺序结构与选择结构题点1顺序结构已知f (x)x22x3，求f (3)、f (5)、f (5)，并计算f (3)f (5)f (5)的值设计出解决该问题的一个算法，并画出算法框图解算法如下：第一步，令x3.第二步，把x3代入y1x22x3.第三步，令x5.第四步，把x5代入y2x22x3.第五步，令x5.第六步，把x5代入y3x22x3.第七步，把y1，y2，y3的值代入yy1y2y3.第八步，输出y1，y2，y3，y的值该算法对应的算法框图如图所示：题点2
40、选择结构执行如图所示的算法框图，如果输入的t，则输出的s属于() ABC D解析根据算法框图可以得到分段函数s进而在函数的定义域内分段求出函数的值域所以当1t1时，s3t，即输出的s属于答案A若将本例中判断框的条件改为“t1”，则输出的s的范围是什么？解：根据算法框图可以得到，当1t1时，s4tt2(t2)24，此时5s3；当1t3时，s3t综上可知，函数的值域为，即输出的s属于应用顺序结构与选择结构的注意点(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的(2)选择结构选择结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判
41、断对选择结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支1执行如图所示的算法框图，如果输入的x，yR，那么输出的S的最大值为()A0B1C2D3解析：选C.当条件x0，y0，xy1不成立时输出S的值为1；当条件x0，y0，xy1成立时S2xy，下面用线性规划的方法求此时S的最大值作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分，由图可知当直线S2xy经过点M(1,0)时S最大，其最大值为2102，故输出S的最大值为2.类型二循环结构题点1由算法框图求输出结果 (2015高考安徽卷)执行如图所示的算法框图，输出的n为_解析结合算法框图逐一验证求解执行第一次判断：|a1.
42、414|0.4140.005，a，n2；执行第二次判断：|a1.414|0.0860.005，a，n3；执行第三次判断：|a1.414|0.0140.005，a，n4；执行第四次判断：|a1.414|0.005，输出n4.答案4题点2完善算法框图如图给出了计算的值的框图，其中分别是()Ai30？，nn2 Di30？，nn1解析因为算法框图的功能是计算的值，所以若i30，nn2，则130，nn1，则输出S，故排除D，应选C.答案C题点3辨析算法框图的功能 根据下面框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()Aan2nBan2(n1)Can2nDan2n1解析由算法框图可知第一次运行：i1，
43、a12，S2；第二次运行：i2，a24，S4；第三次运行：i3.a38，S8；第四次运行：i4，a416，S16.故选C.答案C与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知算法框图，求输出的结果，可按算法框图的流程依次执行，最后得出结果(2)完善算法框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式(3)对于辨析算法框图功能问题，可将算法执行几次，即可根据结果作出判断2(1)阅读如图所示的框图，运行相应的程序，输出s的值等于()A3 B10C0 D2解析：选A.第一次循环：k011，满足k4，s2111；第二次循环：k112，满足k4，s2120；第
44、三次循环：k213，满足k4，s2033；第四次循环：k314，不满足k4，故输出的s3.(2)(2017湖北黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图，在样本的20人中，记身高在(2017安徽蚌埠模拟)已知语句：说明其功能并画出算法框图解该程序的功能为求分段函数y的值算法框图如图解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题3根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()A25B30C31 D61解析：选C.由题意，得y当x60时，y250.6(6050)31.所以输
45、出y的值为31.变量的含义理解不准致误(十四)典例执行如图所示的算法框图，输出的S值为()A2B4C8D16(1)读不懂算法框图，把执行循环体的次数n误认为是变量k的值，没有注意到k的初始值为0.(2)对循环结构：判断条件把握不准；循环次数搞不清楚；初始条件容易代错当k0时，满足k3，因此S1201；当k1时，满足k3，则S1212；当k2时，满足k3，则S2228；当k3时，不满足k3，输出S8.C(1)要分清两种循环结构；要理解循环结构中各变量的具体含义以及变化规律(2)在处理含有循环结构的算法问题时，关键是确定循环的次数，循环中有哪些变量，且每一次循环之后的变量S、k值都要被新的S、k值
46、所替换思想方法感悟提高1在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性2在画算法框图时首先要进行结构的选择若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构1注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同2注意选择结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，选择结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个选择结构，用于确定何时终止循环体3循环语句有“F or”语句与“Do Loop语句”两种，要区
47、别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来编写程序4关于赋值语句，有以下几点需要注意：(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3m是错误的(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Yx，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为xY.因为后者表示用Y的值替代变量x的值(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“”课时规范训练(时间：25分钟)1执行如图所示的算法框图，输出的k值为()A3B4C5 D6解析：选B.第一次循环：a3，k1；第二次循环：a，k2；第三次循环：a，k3；第四次循环：a，k4.故输出k4.
48、2下边算法框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a等于()A0 B2C4 D14解析：选B.由题知，若输入a14，b18，则第一次执行循环结构时，由ab知，aab14410，b4；第三次执行循环结构时，由ab知，aab1046，b4；第四次执行循环结构时，由ab知，aab642，b4；第五次执行循环结构时，由ab知，a2，bba422；第六次执行循环结构时，由ab知，输出a2，结束故选B.3. 如图所示的算法框图中，已知a13，输出的b7，则a2的值是_解析：由算法框图可知b7，a13，则a211.答案：114某程
49、序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是()Af (x)x2 Bf (x)Cf (x)ln x2x6 Df (x)sin x解析：选D.第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点结合选项知，函数f (x)sin x为奇函数，且存在零点第4题图第5题图5阅读如图所示的算法框图，若输出s的值为7，则判断框内可填写()Ai3 Bi4Ci5 Di6解析：选D.i1，s2；s211；i123；s132，i325；s257，i527.因输出s的值为7，循环终止，故判断框内应填“i6”6若框图所给的程序运行结果为S20，那么判断框中应填入的
50、关于k的条件是()Ak8? Bk8?Ck8? Dk8?解析：选D.当k10，S11时不合题意，需继续执行循环程序；当k9，S20时符合题意，需终止程序运行，故k8.7下面是一个求20个数的平均数的算法语句，在横线上应填充的语句为_答案：i208执行如图所示的算法框图，若输入x9，则输出y_.解析：第一次循环：y5，x5；第二次循环：y，x；第三次循环：y，此时|yx|B；进入循环，i2，A4，B2，AB；进入循环，i3，A8，B6，AB；进入循环，i4，A16，B24，A2，不满足条件，输出S7.15已知数列an满足如图所示的算法框图(1)写出数列an的一个递推关系式(2)证明：an13an是
51、等比数列，并求an的通项公式(3)求数列n(an3n1)的前n项和Tn.解：(1)由算法框图可知，a1a21，an25an16an.(2)由an23an12(an13an)，且a23a12可知，数列an13an是以2为首项，2为公比的等比数列，可得an13an2n，即，因为1，又1，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以1n1，所以an2n3n1(nN*)(3)因为n(an3n1)n2n，所以Tn12222n2n，2Tn122223n2n1，两式相减得Tn(2222n)n2n1n2n12n12n2n1(n1)2n12(nN)12.4复数1复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，b是实数，
52、i是虚数单位)的数叫作复数，其中a叫作实部，b叫作虚部(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b0(3)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(5)模：向量的模叫作复数zabi的模，记作|z|，即|z|(a，bR)2复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系3复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边
53、形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有解()(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()答案：(1)(2)(3)(4)(5)1(2016高考山东卷)若复数z，其中i为虚数单位，则()A1iB1iC1i D1i解析：选B.z1i，1i.2(2016高考全国丙卷)若z43i，则()A1 B1C.i Di解析：选D.先求出与
54、|z|，再计算.z43i，43i，|z|5，i.3在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82iC24i D4i解析：选C.A(6,5)，B(2,3)，线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z24i.4(2015陕西汉中模拟)已知i是虚数单位，若2i(a，bR)，则ab_.解析：由2i，得abi13i，所以a1，b3，ab3.答案：35(教材改编)已知(12i)43i，则z_.解析：2i，z2i.答案：2i类型一复数的概念(1)设i是虚数单位若复数za(aR)是纯虚数，则a的值为()A3B1C1 D3解析zaa(3i)
55、(a3)i，由aR，且za为纯虚数知a3.答案D(2)已知aR，复数z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为()A1 BiC. D0解析由i是纯虚数，得a1，此时i，其虚部为1.答案A(3)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析由解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件答案A1对本例(1)中的复数z，若|z|，求a的值解：若|z|，则(a3)2110，|a3|3，a0或a6.2在本例(2)中，若为实数，则a_.解析：若为实数，则0.a4.答案：4解决
56、复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部与虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部1(1)若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1 B0C1 D1或1解析：选A.由复数z为纯虚数，得解得x1，故选A.(2)设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.若ab0，则a0或b0，a是纯虚数或实数，不是充分条件；若复数a为纯
57、虚数，则aabi，a0且b0，ab0，是必要条件类型二复数的运算题点1复数的运算与复数概念的综合问题(1)(2015高考天津卷)i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_解析由(12i)(ai)(a2)(12a)i是纯虚数可得a20,12a0，解得a2.答案2(2)已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_解析因为z(52i)22520i(2i)22520i42120i，所以z的实部为21.答案21题点2复数的综合运算(1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z1i，则i()A2B2iC2 D2i解析z1i，1i，1i，i1ii(1i)(1i)(1i)2.故
58、选C.答案：C(2)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 BC4 D解析设zabi，故(34i)(abi)3a3bi4ai4b|43i|，所以解得b.答案D复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答(4)复数的运算与复数几何意义的综合题先利用复数的运算法
59、则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答(5)复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的2(1)(2016高考全国丙卷)若z12i，则()A1 B1Ci Di解析：选C.因为z12i，则12i，所以z(12i)(12i)5，则i.故选C.(2)()A1i B1iC1i D1i解析：选D.1i.(3)(2015高考湖南卷)已知1i(i为虚数单位)，则复数z()A1i B1iC1i D1i解析：选D.由1i，得z1i，故选D.类型三复数的几何意义(1)在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是1
60、3i，则向量对应的复数是()A12iB12iC34i D34i解析向量对应的复数是2i，则对应的复数是2i，对应的复数是(13i)(2i)34i.答案D(2)复数i2 014(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析i2 014i450321i，故复数对应的点是(1,1)，在第二象限答案B(3)(2017山西大同模拟)已知f (x)x2，i是虚数单位，则在复平面内复数对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析i，故复数对应的点是，在第一象限答案A因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数
61、时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可3(1)已知i是虚数单位，则复数zi2i23i3所对应的点落在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C.zi2i23i3i23i22i，对应的点是(2，2)，故选C.(2)已知复数i的对应点在复平面的第二、四象限的角平分线上，则实数a_.解析：已知复数i1(a1)i，由题意知a11，解得a2.答案：2解决复数问题的实数化思想(二十三)典例(12分)已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题设x
62、abi(a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解这是常用的数学方法(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解思想方法感悟提高1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法
63、对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整数，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识3在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2两个虚数不能比较大小3注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数课时规范训练(时间：25分钟)1设复数z满足zi3i，则 ()A12iB12iC32i D32i解析：选C.先求复数z，再利用共轭复数定义求.由zi3i得z32i，32i，故选C.2复数()Ai B1iCi D1i解析
64、：选A.i，故选A.3设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A3 B2C2 D3解析：选A.先化简复数，再根据实部与虚部相等列方程求解(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3，故选A.4复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D.i，其对应的点为，位于第四象限，故选D.5已知tR，i为虚数单位，复数z134i，z2ti，且z1z2是实数，则t等于()A. BC D解析：选D.因为z134i，z2ti，所以z1z2(3t4)(4t3)i，又z1z2是实数，所以4t30，所以t，故选D.6设i是虚数单位，复数z1，z2互
65、为共轭复数，z11i，则z1z2()A2 B2C1i D1i解析：选A.z1与z2互为共轭复数，z21i.z1z2(1i)(1i)2.7设复数z1i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1z)|()A. B2C. D1解析：选A.z1i，1i，(1z)(2i)(1i)3i，|(1z)|3i|，故选A.8已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1i)7ni，则_.解析：因为m和n都是实数，且m(1i)7ni，所以mmi7ni.所以m7，n7，所以i.答案：i9已知i为虚数单位，复数z13ai，z212i，若对应的点在复平面内的第四象限，则实数a的取值范围为_解析：i，因为对应的点在复平面内的第
66、四象限，所以解得6a.答案：10复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值解：1z2(a210)i(2a5)ii(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.(时间：20分钟)11已知2abi(a，bR，i为虚数单位)，则ab()A7 B7C4 D4解析：选A.2134i，34iabi，则a3，b4，ab7，故选A.12已知复数z(其中i是虚数单位)在复平面内对应的点Z落在第二象限，则实数a的取值范围是()A(1，) B(1,1)C(，1) D(1，)解析：选C.若z在复平面内对应的点Z落在第二象限，则解
67、得a1，故a的取值范围为(，1)13已知i是虚数单位，若z1ai，z2ai，若为纯虚数，则实数a()A. BC.或 D0解析：选C.是纯虚数，解得a.14已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若(，R)，则的值是_解析：由已知得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根据，得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，解得1.答案：115若虚数z同时满足下列两个条件：z是实数；z3的实部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由解：这样的虚数存在，z12i或z2i.设zabi(a，bR且b0)，zabiabii.z是实数，b0.又b0，a2b25.又z3(a3)bi的实部与虚部互为相反数，a3b0.由解得或故存在虚数z，z12i或z2i.
