1、广东省佛山市南海区黄岐中学2014-2015学年高二下学期第一次质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为（）A6B18C54D812已知函数f（x）=ax2+c，且f（1）=2，则a的值为（）A1BC1D03函数的导数是（）ABCD4=（）AB2eCD5抛物线：x2=y的焦点坐标是（）A（0，）B（0，）C（，0）D（，0）6=（）A2B4CD27如图，函数y=x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（）A1BCD
2、28对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f（x）0，则必有（）Af（0）+f（2）2f（1）Bf（0）+f（2）2f（1）Cf（0）+f（2）2f（1）Df（0）+f（2）2f（1）二、填空题：本大题共6小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分9曲线y=x2在点（1，）处切线的倾斜角为10已知曲线y=x2+2x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是11若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y8=0垂直，则l的方程为12设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=13设抛物线y2=4px（p0）上横坐标为6的点到焦点的距离为10，则p=14曲线y=x3+3x2+6x+4的所
3、有切线中，斜率最小的切线的方程是三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15计算：（1）|x+2|dx； （2）dx16某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）17已知函数f（x）=ax3+bx22x+c在x=2时有极大值6，在x=1时有极小值，（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）在区间3，3上
4、的最大值和最小值18如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点（1）求证：ACBC1；（2）求多面体ADCA1B1C1的体积；（3）求二面角DCB1B的平面角的正切值19如图所示，F1、F2分别为椭圆C：+=1（ab0）的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，）到F1、F2两点的距离之和为4（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求弦长|PQ|20已知函数f（x）=lnxbx+c，f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+4=0（）求f（x）的解析式；（）求f（x）的
5、单调区间；（）若在区间，5内，恒有f（x）x2+lnx+kx成立，求k的取值范围广东省佛山市南海区黄岐中学2014-2015学年高二下学期第一次质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为（）A6B18C54D81考点：导数的几何意义 分析：根据v=得知，瞬时速度就是s对t的导数解答：解：v=v=s|t=3=6t2|t=3=54故选C点评：本题比较容易，考查导数的几何意义2已知函数f（x）=ax2+c，且f（1）=2，则a的值为（）A1BC1D0考点：导数的运
6、算 专题：计算题分析：先求出f（ x），再由f（1）=2求出a的值解答：解：函数f （x ）=a x2+c，f（ x）=2ax又f（1）=2，2a1=2，a=1故答案为A点评：本题考查导数的运算法则3函数的导数是（）ABCD考点：导数的运算 专题：计算题分析：把函数改写为幂函数的形式，利用幂函数的求得法则即可求得结果解答：解：，=，故选C点评：本题考查根式与分数指数幂的互化，以及幂函数的导数，不根式化为分数指数幂是解题的关键，属基础题4=（）AB2eCD考点：微积分基本定理 专题：计算题分析：先求出被积函数ex+ex的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可解答：解：（ exex）=ex+ex
7、01（ex+ex）dx=（ exex）|01=e1+1=e故选D点评：本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题5抛物线：x2=y的焦点坐标是（）A（0，）B（0，）C（，0）D（，0）考点：抛物线的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标解答：解：抛物线x2=y中，2p=1，=，又焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标是 （0，），故选B点评：本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，定位定量是关键6=（）A2B4CD2考点：微积分基本定理 专题：导数的综合应
8、用分析：利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出解答：解：（cosxsinx）=sinxcosx，=2故选A点评：熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键7如图，函数y=x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（）A1BCD2考点：定积分的简单应用 专题：计算题分析：本题考查的知识点是定积分的几何意义，首先我们要联立两个曲线的方程，判断他们的交点，以确定积分公式中x的取值范围，再根据定积分的几何意义，所求图形的面积为S=02（x2+2x+1）dx021dx，计算后即得答案解答：解：函数y=x2+2x+1与y=1的两个交点为：（0，1）和（2
9、，1），所以闭合图形的面积等于S=02（x2+2x+1）dx021dx=02（x2+2x+11）dx=02（x2+2x）dx=故选B点评：在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1作图象；2求交点；3用定积分表示所求的面积；4微积分基本定理求定积分8对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f（x）0，则必有（）Af（0）+f（2）2f（1）Bf（0）+f（2）2f（1）Cf（0）+f（2）2f（1）Df（0）+f（2）2f（1）考点：导数的运算 专题：分类讨论分析：分x1和x1两种情况对（x1）f（x）0进行讨论，由极值的定义可得当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，故问题得证解答：解
10、：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，+）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），f（0）+f（2）2f（1）故选C点评：本题以解不等式的形式，考查了利用导数求函数极值的方法，同时灵活应用了分类讨论的思想，是一道好题二、填空题：本大题共6小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分9曲线y=x2在点（1，）处切线的倾斜角为45考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解解答：解：函数的导数f（x）=x，则在点（1，
11、）处切线的斜率k=f（1）=1，由tan=1得=45，即在点（1，）处切线的倾斜角为 45，故答案为：45点评：本题主要考查切线的倾斜角的计算，求函数的导数，利用导数的几何意义是解决本题的关键10已知曲线y=x2+2x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是（1，3）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：设出M（m，n），求出导数，求得切线的斜率，由题意可得2m+2=0，解得m，进而得到n，即可得到切点坐标解答：解：y=x2+2x2的导数为y=2x+2，设M（m，n），则在点M处的切线斜率为2m+2，由于在点M处的切线与x轴平行，则2m+2=0，解得m=
12、1，n=122=3，即有M（1，3）故答案为：（1，3）点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线平行的条件，正确求导是解题的关键11若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y8=0垂直，则l的方程为4xy3=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线垂直的判定；直线的一般式方程 专题：计算题分析：欲求l的方程，根据已知条件中：“切线l与直线x+4y8=0垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标从而问题解决解答：解：与直线x+4y8=0垂直的直线l与为：4xy+m=0，即y=x4在某一点的导数为4
13、，而y=4x3，y=x4在（1，1）处导数为4，故方程为4xy3=0点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题12设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=e考点：导数的运算 专题：计算题分析：先根据乘积函数的导数公式求出函数f（x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可解答：解：f（x）=xlnxf（x）=lnx+1则f（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e故答案为：e点评：本题主要考查了导数的运算，以及乘积函数的导数公式的运用，属于基础题之列13设抛物线y2=4px（p0）上横坐标为6的点到焦点的距离为10
14、，则p=4考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为10，进而利用抛物线方程求得其准线方程，利用点到直线的距离求得p，可得答案解答：解：横坐标为6的点到焦点的距离是10，该点到准线的距离为10，抛物线y2=4px的准线方程为x=p，6+p=10，求得p=4，故答案为：4点评：本题主要考查了抛物线的定义和性质考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题14曲线y=x3+3x2+6x+4的所有切线中，斜率最小的切线的方程是3xy+3=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：根据题意求出导数，对导数配方后求出
15、最小值，以及对应的切点坐标，代入直线的点斜式后再化为一般式解答：解：由题意得，y=3x2+6x+6=3（x2+2x）+6=3（x+1）2+3，当x=1时，y=3x2+6x+6取最小值是3，把x=1代入y=x3+3x2+6x+4得，y=14，即切点坐标是（1，14），切线方程是：y14=3（x1），即3xy+3=0，故答案为：3xy+3=0点评：本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线的斜率是该点处的导数值，以及直线方程的一般式和点斜式的应用三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15计算：（1）|x+2|dx； （2）dx考点：定积分 专题：导数的概念及应
16、用分析：（1）根据积分范围，去掉绝对值，讲所求化为两段分别积分求值；（2）根据其几何意义求定积分解答：解：（1）|x+2|dx=（2x）|+（）|=2+=； 解：（2）dx表示如图阴影部分的面积，所以面积为=点评：本题考查了定积分的计算（1）关键是找出被积函数是原函数；（2）是利用定积分的几何意义解答16某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购
17、地费用=）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；实际问题中导数的意义 专题：计算题；应用题分析：先设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，根据题意写出综合费f（x）关于x的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而得出它的最小值即可解答：解：方法1：导数法设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则（x10，xZ+），令f（x）=0得x=15当x15时，f（x）0；当0x15时，f（x）0因此当x=15时，f（x）取最小值f（15）=2000；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层方法2：（本题也可以使用基本不等式求解）设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则，当且进行
18、，即x=15时取等号答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层点评：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识17已知函数f（x）=ax3+bx22x+c在x=2时有极大值6，在x=1时有极小值，（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）在区间3，3上的最大值和最小值考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题分析：（1）因为函数f（x）=ax3+bx22x+c在x=2时有极大值6，在x=1时有极小值得到三个方程求出a、b、c；（2）令f（x）=x2+x2=0解得x=2，x=1，在区间3，
19、3上讨论函数的增减性，得到函数的最值解答：解：（1）f（x）=3ax2+2bx2由条件知解得a=，b=，c=（2）f（x）=，f（x）=x2+x2=0解得x=2，x=1由上表知，在区间3，3上，当x=3时，fmax=；当x=1，fmin=点评：考查函数利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数增减性的能力18如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点（1）求证：ACBC1；（2）求多面体ADCA1B1C1的体积；（3）求二面角DCB1B的平面角的正切值考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 专题：计算题；
20、证明题分析：（1）证明线线垂直一般先证明线面垂直，即证明已知直线与平面内的两条相交直线垂直即可（2）结合几何体的特征得到，进而得到答案（3）根据题意建立直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角进而转化为两个平面的二面角解答：解：（1）证明：直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC2+BC2=AB2ACBC，又ACC1C，C1CBC=CAC平面BCC1；ACBC1（2）=20（3）由题意可得：以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，AC=3，BC=4，AA1=4，C（0，0，0），B1（0，4，4），平
21、面CBB1C1的法向量，设平面DB1C的法向量，则，的夹角的补角的大小就是二面角DCB1B的大小则由解得所以，则二面角DB1CB的正切值为点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，即可得到几何体的线面关系进而比较简单的解决空间中的体积、空间角与空间距离等问题19如图所示，F1、F2分别为椭圆C：+=1（ab0）的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，）到F1、F2两点的距离之和为4（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求弦长|PQ|考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆
22、的定义求出a，点的坐标代入椭圆方程，求出b，即可求椭圆C的方程和焦点坐标；（2）通过椭圆C的焦点F2，以及AB的平行线求出直线的斜率，设出PQ的方程，与椭圆联立通过韦达定理利用写出公式，求弦长|PQ|解答：解：（1）由题设知：2a=4，即a=2，将点（1，）代入椭圆方程得 ，解得b2=3c2=a2b2=43=1，故椭圆方程为，焦点F1、F2的坐标分别为（1，0）和（1，0）（2）由（）知A（2，0），B（0，），kPQ=kAB=，PQ所在直线方程为y=（x1），由 得 2x22x3=0，设P （x1，y1），Q （x2，y2），则x1+x2=1，x1x2=，弦长|PQ|=点评：本题考查椭圆的标
23、准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力20已知函数f（x）=lnxbx+c，f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+4=0（）求f（x）的解析式；（）求f（x）的单调区间；（）若在区间，5内，恒有f（x）x2+lnx+kx成立，求k的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（）由求导公式、法则求出f（x），根据题意和导数的几何意义求出b的值，将（1，f（1）代入方程x+y+4=0求出f（1），代入解析式列出方程求出c，即可求出函数f（x）的解析式；（）由（
24、I）求出函数的定义域和f（x），求出f（x）0和f（x）0的解集，即可求出函数f（x）的单调区间；（）先化简f（x）x2+lnx+kx，并分离常数k，再构造函数g（x）=，求出g（x）并求出g（x）大于、小于零的解集，求出g（x）的单调区间和最小值，再求出k的取值范围解答：解：（）由题意得，f（x）=，则f（1）=1b，在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+4=0，切线斜率为1，则1b=1，得b=2 2分将（1，f（1）代入方程x+y+4=0得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=5，f（1）=b+c=5，将b=2代入得c=3，故f（x）=lnx2x3 5分（）依题意知函数的定义域是（0，+
25、），且，令f（x）0得，令f（x）0得，故f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+） 9分（）由f（x）x2+lnx+kx得，lnx2x3x2+lnx+kx，k在区间，5内恒成立，10分设g（x）=，则g（x）=，令g（x）=0得，x=或x=（负值舍去），令g（x）0得，令g（x）0得，故在（，）上g（x）单调递增，在（，5）上g（x）单调递减，g（x）的最小值只能在区间，5的端点处取得 12分g（）=，g（5）=52=，g（x）的最小值是g（）=所以k，即k的取值范围为（，） 14分点评：本题考查求导公式和法则，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查分离常数法，转化思想，属于中档题
