1、 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本及坐标表示 2.3.3 平面向量共线的坐标表示 题型1 平面向量共线的坐标运算例1 若向量 a()2,1,b()x,2,c()3,y,且 abc,求 x,y 的值分析:由平面向量共线的坐标运算可得 解析:abc,由向量共线的坐标表示得 4x0,2y30,解得x4,y32.点评:记住已知 a()x1,y1,b()x2,y2,则 abx1y2x2y10.跟踪训练1已知 a(1,0),b(2,1),当实数 k 为何值时,向量 kab 与 a3b 平行?并确定此时它们是同向还是反向分析:先求出向量 kab 与 a3b 的坐标,然后根据向量共线条件可求解 解析:
2、a(1,0),b(2,1),kabk()1,0()2,1()k2,1,a3b()1,0 3()2,1()7,3.向量 kab 与 a3b 平行,3()k2 70,解得 k13.k13,kab13(a3b),所以向量 kab 与 a3b 反向 题型2 平面向量共线的证明例 2 已知 A(1,1),B(1,3),C(2,5),求证 A、B、C 三点共线分析:证向量AB 与AC 共线 证明:A(1,1),B(1,3),C(2,5),AB()2,4,AC()3,6.AB 23AC.AB,AC 有公共点 A,A、B、C 三点共线 点评:通过证有公共点的两向量共线,从而证得三点共线 跟踪训练2已知OA()
3、k,12,OB()4,5,OC()10,k,当 k 为何值时,A、B、C 三点共线?分析:由 A、B、C 三点共线,可得AB 与BC 共线 解析:OA()k,12,OB()4,5,OC()10,k,AB()4k,7,BC()6,k5.A、B、C 三点共线,()4k()k5 420.解得 k11 或 k2.题型3 用共线向量的性质求坐标例 3 若 M()3,2,N()5,1,且 MP12MN,则 P 点的坐标是_分析:设 P()x,y,由MP 12MN 可求解 解析:设 P()x,y,则MN()8,1,MP()x3,y2.MP 12MN,()x3,y2 12()8,14,12 x1,y32.P1
4、,32.答案:1,32点评:把求点的坐标转化为向量共线问题 跟踪训练3若 M()3,2,N()5,1,且MP 2MN,则 P 点的坐标是_解析:设 P()x,y,则MN()8,1,MP()x3,y2.MP 2MN,()x3,y2 2()8,1(16,2)解得 P()19,4.答案:()19,4题型4 共线向量的综合应用例 4 如果向量AB i2j,BC imj,其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量,试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线分析:把向量AB i2j 和BC imj 转化为坐标表示,再根据向量共线条件求解 解析:AB i2j,BC imj,AB()1,2,BC()1,m.A、B、C 三点共线,即向量AB 与BC 共线,m20,解得 m2.点评:向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样,在解决问题时注意选择使用跟踪训练4已知 A()1,1,B()3,1,C()a,b.(1)若 A、B、C 三点共线,求 a,b 的关系式;(2)若AC 2AB,求点 C 的坐标解析:(1)AB()2,2,AC()a1,b1,A、B、C 三点共线,AB 与AC 共线 2()b1 2()a1 0,即 ab2.(2)AC 2AB,()a1,b1 2()2,2 a5,b3.C()5,3.