1、43单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质44单位圆的对称性与诱导公式知识点一 正弦线与利用单位圆看ysinx性质 填一填1根据单位圆理解正弦函数ysinx的性质(1)定义域是全体实数；(2)最大值是1，最小值是1，值域是1,1；(3)它是周期函数，其最小正周期是2；(4)在0,2上的单调性：在0，上是增加的；在，上是减少的；在，上是减少的；在，2上是增加的2正弦线如图所示，角的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.线段MP叫作角的正弦线当角的终边在x轴上时，M与P重合，此时正弦线变成一个点答一答1正弦线的长度等于ysinx的函数值吗？提示：不等于，正弦线的长度等于ysin x
2、的函数值的绝对值知识点二 余弦线与利用单位圆看ycosx性质 填一填3根据单位圆理解余弦函数ycosx性质(1)定义域是全体实数；(2)最大值是1，最小值是1，值域是1,1；(3)它是周期函数，其最小正周期是2；(4)在0,2上的单调性：在0，上是减少的；在，上是减少的；在，上是增加的；在，2上是增加的4余弦线如图所示，角的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.线段OM叫做的余弦线与角的终边在y轴上时，M与O重合，此时余弦线变成一个点答一答2余弦线的长度等于ycosx的函数值吗？提示：不等于，余弦线的长度等于ycosx的函数值的绝对值知识点三 诱导公式 填一填5诱导公式(函数
3、名称不变)sin()sin，cos()cos.sin(2)sin，cos(2)cos.sin()sin，cos()cos.sin()sin，cos()cos.文字概括：，2，的正弦(余弦)函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号6诱导公式(函数名称改变)sin()cos，cos()sin.sin()cos，cos()sin.文字概括：的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号答一答3怎样记忆七组诱导公式？提示：这七组诱导公式可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k(kZ)的三角函数值，当k为偶数时，得的同名三角
4、函数值；当k为奇数时，得的余名三角函数值，然后前面加上一个把看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k的奇偶性例如，sin()，因为中的k11是奇数，且把看成锐角时，是第四象限角，第四象限角的正弦函数值是负数，所以sin()cos.1诱导公式的实质诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系2解读诱导公式()(1)主要应用是把负角转化为正角，这也是我们在化简角时常用的一个策略(2)角与角关于x轴对称3解读诱导公式(2)(1)由三角函数的定义知，三角函数值由角终边的位置决定，故终边相同的角
5、一定有相同的三角函数值(2)角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律4解读诱导公式(，)(1)角与(2k1)(kZ)两角的终边在同一条直线上，关于原点对称，故两角的正弦值与余弦值分别是互为相反数的(2)可以把任意角的三角函数求值问题进一步缩小为0，内的角的三角函数求值问题5解读诱导公式(，)诱导公式(，)不同于前面的四个诱导公式，原因是等号左右两边的函数名称发生了改变，正弦变成余弦，同样余弦也变成正弦，其他规则不变类型一 正、余弦函数的定义域、值域、最值 【例1】(1)函数ysin的定义域是()AR B1,1C D3,3(2)函数y2cosx的值域
6、是()A1,1 B2,2C DR【解析】(1)ysinx的定义域是R，即R，xR.(2)由ycosx的值域是1,1，得22cosx2，2cosx.该函数的值域是.【答案】(1)A(2)C(1)函数y的定义域是x|xR，且x2k，kZ(2)函数y2cosx，x的最大值是1；最小值是1.解析：(1)sinx1，函数定义域为x|xR，且x2k，kZ(2)x时，cosx，y2cosx的最大值是1，最小值为1.类型二 正、余弦函数的单调性 【例2】函数ycosx，x(0,2)，其单调性是()A在(0，)上是增加的，在，2)上是减少的B在，上是增加的，在上是减少的C在，2)上是增加的，在(0，)上是减少的
7、D在上是增加的，在，上是减少的【解析】ycosx在(0，)是单调递减函数，在，2)上是单调递增函数ycosx在(0，)是单调递增函数，在，2)上是单调递减函数，A成立【答案】A规律方法 函数yAsinxB或yAcosxB型函数的单调性常常利用ysinx与ycosx的单调性解决但要注意A0，A0情况的讨论函数ysinx的定义域是，值域是a，b，则ba.解析：ysinx在上是增函数，在上是减函数，所以y.所以b，a，ba.类型三 利用诱导公式求值 【例3】(1)求sin(1 200)cos1 290cos(1 020)sin(1 050)的值；(2)计算：coscoscoscoscoscos.【思
8、路探究】(1)注意观察角，将角化为360k，180，360等形式后，再利用诱导公式求解(2)根据两互补角的余弦值互为相反数求解【解】(1)原式sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin60cos30cos60sin301.(2)原式(coscos)(coscos)(coscos)coscos()coscos()coscos()(coscos)(coscos)(coscos)0.规律方法 本题第(1)问主要考查诱导公式，可先将负角化为正角，再化为0360的角
9、，最后化为锐角求值对本题第(2)问进行推广，可以得到下面规律：coscoscoscoscoscoscoscos0(nN)求cossincos的值解：coscoscos.sinsinsin.coscoscoscoscoscos.所以cossincos.类型四 利用诱导公式进行化简 【例4】设k为整数，化简：.【思路探究】求解本题时，可以将整数k分为奇数、偶数两种情况进行讨论；也可以根据(k)(k)2k，(k1)(k1)2k并结合诱导公式将题目中的角均转化为k；也可以直接利用公式进行化简【解】方法1：当k为偶数时，设k2m(mZ)，则原式1.当k为奇数时，设k2m1(mZ)，则原式1.综上可得，原
10、式1.方法2：由(k)(k)2k，(k1)(k1)2k，得sin(k)sin(k)，cos(k1)cos(k1)cos(k)又sin(k1)sin(k)，故原式1.方法3：原式1.规律方法 三角函数式的化简是对式子进行某种变形以清晰地显示式子中所有项之间的关系，其变形过程就是统一角、统一函数名称的过程，所以对式子变形时，一方面要注意角与角之间的关系，另一方面要根据不同的变形目的，对公式进行合理选择化简的基本要求是：(1)能求出值的求出值；(2)使三角函数名称尽量少；(3)使项数尽量少；(4)使次数尽量低；(5)使分母尽量不含三角函数；(6)使被开方数(式)尽量不含三角函数化简：.解：原式1.易
11、错警示应用诱导公式时忽略对参数的讨论致误【例5】化简：(nZ)_.【错解】(或)【正解】当n为偶数时，设n2k，kZ，原式；当n为奇数时，设n2k1，kZ，原式.【错解分析】忽略处对n为奇数或n为偶数的讨论，只作为一种情况求解，而导致答案错误【答案】【防范措施】分类讨论意识在处理含参数的式子时，常常要对参数进行讨论，有时是对参数的正负的讨论，有时是对参数的奇偶的讨论，要视题目而定，如本例中，因诱导公式中角2k与角(2k1)的公式不同，所以要对n的奇偶分情况讨论化简：sin()cos()(nZ)解：方法1：当n为偶数时，设n2k，kZ，原式sin2k()cos2k()sin()cos()sin(
12、)cos()sin()sin()0；当n为奇数时，设n2k1，kZ，原式sin(2k1)()cos(2k1)()sin()cos()cos()cos()0.综上可知，原式0.方法2：因为()，所以sin()cos()sin()cos()sin()sin()0.方法3：原式sinn()cosn()(1)n1sin()(1)ncos()(1)n1sin()(1)ncos()(1)n1sin()(1)nsin()0.一、选择题1函数y2cosx1的最小正周期为(C)A B21C2 D.解析：函数y2cosx1的最小正周期与函数ycosx的最小正周期相同，故选C.2sin585的值为(A)A B. C
13、 D.解析：本题主要考查三角函数的概念及诱导公式sin585sin(360225)sin225sin(18045)sin45.3已知cos，(370，520)，则(B)A60 B420C120 D300解析：cos，在(0，360)内60或300，在(370，520)内为420.二、填空题4(1)cos；(2)sin().解析：(1)coscos(2)cos.(2)sin()cos.5设sinxt3，xR，则t的取值范围为2,4解析：因为1sinx1，所以1t31，由此解得2t4.三、解答题6若sin()2cos(2)，求的值解：由sin()2cos(2)得，sin2cos，即sin2cos.
