1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)6.4.1&6.4.2平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例一、单选题1（2022河北）中，点满足，则一定是（ ）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D钝角三角形2（2020浙江台州市黄岩第二高级中学）如图所示，点是内一点，若，且，则（ ）ABCD13（2019福建省永春第一中学）四边形ABCD中，则四边形一定是（）A正方形B菱形C矩形D等腰梯形4（2021云南省南涧县第一中学）在中，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ）A垂心B内心C外心D重心5（2021上海市七宝中学）在正方体中，下列结论正确的是（
2、）向量与的夹角是；正方体的体积为ABCD6（2021福建三明）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个旅行包.当两人提起重量为的旅行包时，夹角为，两人用力大小都为，若，则的值为（ ）A30B60C90D1207（2021贵州省瓮安第二中学）已知是边长为4的正三角形，是内（含边界）任意一点，的最大值为（ ）A12B24CD8（2022河南（文）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是
3、圆O内部一点，若，且，则的最小值是（ ）A3B4C9D169（2022内蒙古海拉尔第二中学（理）已知平面向量、满足，且与的夹角为，若，则的最小值为（ ）A1BCD10（2022全国）物体受到一个水平向右的力及与它成60角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30角，则的大小为（ ）A3NBC2ND11（2021辽宁锦州）如图正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为3，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（ ）ABCD12（2021浙江省诸暨市第二高级中学）已知点满足，则点依次是的（ ）A重心外心垂心B重心外心内心C外心重心垂心D外心重心内心二、
4、多选题13（2021湖北鄂州市鄂东高级中学）在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为，两个拉力分别为，若与的夹角为，则以下结论正确的是（ ）A的最小值为B的范围为C当时，D当时，14（2021江苏涟水县第一中学）已知向量，记向量的夹角为，则（ ）A时为锐角B时为钝角C时为直角D时为平角15（2021全国）在中，P在边的中线上，则的值可以为（ ）AB0C5D16（2021浙江金乡卫城中学）若点为所在平面内一点，则下列选项正确的是（ ）A直线必过边的中点BC若的面积为9，则的面积是4D17（2021重庆实验外国语学校）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H
5、，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）ABCD若三点共线，则存在实数使18（2021全国）设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）A若，则的形状为等边三角形B若，则点M是边BC的中点C过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心D若，则点M在边BC的延长线上三、填空题19（2021浙江嘉兴）已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值是_.20（2021上海上外浦东附中）已知两个力，的夹角是直角，且已知它们的合力与的夹角为，则的大小为_21（2021浙江浙江）如图，在矩形中，是上的两动点，在的左边，且，则的最小值为_22（2022
6、全国）如图，在AOB中，AOB120，OB2OA2，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当取最大值时，cosAPB_.23（2021广东顺德一中）如图，菱形ABCD的边长为2，A=60，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧BD上的点，则的范围为_四、解答题24（2021全国）用向量的方法证明：在中，25（2021全国）如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：.26（2021全国）质量的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿倾斜角的光滑斜面向上滑行的距离.（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？27（2
7、021广东仲元中学高一期末）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.(1)求证：；(2)设，求的值；(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1B【解析】【分析】设是中点，结合可得出点在三角形的中线所在直线上，再由可得，两个条件结合可得三角形的边上的中线与高线重合，进而选出答案.【详解】解：，设是中点，则，故点在三角形的中线所在直线上.，即，即.即，故三角形的边上的中线与高线重合，所以，三角形是等腰三角形，其中.故选：B.2C【解析】【分析】根据与共线，设
8、，设，得到，然后利用向量相等得到，然后由，转化为面积比求解.【详解】如图所示：延长交BC于点D，设点B到AD的距离为 ，点C到AD的距离为，因为 与共线，设，设，则，所以，即，而，所以，故选：C3C【解析】【分析】根据及向量加法的平行四边形法则可判断四边形是平行四边形，再由，即可判断四边形是矩形.【详解】解：因为，由向量加法的平行四边形法则知，线段是以为邻边的平行四边形的对角线，所以四边形是平行四边形，又因，所以四边形是矩形.故选：C.4B【解析】【分析】延长AC，使得AC=CD，则，由，得，从而可得AM平分，即可得出结论.【详解】解：延长AC，使得AC=CD，则，因为，所以，因为，所以，所以
9、是等腰三角形，所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分，直线AM一定经过的内心.故选：B.5B【解析】【分析】连接，可得为等边三角形，即可判断出正误；利用，利用数量积运算性质即可判断出正误；，即可判断出正误；利用，可得，进而判断出正误【详解】解：如图，连接，则为等边三角形，又，向量与的夹角是，不正确；，正确；，正确；，而正方体的体积，因此不正确故选：B6B【解析】【分析】设两人用力分别为，根据力的关系建立等式，平方处理即可得解.【详解】两人用力大小都为，设两人用力分别为，所以,又，所以，所以.故选：B7B【解析】【分析】根据向量数量积的运算律可得，结合图形可得，进而得到点在上时最大，计算即可.【
10、详解】如图，在中，为的中点，是内（含边界）任意一点，垂足为，则，故当点与点重合，即点在上时，最大，又的边长为4，所以最大值为故选：B8A【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案.【详解】因为，所以，所以，即，则因为点P是圆O内部一点，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值是3,故选：A.9C【解析】【分析】设，则，可令，可得出，结合图形可知，当时，线段最短，由此可求得的最小值.【详解】如图所示，设，则，可令，则，点在上，因为与的夹角为，则，当时，线段最短，此时取最小值，即.故选：C.10C【解析】【分析】如图所示，即得解
11、.【详解】由题得,所以,所以,所以,所以和大小相等，都为2.故选：C11A【解析】【分析】根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合，得到，即可求解.【详解】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为3，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径为，又由 ，因为，即，可得，所以的取值范围是.故选：A.12A【解析】【分析】将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论【详解】解：若，则，取的中点，则，所以，所以点N是AB中线上的点，同理可得N也是AC、BC中线上的点，所以是的重心因为且，所以O到顶点，的距离相等，所以为的外心由得，即，所以同理可
12、证，所以为的垂心故选：A13ACD【解析】【分析】根据与的夹角为，结合受力分析图象，逐一检验答案，得出选项【详解】根据受力分析，如图所示：对于A，当行李包处于平衡状态时，正确；对于B，当时，没有向上的分力，错误；对于C，当时，正确；对于D，当时，正确；故选：ACD14ACD【解析】【分析】利用平面向量的夹角公式判断.【详解】A. 当时，所以为锐角，故正确；B. 当时，所以为钝角或平角，故错误；C. 当时，所以为直角，故正确；D. 时，所以为平角，故正确.故选：ACD15AB【解析】【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的性质，可求得的最
13、值得选项.【详解】解：依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为yx2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2t)(0t2)，所以(t，2t)，(t，t)，所以t2t(2t)2t22t2，当t时，取得最小值，当时，取得最大值4.故选：AB.16BCD【解析】【分析】对A，根据判断即可；化简可得D正确，再根据奔驰定理逐个判定BC即可【详解】对D，则，化简得，故D正确；对A，若直线过边的中点则与题设矛盾，故A错误；对B，由奔驰定理可得，故，故，故B正确；对C，由可得，故C正确；故选：BCD
14、【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的运用，同时也考查了奔驰定理：内一点满足，则，属于中档题17AD【解析】【分析】直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论【详解】解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A正确；对于B：由于点为给定的的重心，故，故B错误；对于C：点为给定的的垂心，所以，因为重心为G，则有，所以，若，则点H为重心，与题意矛盾，因为故C错误；对于D：由于点在的平分线上，所以为单位向量，所以在的平分线上，所以存在实数使，故D正确故选：AD18AB【解析】【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.【详
15、解】对于选线A，如图作的中点，连接，由，得，即，结合三角形性质易知，同理，故的形状为等边三角形，故A正确；对于选项B，由，得，即，因此点M是边BC的中点，故B正确；对于选项C，如图当过点时， 由，得，则直线经过的中点，同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误；对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错.故选：AB.19【解析】【分析】由已知，结合向量数量积的运算律可得，作，则，即的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，由，得且，记，则，当与圆相切时，最小，即可求的最大值.【详解】将两边平方，得，如图，作，则，的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，再以
16、为圆心作单位圆，由，得且，当在圆上运动时，在圆上的轨迹是、，要使最大，记，则，当与圆相切时最小，此时，即，的最大值是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据向量的几何性质，作，的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，再以为圆心作单位圆，在圆上运动时，的在圆上轨迹是、，记，则，当与圆相切时最小，即此时的最大.20【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则做平行四边形，在直角三角形中即可求出的大小.【详解】设，则以为邻边作平行四边形，则，因为合力与的夹角为，即，又因为，的夹角是直角，所以，即，所以在中，.故答案为：.21【解析】【分析】以为原点，建立平面直角坐标系：设，则，利用平面向量的数量积
17、的坐标表示求出，再根据二次函数知识可求得结果.【详解】以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 则，设，则，其中，所以，所以，所以时，的最小值为.故答案为：22【解析】【分析】以方向为轴，垂直方向为轴，建立平面直角坐标系，设点，写出坐标表达式，并求得最大值，确定坐标，结合向量夹角公式即可求解【详解】以方向为轴，垂直方向为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：因为，OB2OA2，所以， 设，圆方程为 则，所以因为，当时，此时，且，所以，则 故答案为： 23【解析】【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，设，即可根据平面向量数量积的坐标表示求出，再根据三角函数的值域求法即可解出【详解】如图所示：以点为原
18、点建立平面直角坐标系，设，所以，而，所以，即故答案为：24证明见解析【解析】【分析】根据线段的几何关系有再两边平方，结合平面向量数量积的运算律可证结论.【详解】，()2()2()2()22，即|2|2|22|cos(180A)，.25证明见解析.【解析】【分析】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，依题意可求出点的坐标，再根据点A，P，D共线可得，由点B，P，C共线，可得，由点O，P，E共线，可得，即可解出，从而证出【详解】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.设，则.因为点C分为，所以因为点D为的中点，所以.因为点A，P，D共线，所以.又，所以.同理
19、由点B，P，C共线，可得，由点O，P，E共线，可得.解得.所以.26（1）拉力，支持力不做功，重力；（2）.【解析】【分析】（1）分析物体受力，按功的定义式求解每个力所做的功.（2）将（1）中的各值相加即可.【详解】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.拉力与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为；支持力与位移方向垂直，不做功，所以；重力对物体所做的功为.（2）物体所受各力对物体做功的代数和为.27(1)见详解(2)3(3)【解析】【分析】（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；（2）根据题意，用和表示， 结合，三点共线，即可求解；（3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.(1)证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.(2)因，所以，又因，所以，又因，三点共线，所以，即.(3)设，由（1）（2）可知，即.因，所以，又因是边长为的等边三角形，所以，令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.因此，又因，所以，所以.26原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
