1、 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本及坐标表示 2.3.3 平面向量共线的坐标表示 题型1 平面向量共线的坐标运算例1 若向量 a()2，1，b()x，2，c()3，y，且 abc，求 x，y 的值分析：由平面向量共线的坐标运算可得 解析：abc，由向量共线的坐标表示得 4x0，2y30，解得x4，y32.点评：记住已知 a()x1，y1，b()x2，y2，则 abx1y2x2y10.跟踪训练1已知 a(1，0)，b(2，1)，当实数 k 为何值时，向量 kab 与 a3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向分析：先求出向量 kab 与 a3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解 解析：
2、a(1，0)，b(2，1)，kabk()1，0()2，1()k2，1，a3b()1，0 3()2，1()7，3.向量 kab 与 a3b 平行，3()k2 70，解得 k13.k13，kab13(a3b)，所以向量 kab 与 a3b 反向 题型2 平面向量共线的证明例 2 已知 A(1，1)，B(1，3)，C(2，5)，求证 A、B、C 三点共线分析：证向量AB 与AC 共线 证明：A(1，1)，B(1，3)，C(2，5)，AB()2，4，AC()3，6.AB 23AC.AB，AC 有公共点 A，A、B、C 三点共线 点评：通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线 跟踪训练2已知OA()
3、k，12，OB()4，5，OC()10，k，当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？分析：由 A、B、C 三点共线，可得AB 与BC 共线 解析：OA()k，12，OB()4，5，OC()10，k，AB()4k，7，BC()6，k5.A、B、C 三点共线，()4k()k5 420.解得 k11 或 k2.题型3 用共线向量的性质求坐标例 3 若 M()3，2，N()5，1，且 MP12MN，则 P 点的坐标是_分析：设 P()x，y，由MP 12MN 可求解 解析：设 P()x，y，则MN()8，1，MP()x3，y2.MP 12MN，()x3，y2 12()8，14，12 x1，y32.P1
4、，32.答案：1，32点评：把求点的坐标转化为向量共线问题 跟踪训练3若 M()3，2，N()5，1，且MP 2MN,则 P 点的坐标是_解析：设 P()x，y，则MN()8，1，MP()x3，y2.MP 2MN，()x3，y2 2()8，1(16，2)解得 P()19，4.答案：()19，4题型4 共线向量的综合应用例 4 如果向量AB i2j，BC imj，其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线分析：把向量AB i2j 和BC imj 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解 解析：AB i2j，BC imj，AB()1，2，BC()1，m.A、B、C 三点共线，即向量AB 与BC 共线，m20，解得 m2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用跟踪训练4已知 A()1，1，B()3，1，C()a，b.(1)若 A、B、C 三点共线，求 a，b 的关系式；(2)若AC 2AB，求点 C 的坐标解析：(1)AB()2，2，AC()a1，b1，A、B、C 三点共线，AB 与AC 共线 2()b1 2()a1 0，即 ab2.(2)AC 2AB，()a1，b1 2()2，2 a5，b3.C()5，3.
