1、课时作业(四十八)立体几何中的向量方法(一)证明空间中的位置关系授课提示：对应学生用书第258页一、选择题1已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A(，)B(，)C(，) D(，)解析：(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的一个法向量n(x，y，z)，令x1，则y1，z1，n(1,1,1)，单位法向量为：(，)答案：D2若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内解析：，、共面，AB与平面CDE平行或在平面CDE内答案：D3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和
2、AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：正方体棱长为a，A1MAN，()().又是平面B1BCC1的法向量，且()0，又MN平面B1BCC1，MN平面B1BCC1.答案：B4如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1,1,1) B(，1)C(，1) D(，1)解析：设M点的坐标为(x，y,1)，ACBDO，则O(，0)，又E(0,0,1)，A(，0)，(，1)，(x，y，1)，AM平面BDE，答案：C5如图所示，在长方体ABCDABCD中，ABADAA(0
3、)，E，F分别是AC和AD的中点，且EF平面ABCD.求的值为()A1 B.C2 D4解析：以D为原点，DA，DC，DD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设AAAD2，则AB2，D(0,0,0)，A(2,0,2)，D(0,0,2)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，E(1，2)，F(1,0,0)，(0，2)，(2,0,0)，(0,2，2)，因为EFDA，EFAB，所以0，0，即2240，所以.答案：B6(2015重庆卷节选)如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM，MPAP.则PO的长为()A1 B.C2 D.解析：
4、如图，连接AC，BD，因为四边形ABCD为菱形，所以ACBDO，且ACBD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.因为BAD，所以OAABcos，OBABsin 1，所以O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(，0,0)，(0,1,0)，(，1,0)由BM，BC2，知.从而，所以M.设P(0,0，a)，a0，则(，0，a)，.因为MPAP，所以0，即a20，所以a或a(舍去)，即PO.答案：B二、填空题7(2017广州质检)已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合
5、的两个平面与的位置关系是_解析：设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0yz，由m0，得xz0xz，取x1，m(1,1,1)，mn，mn，.答案：8如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点判断AB1_平面A1BD(平行，垂直)解析：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以，为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)
6、，B1(1,2,0)(1,2，)，(2,1,0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，因为n，n，由.令x1，得y2，z，故n(1,2，)为平面A1BD的一个法向量，而(1,2，)，所以n，即AB1平面A1BD.答案：垂直9(2017潍坊模拟)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析：0，0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误答案：三、解答题10在四棱锥OABCD中，底面ABCD是
7、边长为1的菱形，ABC45，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点，求证：直线MN平面OCD.证明：作APCD于点P，如图所示，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，0)，D(，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1，0)，所以(1，1)，(0，2)，(，2)设平面OCD的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，即解得取z，则n(0,4，)因为n(1，1)(0,4，)0，所以直线MN平面OCD.11如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.证明：平面PQC平面
8、DCQ.证明：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA、DP、DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)0，0.即PQDQ，PQDC，又DQDCD，PQ平面DCQ，又PQ平面PQC，平面PQC平面DCQ.12在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论解析：(1)证明：如图，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.，(0，a,0)0，即EFCD.(2)设G(x,0，z)，则，若使GF平面PCB，则由(a,0,0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.G点坐标为，即G点为AD的中点
