1、2.1.3 向量的减法【教学目标】1、知识与技能了解相反向量的概念；会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。2、过程与方法提高学生观察、归纳、迁移能力和动手能；培养学生的转化思想3、情感、态度与价值观注重培养学生积极思考、勇于探索的科学精神以及总结规律、尊重规律的观念。【教学重点】向量的减法运算及其几何意义。【教学难点】向量减法的理解.【课 型】新授课【教学过程】一、导入新课 当两个向量相加时，能轻易的在图中表示出来，但是当两个向量想减时，在现有的知识的基础上，能表示出来吗？二、温故知新复习向量加法运算及其几何意义1、向量加法的三角形法则2、向量加法的平行四边形法则二、新知探究提出问题1向量是
2、否有减法？向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？如何理解向量的减法？向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？师生活动师:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质?生:向量也有减法运算.定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反
3、的量,叫做a的相反向量,记作-a.向量减法的定义.我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.师生共同得出;任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则如图,设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b.又b+=a,所以=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法. (2)三角形法则如图,已知a
4、、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.提出问题2上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?改变上图中向量a、b的方向使ab,怎样作出a-b呢?生:=b-a.上黑板板演.三、应用示例例1、如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d. 图3设计意图:让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;变式训练设计意图:掌握用两个向量表示几何图形中的其他向量的方法,这是用向量证明几何问题的基础.课堂练习课本P87练习13四、课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识
5、:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.五、作业布置课本习题2.2 A组5、（4）（7）6、7、8.备选例题：例3、 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)ABC中,必有+=0.(3)若+=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|a-b|.设计意图:根据向量的加、减法及其几何意义解决相关问题.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定
6、,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则+=,与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有+=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|a-b|,异向则有|a+b|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4、 若|=8,|=5,则|的取值范围是( )A.3,8 B.(3,8) C.3,13 D.(3,13)设计意图：重要性质|a|-|b|a+b|a|+|b|的运用.解析:=-.
7、(1)当、同向时,|=8-5=3;(2)当、反向时,|=8+5=13;(3)当、不共线时,3|13.综上,可知3|13.答案:C备选练习：1.已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量等于( )A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c解析:如图,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有=+=+=+-=a-b+c.答案:B2.若=a+b,=a-b.当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 ？a+b与a-b可能是相等向量吗？解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得=a+b,=-=a-b.由此问题就可转换为:当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)说明:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.
