1、第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用目标 1.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题.2.会根据实际问题合理分类或分步重点 会利用两个计数原理解决一些实际问题，如组数问题、涂色问题、选择性问题等难点 利用两个计数原理合理地进行分类和分步知识点两个计数原理的综合应用填一填1两个计数原理在解决计数问题中的方法用两个计数原理解决计数问题时最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析需要分类还是需要分步(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整”即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立
2、分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数2涂色问题的解决思路(1)位置分析法，按照图形中各区域顺序依次涂色，在涂色时要注意可按不相邻的部分同色与不同色进行分类(2)元素分析法，即从颜色个数入手进行分类3选取问题的关注点从已知的数字、号码、人员等选取需要的元素来解决实际问题是两个计数原理的常见应用解决问题时需要关注以下问题：(1)适用分类加法计数原理还是适用分步乘法计数原理(2)元素之间的关系对选取的影响及题目条件对所选取元素的限制答一答解决实际问题时，如何应用两个计数原理？提示：在解决实际问题时，并不一定是单一地应用分类加法计数原理或分步乘法计数
3、原理，有时可能同时用到两个计数原理，即分类时，每类的方法可能运用分步完成，而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想去求解，对于同一事件，我们可以做不同的处理，从而得到不同的解法(但总方法数相同)1两个原理的综合应用对于有些计数问题的解决，对它们既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用两个原理解决问题首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序2一些非常规计数问题的解决方法(1)枚举法将各种情况一一列举出来，它适用于计数种数较少时，分类计数时将问题分类，实际也是将分类种数一一列举出来(2
4、)间接法若计数时分类较多，或无法直接计数时，可用间接法先求出总数，再减去不可能的种数，即正难则反(3)转换法转换问题的角度或转换成其他已知的问题在实际应用中，应根据具体问题，灵活处理(4)模型法模型法就是通过构造图形，利用形象直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法模型法是解决计数问题的重要方法类型一计数问题【例1】用0,1,2,3,4这5个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)银行存折的四位密码？(2)四位数？【分析】(1)要组成无重复数字的四位密码，可以分四步选取数字，作四位密码的四个位置上的数字，且所取数字不能重复；(2)可以分四步选取数字，分别作为千位数字、百位数字、十位数字和个位数字，
5、且所取数字不能重复，与(1)不同之处是千位数字不能取0.【解】(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四步完成：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法由分步乘法计数原理，可组成不同的无重复数字的四位密码共有5432120(个)(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步完成：第一步：从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步：从剩余的四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的
6、选取方法；第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有443296(个)利用分步乘法计数原理的一般思路：首先将完成这件事的过程分步，然后找出每一步中的方法有多少种，求其积.注意各步之间的相互联系，都完成后，才能完成这件事.从0,1,2,3,4,5这六个数字中取四个数字组成一个没有重复数字的四位数，问：(1)能组成多少个四位数？(2)能被5整除的四位数有多少个？解析：(1)第1步，千位上的数不能取0，只能取1,2,3,4,5，有5种选择；第2步，因为千位取了
7、一个数，还剩下5个数供百位取，所以有5种选择；第3步，因为千位、百位分别取了一个数，还剩下4个数供十位取，所以有4种选择；第4步，因为千位、百位、十位分别取了一个数，还剩下3个数供个位取，所以有3种选择根据分步乘法计数原理，组成的四位数共有5543300(个)(2)因为满足要求的四位数能被5整除，所以个位上的数字只能是0或5.第1类，当个位上的数字为0时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有5种选择、4种选择、3种选择，所以有54360个满足要求的四位数；第2类，当个位数字为5时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有4种选择、4种选择、3种选择，所以有44348个满足要求的四位数根据分类加
8、法计数原理，能被5整除的四位数共有6048108(个)类型二选取问题【例2】已知在直线axbyc0中，a，b，c的值是集合3，2，1,0,1,2,3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求满足条件的直线的条数【分析】根据直线的斜率和倾斜角之间的关系，即一条直线的倾斜角(不包括倾斜角为直角的情况)的正切值等于这条直线的斜率，由斜率确定a与b的符号【解】设直线的倾斜角为，则tan(a，b0)，因为是锐角，所以tan0，所以a与b异号(1)当c0时，因为a与b异号，所以a有3种取法，b有3种取法，排除两个重复的(3x3y0,2x2y0和xy0为同一条直线)，故这样的直线有3327条(2)当c
9、0时，a有3种取法，b有3种取法，c有4种取法，其中任意两条直线都不相同，故这样的直线有33436条由分类加法计数原理可得符合条件的直线共有73643条本题根据c是否为0来进行分类，当c0时，注意排除重复的直线；当c0时，注意分步计算.满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(B)A14 B13C12 D10解析：a0时，方程变为2xb0，则b为1,0,1,2都有解；a0时，若方程ax22xb0有实数解，则224ab0，即ab1.当a1时，b可取1,0,1,2.当a1时，b可取1,0,1.当a2时，b可取1,0，故满足条件的有序对(a，b)的个
10、数为443213.类型三涂色问题【例3】一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n3，nN)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花(1)如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？(2)如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？【解】(1)如题图1，先对a1部分种植，有3种不同的种植方法，再对a2，a3种植因为a2，a3与a1不同颜色，a2，a3也不同，所以由分步乘法计数原理得3216(种)(2)如题图2，当a1，a3不同色时，有32116(种)种植方法，当a1，a3同色时
11、，有322112(种)种植方法，由分类加法计数原理，共有61218(种)种植方法 (1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，每一类再进行分步.(2)涂色问题往往涉及两计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，在兼顾条件的情况下分步涂色.有6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔则该板报有多少种书写方案？解：第一步选英语角用的彩色粉笔有6种不同的选法；第二步选语
12、文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角相同，有5种不同的选法；第三步，选理综世界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不相同，有4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只要与理综世界不同即可，有5种不同的选法由分步乘法计数原理知，共有6545600种不同的书写方案模型法解决计数问题模型法就是通过构造图形，如树形图、表格等，利用形象、直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法模型法是解决计数问题的重要方法【例4】三人传球，由甲开始发球，并作为第1次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有多少种？【思路分析】【解】如图甲甲第一个空与第四个空不能是甲，分三类讨论：(1)若第二个空
13、是甲，则第一个空有2种选择方式，第三个空有2种选择方式，第四个空仅有1种选择方式，所以有224种方式；(2)若第三个空是甲，同上，有224种方式；(3)若第二个、第三个空都不是甲，则仅有如下两种传球方式：甲乙丙乙丙甲；甲丙乙丙乙甲所以共有44210种方式【解后反思】在这里以“”来构造模型，从而使看不见摸不着的动态传球问题变得形象直观起来甲、乙、丙、丁四人各写一张贺年卡，放在一起，然后每人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？解：设甲、乙、丙、丁写出的4张贺年卡分别为1,2,3,4号，则将取不是自己写的贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：方法编号法1法2法3法4法5法6法7法8法9甲
14、222333444乙134144133丙441412212丁313221321故共有9种方法1某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为(A)A8 B15C18 D30解析：共有538种不同的选法2某市电话号码由7位数组成，其中前4位是固定不变的，后3位数字是由0到9之间的任意数字组成(数字可以重复)，则该市最多有_个不同的电话号码(A)A101010 B1098C999 D9873某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任班长，其中至少有1名女生当选的选法种数是15.解
15、析：至少有1名女生当选，所以有两种可能：(1)只有1名女生担任班长，有4312种选法(2)有2名女生担任班长，有3种选法故至少有1名女生当选的选法为12315种4若在登录某网站时弹出一个4位的验证码：(如2a8t)，第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个，第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码共有67_600个解析：要完成这件事可分四步：第一步，确定验证码的第一位，共有10种方法；第二步，确定验证码的第二位，共有26种方法；第三步，确定验证码的第三位，共有10种方法；第四步，确定验证码的第四位，共有26种方法由分步乘法计数原理可得，这样的验证码共有1026102667 600个5从0,1,2,3中选择三个数字组成无重复数字的三位偶数，满足条件的数字有多少个？解：第1类：末位为0.第1步，排末位，有1种方法；第2步，排首位，从1,2,3中选1个，有3种方法；第3步，排十位，有2种方法所以，此类方法中有1326个数字第2类：末位为2.第1步，排末位，有1种方法；第2步，排首位，从1,3中选1个，有2种方法；第3步，排十位，有2种方法所以，此类方法中有1224个数字所以一共有6410个满足条件的不同数字
