1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)6.4.3.1&2余弦定理、正弦定理【知识导学】考点一正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(4)sin A，sin B，sin C；(5)abcsin Asin Bsin C；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)c
2、os A；cos B；cos C考点二：角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)考点三：解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.【考题透析】透析题组一：正弦定理解三角形1（2021四川省广安代市中学校高一阶段练习（理）在中，角的对边分别是，则（ ）ABC或D无解2（2021福建省建瓯市芝华中学高一阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）ABCD3（2021江苏沭阳高一
3、期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若，则（ ）AB2CD透析题组二：正弦定理判定三角形解的个数4（2021河北衡水市冀州区第一中学高一期中）若中，若该三角形有两个解，则范围是（ ）ABCD5（2021全国高一课时练习）已知中，分别为角的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是（ ）A，B，C，D，6（2021四川省绵阳江油中学高一期中（理）中，已知下列条件：；.其中满足上述条件的三角形有两解的是（ ）ABCD透析题组三：正弦定理求外接圆的半径7（2021河北邯郸高一期中）已知，分别为三个内角，的对边，且，的外接圆半径为2.则（ ）AB2CD48（2021全国高一课时练习）在中，角
4、所对的边分别为，则（ ）A2BCD9（2021山东任城高一期中）在中，、分别是角、的对边，若，则的面积为（ ）ABCD透析题组四：正弦定理边角互化的应用10（2021云南昆明八中高一阶段练习）在ABC中，若，则B（ ）ABC或D或11（2021江西省崇义中学高一期中）已知ABC的内角ABC所对的边分别为abc，下列四个命题中，不正确的命题是（ ）A若，则一定是等腰三角形B若，则是等腰或直角三角形C若，则一定是等腰三角形D若，且，则是等边三角形12（2021全国高一课时练习）在中，则的形状为（ ）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形透析题组五：余弦定理解三角形13（2021河北武
5、安市第一中学高一阶段练习）在三角形ABC中，已知三边之比，则的值等于（ ）A1B2CD14（2021江西南昌市外国语学校高一期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则（ ）ABCD15（2021江西南昌县莲塘第一中学高一阶段练习（理）已知在中，角A，的对边分别为，若，且，则（ ）ABCD透析题型六：余弦定理边角互化的应用16（2021全国高一课时练习）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accosB，且ABC的面积为，则ABC的周长为（）A6+2B4+C+4D3+217（2021辽宁东港市第三中学高一期末）在中
6、，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角若，且满足关系式，则（ ）A2B4C6D818（2022全国高一专题练习）南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，且，则面积的最大值为（ ）A1BCD透析题型七：三角形面积公式问题19（2022江西景德镇一中高一期末）在锐角中，分别为角的对边，已知，则的面积S的取值范围是（ ）ABCD20（2022全国高一专题练习）已知ABC的内角A，
7、B，C的对边分别为a，b，c，若a+b2，则ABC的面积的最大值为（）ABCD21（2021江苏苏州中学高一阶段练习）在中，内角，的对边分别是，若，的面积等于，则的取值范围是（ ）ABCD透析题型八：正弦定理和余弦定理的综合应用22（2021河北深州长江中学高一期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC23（2020河北衡水市第十四中学高一阶段练习）在 中，内角的对边分别为 .已知 （1） 求的值（2）若 ，求的面积.24（2021黑龙江大庆实验中学高一）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，（1）证明：；（2）若，且为锐角三角形，求S
8、的取值范围【考点同练】一、单选题25（2021广东深圳市龙岗区德琳学校高一期中）内角的对边分别为，已知，则（ ）ABCD26（2021江西雷式中学高一期中）在中，内角，的对边分别为，若，则角等于（ ）ABCD27（2022全国高一专题练习）在中，若，则等于（ ）A1B2CD28（2021黑龙江鸡西高一期末）在中，角ABC所对的边分别为abc，若，则最大角的余弦值为（ ）ABCD29（2021全国高一课时练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角所对的边分别为，面积为，则 “三斜求积”公式为.若， 则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）ABC3D30（
9、2022全国高一专题练习）在中，角，的对边分别为，若，则面积的最大值为（ ）A1BC2D31（2021全国高一课时练习）对于，下列说法正确的是（ ）A若，则为等腰三角形B若，则为直角三角形C若，则为钝角三角形D若，则的面积为32（2021全国高一课时练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a-2b)cosC=c(2cosB-cosA)，ABC的面积为a2sin，则C=（ ）ABCD二、解答题33（2020黑龙江双鸭山一中高一期末（理）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求a的值.34（2021重庆市江津中学校高一阶段练习
10、）如图，在四边形中，.（1）求；（2）若，求周长的最大值.7原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【答案精讲】1A【解析】【分析】在三角形中由正弦定理，即可求出答案.【详解】由正弦定理得.或.，（舍）.故.故选：A.2C【解析】【分析】利用正弦定理，求得，得到，结合三角形的内角和定理，即可求解.【详解】在中，因为，由正弦定理 ，可得，解得，又由，可得，所以，所以.故选：C.3B【解析】【分析】利用正弦定理结合比例性质求解.【详解】因为，由正弦定理可得，所以故选：B4D【解析】【分析】根据题意，过作于点，从而可求出，由该三角形有两个解，可知
11、以为圆心，为半径画圆，与所在直线有两个交点，从而可求出的取值范围.【详解】解：如图，过作于点，若该三角形有两个解，则以为圆心，为半径画圆，与所在直线有两个交点，则的取值范围是：，即，所以的取值范围是.故选：D.5C【解析】【分析】由正弦定理与大边对大角逐项判断即可求解【详解】对于A：由得：，所以，无解，A错误；对于B：由得：，所以，又，故，此时有一个解，B错误；对于C：由得：，所以，又，故，此时有两个解，C正确；对于D：由得：，所以，又，故，此时有一个解，D错误；故选：C6B【解析】【分析】利用正弦定理求解判断.【详解】，得，所以，故满足条件的角C有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两解
12、；，得，所以，故满足条件的角B有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两解；，得，所以，故三角形有一解；，得，所以，所以B不存在，故三角形无解；故选：B7B【解析】【分析】由正弦定理将已知条件边化角，结合两角和的正弦公式化简，再利用正弦定理即可得出【详解】根据正弦定理知，又因为，所以，又，所以，所以，即，所以，由正弦定理可得，解得，故选：B.8C【解析】【分析】先根据余弦定理求出，在根据正弦定理化简原式求解即可【详解】在中，由余弦定理得，即，解得.在中，由正弦定理得，为外接圆半径.则.故选:C9A【解析】【分析】首先由条件和正弦定理判断是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的
13、圆心在斜边的中点，所以由外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.【详解】由正弦定理可知 已知，所以和，所以，所以是等腰直角三角形，由条件可知外接圆的半径是，即等腰直角三角形的斜边长为，所以.故选：A【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型.10A【解析】【分析】由正弦定理化边为角，再由诱导公式，两角和的正弦公式变形可得【详解】因为，由正弦定理得因为，所以因为，所以，所以，而B为三角形内角，故故选：A11C【解析】【分析】A利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C先进行切化弦，然后利用正
14、弦定理进行化简并判断；D根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果.【详解】A因为，所以，即所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；B因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以为等腰或直角三角形，故正确；C因为，所以，所以，所以，所以，所以或，所以为等腰或直角三角形，故错误；D因为，所以，所以或（舍），所以，又因为，所以且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以为等边三角形，故正确.故选：C12B【解析】【分析】利用给定条件结合对数运算可得，再利用正弦定理角化边即可判断得解.【详解】因，则有，即有，于是得，在中，由正弦定理得：，所以是直角三角形.故
15、选：B13B【解析】【分析】根据三边关系求出，根据二倍角公式结合正弦定理即可得解.【详解】三角形ABC中，已知三边之比可设，由余弦定理可得：，由正弦定理可得：故选：B14C【解析】【分析】根据余弦定理，结合三角形的面积公式即可求得答案.【详解】，由余弦定理得，结合，得，容易判断，故选：C15A【解析】【分析】根据余弦定理及题干条件，可得，根据余弦定理，可求得的值，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】由题意得，所以，又，所以，所以，所以，因为，所以，故A正确，B、D错误；，所以，所以，故C错误.故选：A16A【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理角化边，求出边a，c的关系，再借助
16、三角形面积定理计算即得.【详解】在ABC中，由正弦定理及(sinA-sinC)=sinB得：(a-c)=b，由余弦定理及a2=5c2+2accosB得：a2=5c2+，解得b=c，因此有a=2c，从而得cosB=-，则有sinB，于是得SABC，解得c=2，则a=4，b=2，所以ABC的周长为a+b+c=6+2.故选：A17A【解析】【分析】因为，求得，再由，利用正、余弦定理求得，结合，即可求解.【详解】因为，可得，即，可得，即，又因为，由正弦定理和余弦定理，可得，解得，又由正弦定理得.故选：A.18B【解析】【分析】由已知条件等式，结合余弦定理可得，进而有，将其代入公式，应用二次函数的性质求
17、最值即可.【详解】由题设，结合余弦定理知：，即，而，当时，.故选：B.【点睛】关键点点睛：应用余弦定理的边角关系，代入已知等式整理得，再由面积公式求最值.19C【解析】【分析】根据条件求出，利用三角形面积公式得到，采用极端值方法求出的最值，进而得到的范围，求出面积的取值范围.【详解】，因为为锐角三角形，故，当BCAB时，当CBAC时，故，所以.故选：C20D【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角形内角和定理与两角和公式可求出cosC，从而得sinC，再由基本不等式与面积公式求解即可【详解】由正弦定理知，sinB4（sinAsinCcosB），sinAsin（B+C）sinBcosC+
18、cosBsinC，sinB4sinBcosC，又sinB0，cosC，sinC，当且仅当ab1时，等号成立，ABC的面积SabsinC则ABC的面积的最大值为故选：D21D【解析】【分析】由已知条件可得，结合余弦定理可得，由正弦定理可得，则，再求出的范围，利用三角函数的性质可求得答案【详解】因为的面积等于，所以，由正弦定理得，所以，因为，所以，因为，所以由正弦定理得,可得，所以，因为，所以，所以，所以，所以故选：D22（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角
19、三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）即：由正弦定理可得： （2），由正弦定理得：又，整理可得： 解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即 由，所以.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.23（1） （2）【解析】【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得，化简即得答案（2）由（1）知，结合题意由余弦定理可解得 ，从而计算出面积【详解】（1）由正弦定理得，所以 即 即有，即 所以（2）由（1）知，即，又因为 ，所以由余弦
20、定理得：，即，解得,所以，又因为，所以 ，故的面积为=.【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题24（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式表示S，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可（2）结合三角形ABC为锐角三角形，判定tanC的范围，利用tanC表示面积，结合S的单调性，计算范围，即可【详解】(1)证明：由，即，B，(2)解：，且，为锐角三角形，为增函数，【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难25C【解析】【分析】利用余弦定理求出，再求出即可.【详
21、解】,，.故选：C26D【解析】【分析】利用正弦定理及余弦定理即可得出结果.【详解】解：利用正弦定理角化边可得，即因为为三角形内角，所以.故选：D.27B【解析】【分析】根据题意求得,再结合正弦定理，即可求解.【详解】在中，若，可得,由正弦定理，可得.故选：B.28B【解析】【分析】先由正弦定理得到，进而确定最大角为C，利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理得：，可知：，设，则最大角为C，故选：B29B【解析】【分析】根据题意，结合正弦定理，分别求出和，代入公式即可求解.【详解】根据题意，由，结合正弦定理得，即，因为，所以，故.故选：B.30B【解析】【分析】由正弦定理和余弦定理化角为边后，利用
22、余弦定理求得，代入已知条件并应用基本不等式求得的最小值，得的最大值，即得三角形面积最大值【详解】解：，化简得，即，由余弦定理知，的面积故选：B31C【解析】【分析】通过三角函数与角的关系判断三角形的形状，从而判定A，B的正误；利用正弦定理与余弦定理判断C的正误；利用正弦定理及三角形面积公式判断D的正误.【详解】对于A：，或，或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B: ，或，所以不一定是直角三角形，故B错误；对于C：，由正弦定理得，又，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；对于D: ，又，或，或，或，故D错误.故选：C32C【解析】【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式可得
23、sinB=2sinA，再利用三角形面积公式并结合二倍角正弦公式变形计算即得.【详解】由正弦定理=及(a-2b)cosC=c(2cosB-cosA)得：(sinA-2sinB)cosC=sinC(2cosB-cosA)，即sinAcosC+cosAsinC2(sinBcosC+cosBsinC)，化简得：sin(A+C)=2sin(B+C)，即sinB=2sinA，而ABC的面积为a2sin，则S=bcsinA=a2sin，根据正弦定理得，于是得， ，因(0，)，即cos0，则sin=，解得=，即C=，所以C=.故选：C33()；().【解析】【分析】（）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得，
24、则.（）由三角形面积公式可得：，结合余弦定理计算可得，则.【详解】（）由正弦定理得，即，（）由：可得，由余弦定理得：，.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围34（1）；（2）12【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得结果；（2）在中，由余弦定理可求得，在中，设，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，进而求出周长的最大值.【详解】（1）在中，利用正弦定理得：，又为钝角，为锐角，（2）在中，由余弦定理得解得：或（舍去）在中，设由余弦定理得，即整理得：，又利用基本不等式得：，即，即，当且仅当时，等号成立，即，所以所以周长的最大值为1228原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
