1、本章知识体系专题一互斥事件与对立事件 【例1】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【思路探究】用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式【解答】把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.总的事件数为20.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况
2、有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1.【规律方法】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个
3、事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用概率的加法公式计算求“至多”“至少”型的概率问题时，先理解题意，明确所求事件包含哪些事件，再利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式解决某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解：(1)
4、设事件“电话响第k声时被接”为Ak(kN)，那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)0.10.20.30.350.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.根据对立事件的概率公式，得P()1P(A)10.950.05.专题二古典概型 【例2】一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？【思路探究】可用枚举法找出所有的等可能
5、基本事件【解答】(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)因此，共有10个基本事件(2)如下图所示上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A).【规律方法】解决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数n与事件A所含的基本事件数m，因此要注意以下几个方面：明确基本事件是什么；试验是否是等可能性的试验
6、；基本事件总数是多少；事件A包含多少个基本事件一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3个，若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是.(1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙的大的概率解：(1)设红色球有x个，依题意得，解得x4，红色球有4个(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(
7、白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以P(A).专题三几何概型 【例3】设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率【思路探究】当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有
8、公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题【解答】设A硬币落下后与格线没有公共点，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为422，由几何概率公式得：P(A).【规律方法】几何概型有两大特征：基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性求解此类问题时，常把概率问题等价转化为相应问题的测度比问题常见的测度比有：长度之比、面积之比、体积之比等等，正确区分几何概型与古典概型是本章学习的一个难点假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间
9、，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？解：设事件A“父亲离开家前能得到报纸”在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是xy，而(x，y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由右图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A12，1，所以P(A).专题四概率与统计的综合问题 【例4】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a
10、，)，(，b)，(a，b)其中a，分别表示甲组研发成功和失败；b，分别表示乙组研发成功和失败(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率【思路探究】(1)根据已知条件分别列出甲、乙两个小组的研发成绩，利用平均数、方差公式求解；(2)用古典概型概率公式求恰有一组研发成功的概率【解答】(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为甲；方差为s(1)210(0)25.乙组研发新产品的
11、成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为乙；方差为s(1)29(0)26.因为甲乙，ss，所以甲组的研发水平优于乙组(2)记E恰有一组研发成功在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，)，(，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(a，)，(，b)，共7个故事件E发生的频率为，将频率视为概率，即得所求概率为P(E).【规律方法】概率与统计相结合，是新课标数学试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大某班同学利用国庆节进行社会实践，对25,55)岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳
12、观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组25,30)1200.6第二组30,35)195p第三组35,40)1000.5第四组40,45)a0.4第五组45,50)300.3第六组50,55)150.3(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；(2)从年龄段在40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在40,45)岁的概率解：(1)第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.
13、3，所以高为0.06，频率分布直方图如下：第一组的人数为200，频率为0.0450.2，所以n1 000.由上面可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 0000.3300，所以p0.65.第四组的频率为0.0350.15，所以第四组的人数为1 0000.15150，所以a1500.460.(2)因为40,45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为603021，所以采用分层抽样法抽取6人，40,45)岁中有4人，45,50)岁中有2人设40,45)岁中的4人为a，b，c，d，45,50)岁中的2人为m，n，则选取2人作为领队的选法有(a，b)，(a，c)，(a
14、，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种；其中恰有1人年龄在40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种所以选取的2名领队中恰有1人年龄在40,45)岁的概率为.专题五数形结合思想 【例5】设点(p，q)在|p|3，|q|3中按均匀分布出现，试求方程x22pxq210的两根都是实数的概率【思路探究】试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部【解答】基本事件总体的区域D的
15、度量为正方形面积，即D的度量为S正方形6236，由方程x22pxq210的两根都是实数，得(2p)24(q21)0，p2q21.当点(p，q)落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域d的度量为S正方形S圆36，原方程的两根都是实数的概率为P.【规律方法】数形结合的思想在求古典概型和几何概型的概率中有着广泛的应用在古典概型中，基本事件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数在几何概型中，把基本事件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？解：记三人为A、B、C，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下图：每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P.
