1、04第四章定积分1定积分的概念1.1定积分的背景面积和路程问题1.函数f(x)=x2在区间i-1n,in上()A.f(x)的值变化很小B.f(x)的值变化很大C.f(x)的值不变化D.当n很大时,f(x)的值变化很小答案:D2.由直线x=1,y=0,x=0和曲线y=4x3所围成的曲边梯形,若将区间4等分,则该曲边梯形面积的过剩估计值是()A.258B.2564C.25128D.2516解析:将区间0,14等分,得到4个小区间0,14,14,12,12,34,34,1,以每个小区间右端点的函数值为高,4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的过剩估计值,即为1434+1234+3434+13414=25
2、16.答案:D3.求由直线x=1,x=2,y=0和曲线f(x)=1x围成的图形的面积时,如果将给定区间n等分,且以每个小区间右端点对应的函数值为高作矩形,那么第i个小矩形的面积等于_.解析:将区间1,2进行n等分,每个小区间的长度为1n,第i个小区间为1+i-1n,1+in,于是第i个小矩形的面积为f1+inx=11+in1n=1n+i.答案:1n+i4.已知某物体运动的速度为v=t,t0,10,若把该区间10等分,以每个小区间右端点处的函数值为高作小矩形,则该物体在这段时间内运动的路程的过剩估计值为.解析:每个区间的长度为1,第i个小区间为i-1,i(i=1,2,10),于是第i个小矩形的面
3、积为i1=i,故物体运动的路程的过剩估计值为i=110i=1+2+10=55.答案:555.某物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)=5t(t的单位:h,v的单位:km/h),估计该物体在区间2,8这段时间内运动的路程时,若把区间6等分,则不足估计值为km.解析:以小区间左端点时的速度作为小区间的速度,可得不足估计值为(52+53+54+55+56+57)1=135(km).答案:1356.已知由直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2+1所围成的曲边梯形,求该曲边梯形面积的过剩估计值、不足估计值及估计值的误差.(将区间0,25等分)解:将区间0,25等分,得到5个小区间分别为0,25,2
4、5,45,45,65,65,85,85,2,以小区间右端点对应的函数值为高,得曲边梯形面积的过剩估计值为S1=252+1+452+1+652+1+852+1+22+125=5.52.相应地,可得不足估计值为s1=1+252+1+452+1+652+1+852+125=3.92,估计值的误差为S1-s1=5.52-3.92=1.6.7.已知变力F与位移s的关系为F(s)=4s+3,估计力F在2,5这段位移内所做的功.(将区间2,56等分)解:将区间2,56等分,得到6个小区间分别为2,52,52,3,3,72,72,4,4,92,92,5.则力F所做功的过剩估计值为W1=12452+3+72+4
5、+92+5+18=54,不足估计值为w1=1242+52+3+72+4+92+18=48,误差为54-48=6.所以无论用W1还是用w1来估计变力F在这段位移内所做的功,误差都不会超过6.8.已知汽车在某一段时间内的速度函数为v(t)=16-2t,0t5,试估计该汽车在这段时间内走过的路程.(将区间0,510等分)解:将区间0,510等分,则汽车行驶路程的不足估计值为s1=0.5160-212+1+32+2+52+3+72+4+92+5=80-552=1052,过剩估计值为S1=0.5160-20+12+1+32+2+52+3+72+4+92=80-452=1152,估计值的误差为1152-1052=5.所以无论用S1还是用s1来估计汽车在这段时间内走过的路程,误差都不会超过5.
