1、3.1.1 两角和与差的余弦一、教材分析两角差的余弦公式是本章最先推导出来的公式，是后继内容两角和与差的正弦、正切公式、二倍角公式等知识的基础，为以后三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决奠定基础.课本是以一个实际问题做引例，目的在于从中提出问题，引出本章的研究课题.以实例引入课题有利于体现数学与实际问题的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，同时也让学生体会数学知识发生、发展的过程.二、学情分析 在第一章中学生学习了三角函数的基本概念、诱导公式等，对三角函数有了一个初步的了解.第二章学习了平面向量的基本知识，对平面向量的坐标运算有了一定的认识.三、教学目
2、标1、知识目标：运用两角差的余弦公式求三角函数值通过让学生探索、归纳、猜想、发现并证明“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并通过强化训练，加深对两角差的余弦公式的理解2、能力目标：通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学当中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3、情感目标： 通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辩证与联系的观点看问题.通过创设情境，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的
3、能力.通过观察、对比，体会公式的线性美、对称美.四、教学重点和难点教学重点：通过探究推导两角差的余弦公式及公式的灵活运用.教学难点：探索过程的组织和引导，两角和与差的余弦公式推导的严谨性分析.五、教学方法三角函数有丰富的实际背景，是解决三角函数问题、恒等变换问题的重要工具.学生的学习活动只有通过自身积极的参与、再现创造性的劳动，才有可能是有效的，也是我们追求的目标.基于这种认识并结合本节课的教学内容和教学目标，采取“教师为主导、学生为主体、训练为主线”的教学模式，引导学生主动参与、大胆尝试、归纳猜想由此拟采用以下的教学流程：创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题-灵活应用.六、教学过
4、程（一）导入新课播放多媒体，出示问题： 由学生身边的背景素材引入，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，抛出新知识引起学生的兴趣和疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲. 这里只需求出即可，而可利用求出. 那么等于多少呢？可转换成那又等于多少呢？使学生经历把实际问题转化成数学问题的过程，产生认知冲突，师生共同得出本节课题.（二）探究新知教学活动以问题作为向导，教师作适当引导，先提出问题：我们如何求然后围绕以下几个问题进行教学活动： 鼓励学生大胆猜想. 我们已有知识体系中从形式上与其一致的有什么？ 引导学生在遇到一个陌生问题时如何转化与思考. 从熟悉的诱导公式、.探究、归
5、纳、猜想应与、的正余弦有关，回到正余弦的定义. 在单位圆中，结合其代数与几何特点，引导学生利用向量的相关知识，推导发现 严谨性分析：就是向量夹角吗？ 观察公式的结构，它有哪些特征？其中角的取值范围如何？ 如何正用、逆用、灵活运用公式进行求值计算？对于问题，出示问题后，教师让学生充分发挥想象能力尝试一下，大胆猜想，有的同学可能就首先想到的结论，此时教师适当的点拨，然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如，则，而，这一反例足以说明.对于问题、，既然，那么究竟等于什么呢？解题大师波利亚在怎样解题表中指出：“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题. 你能不能想出一个更容易着手的有关问题？
6、一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？” 不妨写出我们已经熟悉的一种特殊情况，如：、.对于问题，我们不难发现，与的正弦或余弦有关，那同学们是否想过，当、变成时，其正、余弦值又会有什么样的关系呢？“不忘初心”，不妨“回到定义去”.分析：如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角且，它们的终边与单位圆的交点分别为，则,.观察其代数形式与几何特征，我们结合平面向量知识，即，.由数量积的定义有，由数量积的坐标表示，又有，于是，.若，情况又会怎样？从图中可知，或，（为什么？）于是有 ，所以 . 对任意角都有 注：我们发现，运用向量工具进行探究推导，过程相当简洁.特别是当角符合条件，以上结论显然成立.由
7、于都是任意角，也是任意角，因此，我们还要通过严谨性分析，找到与的关系，这是一个难点.此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记.有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了.对于问题，教师引导学生细心观察公式的结构特征，让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”，右边是“这两个角的余弦积与正弦积的和”.可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆，特别是运算符号，左“”右“”.对于问题，关于公式的正用比较简单，关键在于“凑角”的技巧，而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性，特别是变形应用，这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧，如： ，等.（三）
8、例题讲评例1 利用差角余弦公式求的值.解法一：；解法二：；注：这是通过应用理解公式的比较基础的练习，求解过程可由学生独立进行.通过本例，使学生对三角变换有了一定的认识，教师再作适当点评： 三角变换关注角的拆分；拆分的多样性决定变换的多样性.七、课堂练习课本P127 1、2、3八、课堂小结1.公式： ； 2.凑角法思想.九、课外作业 课本P137 2、3、4十、课后反思用一位数学学家的名言概括本节课的探究思路与学习感悟：高斯：“一个人在无结果地深思一个真理后，能够用迂回的方法证明它，并且最后找到了它最简明而又最自然的证法，那是及其令人高兴的.”“假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他会做出同样的发现.”
