1、73球知识点球的表面积与体积 填一填1球的体积球的半径为R，那么它的体积是VR3.2球的表面积球的半径为R，那么它的表面积是S4R2.答一答怎样分析与球有关的组合体问题？提示：通过画过球心的截面来分析例如，底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O，且球与圆锥的底面和侧面均相切过球心O作球的截面，如图所示，则球心是等腰三角形ABC的内切圆的圆心，AB和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底面的圆心用同样的方法可得以下结论：长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面
2、对角线球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高1球的体积和表面积都是关于半径R的函数，因此求体积和表面积时，只需求出半径即可2确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来已知体积或表面积也可以求其半径3球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用，要注意球的半径与截面圆半径的关系类型一 球的表面积 【例1】已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；(2)球的表面积等于圆柱表面积的.【证明】(1)如图，设球的半径为R，则圆柱的底面半径为
3、R，高为2R，得S球4R2，S圆柱侧2R2R4R2.S球S圆柱侧 .(2)S圆柱表4R22R26R2，S球4R2，S球S圆柱表 .规律方法 要解决两几何体间的体积(面积)关系，必须首先算出球的体积(表面积)与圆柱的体积(侧面积)，算出球的体积(表面积)与圆柱的体积(侧面积)要知道球的半径，球的半径可设为R.(1)球的体积是，则此球的表面积是(B)A12B16C. D.解析：R3，故R2，球的表面积为4R216.(2)两个球的体积之比是827，那么这两个球的表面积之比是(B)A23 B49C. D.解析：体积之比是827，则半径之比是23，表面积之比是49.类型二 与球有关的组合体的表面积与体积
4、 【例2】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2C4 D8【解析】如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故选B.【答案】B规律方法 求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反
5、掌了(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积是4.解析：由已知可得，该几何体是一个球截去四分之一后剩余的部分又因为R1，所以表面积S4122124.类型三 球的接与切问题 【例3】有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比【思
6、路探究】作出截面图，分别求出三个球的半径【解】设正方体的棱长为a.正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如下图(1)所示，则有2r1a，即r1，所以S14ra2.球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如上图(2)所示，则2r2a，即r2a，所以S24r2a2.正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如上图(3)所示，则有2r3a，即r3a，所以S34r3a2.综上可得S1S2S3123.规律方法 多面体之间或多面体与球之间的切接关系，是一种空间简单几何体之间的位置关系处理这类问题时，一般可以采用两种转
7、化方法：一是转化为平面图形之间的内切或外接关系；二是利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得简单，这里体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(C)A. B56C14 D64解析：设此长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则由已知条件，得解得所以R.所以S球4R214.规范解答系列球的实际应用问题【例4】盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？【思路分析】因为球取出前后，水的体积是相同的，所以可以利用水的体积
8、的不变性求解【精解详析】设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V两球2()3(cm3)，此体积等于取出这两个小球后水面下降的体积V52h，则52h，解得h.故若取出这两个小球，则水面将下降 cm.【解后反思】与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如右图所示)，则球的半径是4 cm.解析：设球的半径为r cm，则由题意可得3V球V水V柱，即3r3r28r26r，解得r4.一、选择题1球的体积与其表面积的数
9、值相等，则球的半径等于(D)A. B1 C2 D3解析：设球的半径为r，则由题意得r34r2，解得r3.2一个正方体的表面积为6，并且正方体的各个顶点都在一个球面上，则此球的体积为(D)A. B. C. D.解析：设正方体的棱长为a，球的半径为r，则6a26，a1，2ra，r，V球r3()3.3已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为(C)A18 B12 C6 D12解析：连接球心与多面体的各个顶点，把球分成了高为1的多个棱锥SS1S2Sn18.VS1186.二、填空题4某器物的三视图如图所示，根据图中数据可知该器物的体积为.解析：由三视图知，该器物是由一个底面半径为1，高为的圆锥与一个半径为1的球组成，所以其体积为V.三、解答题5用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，求两个半球的表面积和是原来整球表面积的多少倍解：设球的半径为R，则球的表面积是S14R2，分成两个半球后，两个半球的表面积和为S24R22R26R2，.
