1、2021年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（第16题每个空格填对得4分，第712题每个空格填对得5分，满分54分）1已知i为虚数单位，且（1+i）zi3，则复数z的虚部为 2已知集合AR，B，则AB 3已知F1，F2是椭圆C：1的左、右焦点，点P在C上1F2的周长为 4如果x1，x2，x3，x4的方差是，则3x1，3x2，3x3，3x4的方差为 5计算行列式的值为 6已知正整数数列an满足，则当a18时，a2021 7为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，三等品从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，
2、则抽到一等品的概率为 8已知二项式（2x）n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为 9已知函数f（x）sinx2cosx，当x时f（x），则cos 10在正方形ABCD中，O为对角线的交点，E为边BC上的动点，若，则 11在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，M，N，Q，P分别为棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中点，三棱锥MPQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 12已知|1q|1q2|1q3|1q4|1q5|，q为非零实数，则q的取值范围是 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选
3、对得5分，否则一律得零分13已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，则“Sn存在”是“0|q|1”成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件14Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：*）0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（参考数据ln193）A60B62C66D6315对于定义域为R的函数yg（x），设关于x的方程g（x）t，记根的个数为fg（t），给出下列两个命题：设h（x）|g（x）|，若fh（t）fg（t），则g
4、（x）0；若fg（t）1，则yg（x）为单调函数；则下列说法正确的是（）A正确正确B正确错误C错误正确D错误错误16关于x的方程|x+a|+|2xa|a2|b有三个不同的实根，则2a+b的最小值为（）AB3CD0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤17如图，四棱锥PABCD的底面ABCD内接于半径为2的圆O，AB为圆O的直径，2DCAB，E为AB上一点，EDAB，PEEB求：（1）四棱锥PABCD的体积；（2）锐二面角CPBD的余弦值18如图，在四边形ABCD中，ABD45，BC1，DC2求：（1）BD的长度；（2）三角形ABD的面积
5、19业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A（A为常数）元，n年后总投入资金记为f（n），经计算发现当0n10时，f（n）（n），其中为常数，f（0）（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多20（16分）已知点F为抛物线的焦点，点D（0，4），直线l：yt（t为常数）截以AD为直径的圆所得的弦长为定值（1）求焦点F的坐标；（2）求实数t的值；（3）若点E（0，3），过点A的直线yx+m交抛物线于另一点B，AB的中垂线过点D21（18分）已知数列an（anN），记Sna1+a2+an，首项a
6、1n00，若对任意整数k2，有0akk1，且Sk是k的正整数倍（）若a121，写出数列an的前10项；（）证明：对任意n2，数列an的第n项an由a1唯一确定；（）证明：对任意正整数n0，数列Sn从某一项起为等差数列参考答案一、填空题（第16题每个空格填对得4分，第712题每个空格填对得5分，满分54分）1已知i为虚数单位，且（1+i）zi3，则复数z的虚部为解：（1+i）zi3，（4i）（1+i）z（1i）（i），2z1i，化为：zi，复数z的虚部为，故答案为：2已知集合AR，B，则ABR解：AR，B，ABR故答案为：R3已知F1，F2是椭圆C：1的左、右焦点，点P在C上1F2的周长为10解
7、：由题意知：椭圆C：1中a4，c2，PF4F2周长2a+7c6+410故答案为：104如果x1，x2，x3，x4的方差是，则3x1，3x2，3x3，3x4的方差为3解：因为x1，x2，x4，x4的方差是，则3x1，3x2，3x8，3x4的方差为3故答案为：35计算行列式的值为3解：行列式12（3）+012+（1）06（1）24113（3）053故答案为：36已知正整数数列an满足，则当a18时，a20214解：a18是偶数，a74是偶数，a72是偶数，a81是奇数，a43a4+531+84是偶数，a62是偶数，a71是奇数，从第二项开始，正整数数列an是以4为周期的周期数列，20211+673
8、3+2，a2021a24，故答案为：47为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，三等品从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，则抽到一等品的概率为0.78解：设抽到一等品，二等品，B，C，则，解得，所以抽到一等品的概率为0.78故答案为：0.788已知二项式（2x）n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为112解：二项式（2x）n的展开式的二项式的系数和为 7n256，n8，则展开式的通项公式为 Tr+1（1）r27rx122r，令122r7，求得r6，故常数项为22112，故答案为：1129已知函数f（x）si
9、nx2cosx，当x时f（x），则cos解：f（x）sinx2cosx（sinxsin（x）x时，函数f（x）取得最大值，sin（）8，即sin2cos，又sin5+cos21，联立得（4cos+）2+cos81，解得cos故答案为：10在正方形ABCD中，O为对角线的交点，E为边BC上的动点，若，则解：如图所示，以点A为原点，AD分别为x，设正方形ABCD的边长为2，则A（0，B（7，C（2，D（0，O（2，因为点E是边BC上的动点，所以设点E的坐标为（2，则由可得：（2，7）+（1，所以2+8，即1，所以（）2+，当且仅当时取等号的最小值为，故答案为：11在棱长为2的正方体ABCDA1B1
10、C1D1，M，N，Q，P分别为棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中点，三棱锥MPQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为8解：三棱锥MPQN的顶点在同一个球面上，由点P为棱CC1的中点，可得底面PQN是等腰直角三角形，那么底面PQN的外接圆半径r1，设球心到PQN的外接圆的圆心的距离为d，球半径R，则，d2+r6R2，联立解得R该球的表面积S5R28故答案为：312已知|1q|1q2|1q3|1q4|1q5|，q为非零实数，则q的取值范围是（，2（0，+）解：根据题意，分情况讨论：当0q1时，有4qq2q3q2q50，此时有21q1q71q34q41q81，满足|1q|5q2|1q3|1
11、q4|2q5|，符合题意，当q1时，也能满足|5q|1q2|5q3|1q7|1q5|，符合题意，当q5时，1qq2q5q4q5，此时有31q1q51q35q41q3，满足|1q|1q6|1q3|2q4|1q2|，符合题意，当1q0时，|4q|1qn|，不满足|1q|5q2|1q5|1q4|5q5|，当2q8时，|1q|1qn|，不满足|4q|1q2|，当q3时，q21（8q3）q2（7+q）20 恒成立311q2，同理可证得1q3q611q4，符合题意，综上所述，q的取值范围为（，+），故答案为：（，2（0二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
12、纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，则“Sn存在”是“0|q|1”成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件解：当q1时，则Snna1，Snna2不存在，当|q|1时，则Sn，qn不存在，Sn不存在，当0|q|2时，则Sn，qn0，Sn，必要性成立，反之当Sn存在时，则qn0，0|q|2，Sn存在是0|q|1的充要条件故选：C14Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic
13、模型：*）0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（参考数据ln193）A60B62C66D63解：由已知可得6.95K0.23（t*50），两边取对数有5.23（t*50）ln19，解得t*63，故选：D15对于定义域为R的函数yg（x），设关于x的方程g（x）t，记根的个数为fg（t），给出下列两个命题：设h（x）|g（x）|，若fh（t）fg（t），则g（x）0；若fg（t）1，则yg（x）为单调函数；则下列说法正确的是（）A正确正确B正确错误C错误正确D错误错误解：h（x）|g（x）|0，对任意的t0h（t）5，则fg（t）fh（t）0，则g（x）0；取，则fg（t）1，但g
14、（x）不是单调函数；故选：B16关于x的方程|x+a|+|2xa|a2|b有三个不同的实根，则2a+b的最小值为（）AB3CD0解：由条件知b0，方程可化为|x+a|+|2xa|a7+b或|x+a|+|2xa|a2b，当a7时，|x+a|+|2xa|，如图所示，若方程有三个不同的实数根2+b和直线ya2b共有6个交点，当x时，y，可得或a0（舍），则2a+b，当a时，2a+b取得最小值为又当a0，b3时综上所述，2a+b的最小值为故选：A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤17如图，四棱锥PABCD的底面ABCD内接于半径为2的圆O，
15、AB为圆O的直径，2DCAB，E为AB上一点，EDAB，PEEB求：（1）四棱锥PABCD的体积；（2）锐二面角CPBD的余弦值解：（1）连接OD，OC，ABCD，AODODC60，EDAB，EO1，四棱锥PABCD的体积为（2）如图建立空间直角坐标系Exyz，则B（0，3，7），0，3），设平面PBD的法向量为，由，即，取y16，则x1，z41，得，设平面PBC的法向量为，由，即，取y22，则x2，z21，得，设锐二面角CPBD的大小为，则，锐二面角CPBD的余弦值为18如图，在四边形ABCD中，ABD45，BC1，DC2求：（1）BD的长度；（2）三角形ABD的面积解：（1）在BCD中，由
16、余弦定理可得：BD2BC2+CD82BCCDcosBCD，则BD4（2）在ABD中，BAD1803045105，sin105sin（45+60），由正弦定理可得，则19业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A（A为常数）元，n年后总投入资金记为f（n），经计算发现当0n10时，f（n）（n），其中为常数，f（0）（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多解：（1）由题意知f（0）A，f（3）3A所以解得令f（n）7A，得，解得an64，即，所以n9所以研发启动4年后，总投入资金是研发启动时投
17、入资金的8倍（2）由（1）知第n年的投入资金f（n）f（n1），当且仅当，即等号所以研发启动后第6年的投入资金增长的最多20（16分）已知点F为抛物线的焦点，点D（0，4），直线l：yt（t为常数）截以AD为直径的圆所得的弦长为定值（1）求焦点F的坐标；（2）求实数t的值；（3）若点E（0，3），过点A的直线yx+m交抛物线于另一点B，AB的中垂线过点D解：（1）抛物线，即x24y，F（2（2）设点，AD的中点为，设截得得弦为GH，圆心C到弦的距离为d，则，得与x6无关，所以t3（3）设A（x1，y5），B（x2，y2），线段AB的中点为G，联立，416+16m0m1，x7+x24，x5x24
18、m，y4+y24+8m，G（2，2+m），符合m1，点E到AB的距离为，21（18分）已知数列an（anN），记Sna1+a2+an，首项a1n00，若对任意整数k2，有0akk1，且Sk是k的正整数倍（）若a121，写出数列an的前10项；（）证明：对任意n2，数列an的第n项an由a1唯一确定；（）证明：对任意正整数n0，数列Sn从某一项起为等差数列【解答】（）解：因为Sk是k的正整数倍，当a121时，则Sn的前10项为21，22，24，30，40，所以数列an的前10项为21，1，6，0，1，3，5，5，2，5；（）证明：当k2时，根据题意a6+a22b为偶数，并且8a21，所以，从而a
19、2由a5唯一确定，接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同的取值，假设第k+1项是第1个可以有两个不同取值的项，即前面k项由a2唯一确定，记第k+1项的两种取值为ak+1和ck+3（ak+1ck+1），根据题意存在b，cN8+a2+ak+ak+1（k+3）b，且a1+a2+ak+ck+4（k+1）c，并且满足0ak+8，ck+1k，由两式作差可知，|ak+1ck+3|是k+1的倍数，又因为|ak+1ck+6|k，可知ak+1ck+1，与假设矛盾，故假设不成立，所以对任意n4，数列an的第n项an由a1唯一确定；（）证明：因为Sk+1Sk+ak+4Sk+k，所以，因为，都是正整数，因此存在m8，当nm0时，为常数，不妨记为c0时，Sncn，所以数列Sn从某一项起为等差数列
