1、上海市虹口区2020届高三数学下学期二模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.函数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用余弦函数的有界性可求得函数的最小值.【详解】，所以函数的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.函数定义域为_.【答案】【解析】【分析】由根式函数定义域的求法得到，再转化为，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为，所以，解得，所以函数的定义域为.故答案为：【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.设全
2、集，若，则_.【答案】【解析】【分析】先利用绝对值不等式的解法化简集合A，然后再根据全集求补集.【详解】因为或，又因为全集，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及绝对值不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动概率为_【答案】【解析】【分析】根据每位同学都有两种选法，算出共有选法数，再得到周六没有同学参加活动，即3位同学都选了周日的选法数，代入古典概型概率公式求解.，【详解】每位同学都有两种选法，一共有种选法，周六没有同学参加活动，即3位同学都选了周日，共有1种选法，所以周六没有同学参加
3、活动的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则_.【答案】2【解析】【分析】根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数与函数互为反函数求解.【详解】令，解得，因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以.故答案为：2【点睛】本题主要考查互为反函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.设复数（i为虚数单位），若，则_.【答案】1【解析】【分析】先利用行列式化简复数，再根据复数的模求解.【详解】因，又，所以，所以，即，所以.故答案为：1【点睛】本题主要考查二阶行列式以及复数的模，三角恒等变
4、换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.若的展开式中的常数项为，则实数a的值为_.【答案】【解析】【分析】先求得的展开式的通项公式，再求得常数项，然后根据常数项为，建立方程求解.【详解】的展开式中的通项公式为：，令，得，所以常数项为，因为常数项为，所以，.故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据，由余弦定理解得，然后由正弦定理求解.【详解】因为，所以由余弦定理得：，解得，由正弦定理得：.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的
5、能力，属于中档题.9.已知点，点P满足线性约束条件，设O为坐标原点，则的最大值为_.【答案】16【解析】【分析】由P满足线性约束条件，画出可行域，由，转化为，平移直线，当直线在y轴上的截距最小时，目标函数取得最大值.【详解】由P满足线性约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：，转化为：，平移直线当直线经过点时，在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最大值，最大值为16 故答案为：16【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.已知、是椭圆左、右焦点，过原点O且倾斜角为的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为_.【答案】【解析】【分析】由题意设直线为，代
6、入，求得，根据，得到，将M的坐标代入求解.【详解】设直线为，代入解得，因为，所以，所以，又因为 ，解得.所以椭圆C的长轴长为.故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.已知球O是三棱锥的外接球，点D为BC的中点，且，则球O的体积为_.【答案】【解析】【分析】根据，利用勾股定理得到，由，点D为BC的中点，利用勾股定理得到，从而平面ABC，平面PAD，平面平面PBC，过A作，球心O在AH上，利用，解得，在中，利用正弦定理得到，然后在中，由求解.【详解】如图所示：因为，所以，所以，因为，点D为BC的中点，且，所以，所以，所以平面AB
7、C，平面PAD，所以平面平面PBC，过A作，所以平面PBC，所以球心O在AH上，因为，即，所以，在中，由正弦定理得：，在中，解得，所以球O的体积为.【点睛】本题主要考查球有关的外接问题，找到球心的位置是关键，还考查了空间想象，逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.12.已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围_.【答案】【解析】【分析】先作出函数的图象，设，则恰有5个不同的实数根，根据函数图象，分 ， ， ， ， ， ，讨论求解.【详解】作出函数的图象如图所示：设，则恰有5个不同的实数根，当时，无解，不符合题意，当时，有唯一解，此时，解得有一解，不符合题意，当时，有三解，此时，
8、无解，有三解，无解，共三解，不符合题意，当时，有两解，此时，有三解，无解，共三解，不符合题意，当时，有两解，此时，有三解，有一解，共四解，不符合题意，当时，有两解，此时，有三解，有两解，共五解，不符合题意，当时，有唯一解，此时，有两解，不符合题意，当时，无解，不符合题意.综上：实数a的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知抛物线上的点M到它的焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点M到它的焦点的距离
9、为5，利用抛物线的定义得到求解.【详解】因为抛物线上的点M到它的焦点的距离为5，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位:）为（ ）A. 32B. 36C. 40D. 48【答案】A【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直于底面，垂足为较大锐角的顶点，然后利用三角形面积公式求解.【详解】由三视图知该几何体的直观图如图所示：其中平面ABC， ，则，所以平面APC，所以所以四个面都是直角三角形所以该几何体的表面积，.故选：A【点睛】
10、本题主要考查三视图的应用以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.15.已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数在区间上有且仅有两个零点，转化为方程在区间上有且仅有两个根，则由求解.【详解】因为，所以，因为函数在区间上有且仅有两个零点，即方程在区间上有且仅有两个根，所以，解得.所以实数的取值范围为.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16.设等比数列的前n项和为，首项，且，已知，若存在正整数，使得、成等差数列，则的最
11、小值为（ ）A. 16B. 12C. 8D. 6【答案】C【解析】【分析】先由等比数列的基本运算得到通项，根据、成等差数列，由等差数列的中项性质得到，即，然后根据讨论求解.【详解】由，且，整理得：，所以，因为、成等差数列，所以，所以，因为正整数，所以，所以，所以，当时，不成立；当或时，成立；此时或，当时，此时；所以的最小值为8.故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算以及不等式的性质，还考查了分类讨论的思想和化简变形，推理的能力，属于难题.三、解答题（本大题共5题，共分）17.已知四棱锥的底面是矩形，底面，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图.（1）求证：
12、平面；（2）求直线FH与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接CH，延长交PD于点K，连接BK，根据E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，易得，再利用线面平行的判定定理证明.（2）建立空间直角坐标，求得的坐标，平面PBC一个法向量，代入公式求解.【详解】（1）如图所示：连接CH，延长交PD于点K，连接BK，因为设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，所以H为CK的中点，所以，又平面平面，所以平面；（2）建立如图所示直角坐标系则，所以，设平面PBC一个法向量为：，则，有，令，设直线FH与平面所成角为，所以，因为，所以.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定
13、理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.18.已知函数（a为实常数）.（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由;（2）当为奇函数时，对任意的，不等式恒成立，求实数u的最大值【答案】（1），奇函数，非奇非偶函数；理由见解析（2）3.【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求解.（2）当为奇函数时，将对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，不等式恒成立，令，利用双勾函数的性质求解.【详解】（1）若函数为奇函数，则，即，对恒成立，所以，解得，又，对任意实数，所以不可能为偶函数，所以时，函数是非奇非偶函数.（2）当为奇函数时，因为对任意的，不等式恒成立，所以对任
14、意的，不等式恒成立，令，令，因为，在是增函数，所以当时，即，所以，所以实数u的最大值是3.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“H型”图形，“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设O为圆心，“H”型图形的面积为S.（1）将AB、AD用R、表示，并将S表示成的函数；（2）为了突出“H”型图形，设计时应使S尽可能大，则当为何值时，S最大？并求出S的最大值.【答案】（1），；（2）时，.【解析】【分析】（1
15、）设OM交CD于N，根据，易得，再由矩形的面积公式求解.（2）利用二倍角公式和辅助角公式转化函数为 ，再利用正弦函数的值域求解.【详解】（1）如图所示：设OM交CD于N，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以；（2），因为，所以，所以，即时，S取得最大值.【点睛】本题主要考查三角函数的平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆与双曲线C分别相交于点A、B，如图所示.（1）求双曲线C的方程；（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A、B的任意一点，且直线PA、PB分别与x轴相交于点M、N，求
16、证：为定值（其中O为坐标原点）.【答案】（1）；（2），；（3）4.【解析】【分析】（1）由圆心为，为双曲线的左顶点，解得，得到双曲线C的方程.（2）设，利用数量积运算得到，再利用二次函数的性质求解.（3）设，得到直线PA的方程为：，令，得，同理，然后代入求解.【详解】（1）因为圆的圆心为，且为左顶点，所以，所以双曲线C的方程.（2）设，因为点A在双曲线上，所以，所以，所以当，取得最小值，此时，又点A在圆上，所以，所以圆D的方程.（3）设，则直线PA的方程为：，令，得，同理，又点A，P在双曲线上，所以，所以，所以为定值.【点睛】本题主要考查双曲线的方程和几何性质，圆的方程以及定值等问题，还考查
17、了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.21.已知项数为的数列满足条件：；若数列满足，则称为数列的“关联数列.（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；（2）若数列存在“关联数列”，证明：；（3）已知数列存在“关联数列”，且，求数列项数m的最小值与最大值.【答案】（1）存在关联数列：，10，9，8，7，理由见详解；（2）证明见详解；（3）m的最小值与最大值分别为和.【解析】分析】（1）根据“关联数列”定义求解判断.（2）根据“关联数列”定义结合数列的单调性讨论即可.（3）根据数列和求“关联数列”的项的特征结合单调性分析出，根据 求解.【详解】（1）因为，所以数列1，5，9，13，17存在“关联数列”，10，9，8，7.（2）因为数列存在“关联数列”，所以，所以，所以为递减数列，又因为，所以，所以，所以；（3）因为数列存在“关联数列”，所以任意，因为，所以，由（2）知，又，所以，解得，因为，所以，所以m的最小值与最大值分别为和.【点睛】本题主要考查数列新定义相关问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.
