1、专题能力训练9三角函数的图象与性质能力突破训练1.(2015山东青岛高三一模)对于函数y=sin2x-6,下列说法正确的是()A.函数图象关于点3,0对称B.函数图象关于直线x=56对称C.将它的图象向左平移6个单位,得到y=sin 2x的图象D.将它的图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),得到y=sinx-6的图象2.函数f(x)=sin2x-4在区间0,2上的最小值为()A.-1B.-22C.22D.03.(2015山东滨州一模)若函数f(x)=3sin(2x+)+cos(2x+)为奇函数,且在-4,0上为减函数,则的一个值为()A.-3B.-6C.56D.234.若f(x)=
2、2sin(x+)+m,对任意实数t都有f8+t=f8-t,且f8=-3,则实数m的值等于()A.-1B.5C.-5或-1D.5或15.函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|0)的图象分别向左、向右各平移4个单位后,所得的两个图象对称轴重合,则的最小值为.7.定义一种运算:(a1,a2)(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(3,2sin x)(cos x,cos 2x)的图象向左平移n(n0)个单位所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为.8.函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|0,0)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于()A.2B.3C.-3
3、D.-213.已知函数f(x)=sin2x+3的相邻两条对称轴之间的距离为4,将函数f(x)的图象向右平移8个单位后,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到g(x)的图象,若g(x)+k=0在x0,2有且只有一个实数根,则k的取值范围是()A.k12B.-1k-12C.-12k12D.-12k12或k=-114.(2015辽宁沈阳一模)函数y=11-x的图象与函数y=2sin x(-2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.815.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:f(x)=sin x+cos x;f(x)=2(si
4、n x+cos x);f(x)=sin x;f(x)=2sin x+2.其中为“互为生成”函数的是.(填序号)16.已知函数f(x)=12sin 2xsin +cos2xcos -12sin2+(0),其图象过点6,12.(1)求的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在0,4上的最大值和最小值.答案：能力突破训练1.B解析:将x=3代入y=sin2x-6,得y=sin2=1,故A错;将x=56代入y=sin2x-6,得y=sin32=-1,所以56,-1是函数最小值点,即函数图象关于直线x=56对称,故B正确;
5、将函数y=sin2x-6的图象向左平移6个单位,得y=sin2x+6的图象,故C错;将函数y=sin2x-6的图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin4x-6的图象,故D错.2.B解析:令t=2x-4,因为x0,2,所以t-4,34,f(x)=sin2x-4变为y=sin t.由正弦函数的图象可知,当t=-4,即x=0时,f(x)取得最小值为-22.3.C解析:由已知得f(x)=2sin2x+6+,因为f(x)为奇函数,所以6+=k(kZ),排除A,D.又函数f(x)在-4,0上为减函数,排除B.故选C.4.C解析:依题意,得函数f(x)的图象关于直线x=8对称,于是当
6、x=8时,函数f(x)取得最值,因此有2+m=-3,解得m=-5或m=-1.故选C.5.B解析:由题意知T=,则=2.由函数图象关于直线x=3对称,得23+=2+k(kZ),即=-6+k(kZ).|0)的图象分别向左、向右各平移4个单位,分别得函数y=2sinx+4-4=2sinx+4(-1)和y=2sinx-4(+1)的图象.所得的两个图象对称轴重合,x+4(-1)=x-4(+1)+k,kZ.解得=2k,kZ.0,的最小值为2.7.512解析:f(x)=3cos 2x-2sin xcos x=3cos 2x-sin 2x=2cos2x+6,将f(x)的图象向左平移n个单位对应的函数解析式为f
7、(x)=2cos2(x+n)+6=2cos2x+2n+6,要使它为偶函数,则需要2n+6=k(kZ),所以n=k2-12(kZ).因为n0,所以当k=1时,n有最小值512.8.2sin8x+4解析:由题意得A=2,函数的周期为T=16.T=2,=8,此时f(x)=2sin8x+.由f(2)=2,即sin82+=sin4+=1,则4+=2k+2,kZ,解得=2k+4,kZ.|2sin6=1,与图象不符,故舍去.综上,f(x)=2sin3x+56.故f(-1)=2sin-3+56=2.13.D解析:因为函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为4,结合三角函数的图象可知T2=4.又T=22=,所以
8、=2,f(x)=sin4x+3.将函数f(x)的图象向右平移8个单位得到函数f(x)=sin4x-8+3=sin4x-6的图象,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)=sin2x-6的图象.所以方程为sin2x-6+k=0.令2x-6=t,因为x0,2,所以-6t56.若g(x)+k=0在x0,2上有且只有一个实数根,即g(t)=sin t的图象与直线y=-k在-6,56上有且只有一个交点,如图所示,由正弦函数的图象可知-12-k12或-k=1,即-12k12或k=-1.14.D解析:函数y1=11-x,y2=2sin x的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.当
9、1x4时,y10,而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,在1,32和52,72上是减函数;在32,52和72,4上是增函数.所以函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.相应地,y1在(-2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8.15.解析:首先化简题中的四个解析式可得:f(x)=2sinx+4,f(x)=2sinx+4,f(x)=sin x,f(x)=2sin x+2.可知f(x)=sin x的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经
10、过伸缩变换才能实现,所以f(x)=sin x不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理f(x)=2sinx+4的图象与f(x)=2sinx+4的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而f(x)=2sin x+2的图象可以向左平移4个单位,再向下平移2个单位即可得到f(x)=2sinx+4的图象,所以为“互为生成”函数.16.解:(1)f(x)=12sin 2xsin +cos2xcos -12sin2+(0),f(x)=12sin 2xsin +1+cos2x2cos -12cos =12sin 2xsin +12cos 2xcos =12(sin 2xsin +cos 2xcos )=12cos(2x-).又函数图象过点6,12,12=12cos26-,即cos3-=1.0,=3.(2)由(1)知f(x)=12cos2x-3,将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可知g(x)=f(2x)=12cos4x-3.x0,4,4x0,4x-3-3,23,即-12cos4x-31.故y=g(x)在0,4上的最大值和最小值分别为12和-14.6
