1、1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计一、教材分析1.教材版本人民教育出版社B版高中数学教材必修42.作用地位本节内容为第一章的第一节的第二小节。在第一节中，学生已经学习了任意角的概念，并能用角度制表示任意角，本节课通过弧度制的引入，进一步加深对任意角的理解和应用，为后续研究任意角的三角函数，做好知识准备，打下基础。3.课时1课时二、教学目标1.知识与技能了解弧度制的概念，能够进行弧度制和角度制的互化。认识弧长公式和扇形面积公式，并会进行简单的应用。2.过程与方法了解弧度制引入的必要性，及弧度制和角度制的区别与联系。了解角的集合与实数集合建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析
2、问题，解决问题。通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力。3.情感、态度与价值观使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一，进一步加强学生对辩证统一思想的理解。三、重点与难点1.教学重点了解弧度制，并能进行弧度与角度互化2.教学难点 弧度的概念的理解，以及其与角度的关系四、教法与学法本节课的教学对象是高中一年级的学生，经过高中一段时间对数学的学习，学生已经逐步适应了高中数学的教学氛围，学生已经具备了观察、分析，逐步抽象概括的能力。所以，在教法上教师以启发为主，通过问题导入，引发学生思考，从具体现象中进行归纳总结，再现概念，通过
3、练习理解概念。五、教学环境多媒体教学，应用PowerPoint，几何画板软件。六、教学过程（一）新课导入1、复习角度制的相关概念【教师提问学生，复习任意角的概念、角的分类】上节课我们重新认识了角的概念，知道角是由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的平面图形.根据角终边的旋转方向，任意角分为正角、负角、零角.正角对应一个正的角度数，负角对应一个负的角度数，零角对应0.角的大小都是用角度来表示的.【设计意图：复习上节课内容，为本节课新知的展开巩固基础知识，同时承上启下，建立知识的关联点】【教师提问学生：1的角是如何定义的呢？】那么，1是如何定义的呢？圆周的就是1，1=1，1=1，
4、这就是用角度制表示角的大小，其优点是：直观、形象，缺点是：六十进制不便于计算.那么，我们能否寻找一种更便利的度量角的大小的量吗？【设计意图：通过问题导入，由已知知识引出未知知识的思考】2、直观感受，引出课题【教师通过几何画板软件，动态展示角的变化与弧长的关系】如图，在圆O中，角的大小在变化时，除了AOB在变化外，圆弧的长度也在变化.在不考虑旋转方向的条件下，我们发现，角度越大，所对应弧的长度就越长.那么能否利用弧的长度来表示角的大小呢？这就是我们今天将要研究的弧度制.【设计意图：通过几何画板的动态展示，学生直观感受利用弧长度量角的大小必要性.】（二）新知探究弧度制1、弧度制的定义【教师利用几何
5、画板，动态展示弧长与半径的关系，引导学生利用已有知识，进行理论推证，引出弧长的定义.】在同一个圆O中，角的大小与角所对应弧的长度成正比.在一组同心圆中，同一个圆心角所对的弧长不同，但是这些弧长与它所在圆的半径的比值是一个定值.【几何画板动态演示】事实上，设，弧AB的长度为，半径为r，则，即：这个等式的右端不包括半径，这表示弧长与半径的比值与半径无关，只与角的大小有关.这就启示我们，可以用圆的半径作单位去度量弧长.【设计意图：通过几何画板的动态展示和计算功能，让学生直观感受弧长变化与角的大小的关系，并通过初中所学的弧长公式进行理论证明.让学生多角度的理解弧长表示角度大小定义建立的缘由.】【教师板
6、书弧度的定义，并结合具体事例，对概念进行进一步的理解】我们规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作：1 rad ，读作：1弧度.比如，在圆O中，若不考虑旋转方向，当圆弧的长度，则；当圆弧的长度，则.在这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.注：（1）在半径为的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角为，则；特殊地，在单位圆中，圆心角的弧度数，就等于弧长.（2）在考虑角的终边的旋转方向时，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.【设计意图：通过具体实例，加深学生对于弧度的理解】2、弧度制与角度制的互化【教师提问学生，由特殊到一般，引导学生在巩固弧度概念的基础上，
7、推导角度制与弧度制转换公式.】现在对于同一个角，我们既可以用角度制来表示角，也可以用弧度制来表示.那么两者之间能够相互转化吗？360是多少弧度？180呢？90呢？1呢？由于在半径为r的圆中，360角所对的弧长，于是该角的弧度数是，即：；由于在半径为r的圆中，180角所对的弧长，于是该角的弧度数是，即：；同理：.所以，.由此，我们可以得到如下的弧度制与角度制的换算公式：设一个角的角度数为，弧度数为，则，.【设计意图：由特殊到一般，让学生自己推导出，弧度制与角度制的换算公式】（三）新知巩固弧度制与角度制的互化【教师板演，提问学生，讲解弧度制与角度制的互化.】例1、把下列各角化为角度或者弧度.（1）
8、；（2）；（3）；（4）解：（1）（2）（3）（4）【设计意图：应用弧度制与角度制的换算公式，让学生初步感受两者之间的换算.】【学生自己练习，体会弧度制与角度制的互化】练习1：把下列各角化为角度或者弧度.（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）（2）（3）（4）【学生分组完成，巩固角度制化为弧度制】练习2：把下列角转化为弧度制.（1）； （2）；（3）； （4）解：角度弧度角度弧度【设计意图：此练习中都是一些特殊角的弧度数，让学生自己转化，并寻找规律，为后续计算特殊角的三角函数值打下基础】（四）新知探究弧长公式与扇形面积【教师引导学生分析，弧长公式和面积公式的推导，并进行应用】已知圆的半径为，
9、圆心角的弧度数为，圆弧所对弧长，则由弧度的定义可知，.那么，扇形的面积是多少？分析：弧长公式：，扇形面积公式：，其中圆的半径为，圆心角的弧度数为.【设计意图：理解弧长公式和扇形面积公式的推导，并能进行简单应用】（五）新知巩固弧长公式与扇形面积的简单应用【学生自己练习，熟悉公式，巩固弧长公式和扇形公式的基本应用应用】练习3：（1）扇形的圆心角为，所在圆的半径为3，则圆弧的长度为多少？扇形的面积为多少？（2）已知扇形的弧长为10，所在圆的半径为5，则圆心角多大？扇形的面积为多少？思考：弦的长度为多少？解：（1）因为，所以，解：（2），思考：在中，角，则过点作，交于点.由于是等腰三角形，则，于是在中
10、，.所以，.【设计意图：让学生进一步理解弧度制表示的角，并能利用弧度制表示的角解决一些简单的解三角形问题】（六）新知总结1.弧度制的概念弧度单位可以省略不写，所以任意角就可以用一个实数来表示，即角的集合可以与实数集建立一一对应关系，于是任意角。2.弧度制与角度制的互化：特殊角的弧度数角度弧度角度弧度3.弧长公式、扇形面积公式弧长公式：，扇形面积公式：注：扇形面积公式类比三角形面积公式记忆。（七）作业布置课本A组3，5；B组4，5（八）板书设计1.1.2弧度制和弧度制和角度制的互化1.弧度制长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作：1 rad ，读作：1弧度.注：（1），当时，（2）正数、负数、零（3）弧度单位可以省略，则2.换算公式：3.弧长扇形面积公式，例1：解：练习2：练习3：
