1、广东省佛山市三水区实验中学2015届高考数学八模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z与2+3i互为共轭复数，则复数z的模|z|=（）AB5C7D132（5分）设集合A=x|y=lg（x1），B=y|y=2x，xR，则AB=（）ABRC（1，+）D（0，+）3（5分）已知等边三角形ABC的边长为a，则=（）ABCD4（5分）某一考场有64个试室，试室编号为001064，现根据试室号，采用系统抽样法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005，021试室号，则下列可能被抽到的试室号是（）A029，051B0
2、36，052C037，053D045，0545（5分）已知ab0，则下列不等关系式中正确的是（）AsinasinbBlog2alog2bCabD（）a（）b6（5分）已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（）ABCD7（5分）动圆M经过双曲线x2=1的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是（）Ay2=8xBy2=8xCy2=4xDy2=4x8（5分）对于非空集合A，B，定义运算：AB=x|xAB，且xAB，已知M=x|axb，N=x|cxd，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，abcd0，则MN=（）A（a，d）（b，c）B（c，ab，d）
3、C（c，a）（d，b）D（a，cd，b）二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9（5分）不等式的解集为10（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S3=6，S4=12，则S7=11（5分）|x1|dx=12（5分）二项展开式中，含x项的系数为（用数字作答）13（5分）某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师最多是名（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）已知直线l1：（t为参数），l2：（s为参数），若l1l2，则实数k=【几何证明选讲选做题】15如图，在
4、半圆O中，C是圆O上一点，直径ABCD，垂足为D，DEBC，垂足为E，若AB=6，AD=1，则CEBC=三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的单调增区间（2）若，且，求sin的值17（12分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人听觉视觉视觉记忆能力偏低中等偏高超常听觉记忆能力偏低0751中等183b偏高2a01超常0211由于部分数据丢失，只知道从这4
5、0位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为（1）试确定a、b的值；（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的数学期望E18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（1）求证：平面PQB平面PAD；（2）若二面角MBQC为30，设PM=tMC，试确定t的值19（14分
6、）已知数列an中，a1=1，an+1=1，数列bn满足bn=（nN*）（1）求数列bn的通项公式；（2）证明：+720（14分）已知动圆C过定点（1，0）且与直线x=1相切（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）设过定点M （4，0）的直线与圆心C的轨迹有两个交点A，B，坐标原点为O，设xOA=，xOB=，试探究+是否为定值，若是定值，求定值，若不是定值，说明理由21（14分）已知函数f（x）=x2ax3（a0），xR（）求f（x）的单调区间和极值；（）若对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，求a的取值范围广东省佛山市三水区实验中学2015届高考数学八模试卷
7、（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z与2+3i互为共轭复数，则复数z的模|z|=（）AB5C7D13考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：利用共轭复数的定义、模的计算公式即可得出解答：解：复数z与2+3i互为共轭复数，z=23i，|z|=故选：A点评：本题考查了共轭复数的定义、模的计算公式，属于基础题2（5分）设集合A=x|y=lg（x1），B=y|y=2x，xR，则AB=（）ABRC（1，+）D（0，+）考点：并集及其运算 专题：集合分析：求出集合A，B，根据并集运算进行求解解答
8、：解：A=x|y=lg（x1）=x|x1，B=y|y=2x，xR=y|y0，则AB=x|x0，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础3（5分）已知等边三角形ABC的边长为a，则=（）ABCD考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由题意得到向量的夹角，代入数量积公式得答案解答：解：由题意可得=，又，=a=，故选：A点评：本题考查平面向量的数量积运算，关键是注意向量的方向，是基础题4（5分）某一考场有64个试室，试室编号为001064，现根据试室号，采用系统抽样法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005，021试室号，则下列可能被抽到的试室号是（）A029，051B0
9、36，052C037，053D045，054考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：根据系统抽样的定义确定样本间隔进行求解即可解答：解：样本间隔为648=8，21=5+28，样本第一个编号为005，则抽取的样本为：05，13，21，29，37，45，53，61，可能被抽到的试室号是037，053，故选：C点评：本题主要考查系统抽样的应用，确定样本间隔是解决本题的关键5（5分）已知ab0，则下列不等关系式中正确的是（）AsinasinbBlog2alog2bCabD（）a（）b考点：不等关系与不等式 专题：不等式的解法及应用分析：由函数的单调性，逐个选项验证可得解答：解：选项A错误，比如取a=
10、，b=，显然满足ab0，但不满足sinasinb；选项B错误，由函数y=log2x在（0，+）上单调递增可得log2alog2b；选项C错误，由函数y=在0，+）上单调递增可得；选项D正确，由函数y=在R上单调递间可得（）a（）b；故选：D点评：本题考查不等关系与不等式，涉及常用函数的单调性，属基础题6（5分）已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（）ABCD考点：简单空间图形的三视图 专题：综合题分析：由三视图的正视图和侧视图分析，几何体上部、中部、下部的形状，判断，可得出选项解答：解：由三视图的正视图和侧视图分析，几何体上部、中部、下部的形状，只
11、能是圆柱、和四棱柱，或三棱柱，因而不正确故选D点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题7（5分）动圆M经过双曲线x2=1的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是（）Ay2=8xBy2=8xCy2=4xDy2=4x考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的左焦点（2，0），设M（x，y），动圆的半径为r，运用直线和圆相切的条件d=r，以及圆的半径的定义，列出方程，化简即可得到M的轨迹方程解答：解：双曲线x2=1的左焦点为（2，0），设M（x，y），动圆的半径为r，由动圆M与直线x=2相切，可得|x2|=r，又动圆M经
12、过双曲线的左焦点，则=r，即有=|x2|，两边平方，化简可得y2=8x故选B点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查轨迹方程的求法：直接法，运用直线和圆相切的条件和圆的定义是解题的关键，考查化简的运算能力，属于基础题8（5分）对于非空集合A，B，定义运算：AB=x|xAB，且xAB，已知M=x|axb，N=x|cxd，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，abcd0，则MN=（）A（a，d）（b，c）B（c，ab，d）C（c，a）（d，b）D（a，cd，b）考点：子集与交集、并集运算的转换 专题：新定义；函数的性质及应用分析：本题可先由知M=x|axb，N=x|cxd，其中a、b、c、d满足
13、a+b=c+d，abcd0，得到a，b，0，c，d的大小关系，再由新定义MN的意义即可求出解答：解：由已知M=x|axb，ab，又ab0，a0b，同理可得c0d，由abcd0，c0，b0，又a+b=c+d，ac=db，又c0，b0，db0，因此，ac0，ac0db，MN=N，MN=x|axc，或dxb=（a，cd，b）故选D点评：本题综合考查了新定义、不等式的性质、集合的子集与交集并集的转换，充分理解以上概念及运算法则是解决问题的关键二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9（5分）不等式的解集为（0，1）考点：其他不等式的解法 专题：不等式
14、的解法及应用分析：直接利用分式不等式的解法求解即可解答：解：不等式，化为：，解得x（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查不等式的解法，基本知识的考查10（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S3=6，S4=12，则S7=42考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得a4的值，由求和公式和性质可得S7=7a4，代值计算可得解答：解：S3=6，S4=12，a4=S4S3=126=6，S7=7a4=42故答案为：42点评：本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题11（5分）|x1|dx=1考点：定积分 专题：计算题分析：将：02|x1|dx转化成01（1
15、x）dx+12（x1）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可解答：解：02|x1|dx=01（1x）dx+12（x1）dx=（xx2）|01+（ x2x）|12=1故答案为：1点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题12（5分）二项展开式中，含x项的系数为80（用数字作答）考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得含x项的系数解答：解：二项展开式中，通项公式为Tr+1=（x2）r=（1）r25rx3r5，令3r5=1，求得r=2，可得含x项的系数为8
16、=80，故答案为：80点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题13（5分）某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师最多是10名考点：简单线性规划的应用 专题：数形结合分析：由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件 ，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大解答：解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件 ，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+yy=x+z 则题意转化为，在可行
17、域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值1，截距最大时的直线为过 （5，5）时使得目标函数取得最大值为：z=10故答案为：10点评：此题考查了线性规划的应用，还考查了学生的数形结合的求解问题的思想（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）已知直线l1：（t为参数），l2：（s为参数），若l1l2，则实数k=1考点：参数方程化成普通方程 专题：选作题；坐标系和参数方程分析：将直线l1与直线l2化为一般直线方程，然后再根据垂直关系求解即可解答：解：直线l1：（t为参数）y2=（x1），直线l2：（s为参数）2x+y=1，两直线垂直，（2）=
18、1，得k=1故答案为：1点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解【几何证明选讲选做题】15如图，在半圆O中，C是圆O上一点，直径ABCD，垂足为D，DEBC，垂足为E，若AB=6，AD=1，则CEBC=5考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆；推理和证明分析：由已知条件利用垂直径定理和相交弦定理得CD2=ADBD，从而得CD=，=，由DEBC，利用等积法能求出DE=，由勾股定理得CE=，由此能求出CEBC解答：解：C是圆O上一点，直径ABCD，垂足为D，AB=6，AD=1，CD2=ADBD=1（61）=5，解得CD=，=，DEBC，垂
19、足为E，解得DE=，CE=，CEBC=5故答案为：5点评：本题考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意垂径定理和相交弦定理的合理运用三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的单调增区间（2）若，且，求sin的值考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据三角函数的单调性即可求f（x）的单调增区间（2）根据两角和差的正弦公式进行求解即可得到结论解答：解：（1）由2k2x+2k+，kZ，得kxk+，kZ，即f（x）的单调增区间为k，k+，kZ（2）若，则sin（
20、+）=，若，则+（，），即cos（+）=，则sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=（）=点评：本题主要考查三角函数单调区间的求解以及三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键17（12分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人听觉视觉视觉记忆能力偏低中等偏高超常听觉记忆能力偏低0751中等183b偏高2a01超常0211由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆
21、能力为中等或中等以上的概率为（1）试确定a、b的值；（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的数学期望E考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题分析：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，事件A的概率即为，由此建立方程即可求出a，b（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少
22、有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率，方法一：可分为三类求其概率，分别为有一，二、三位能力超常的人；求出三类中所胡可能的情况；方法二：转化为求其对立事件的概率，易求（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率列出分布列，利用公式求出期望即可解答：解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，则，解得a=6所以b=40（32+a）=4038=2答：a的值为6，b的值为2（2）
23、由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，所以答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B，所以答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为（3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C403，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意
24、抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C24kC163k，所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为，（k=0，1，2，3）（8分）的可能取值为0，1，2，3，因为，所以的分布列为0123P所以E=0+1+2+3=答：随机变量的数学期望为点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，求解问题的关键是正确理解题意以及熟练掌握求概率的方法，本题二中提供了两种方法求概率，对比发现求对立事件的概率较易求概率时灵活选择求概率的角度可以简化运算，本题运算量较大，易马虎导致错误，以至于解题失败，做题时要严谨、认真，算好每一步避免
25、一步错步步错18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（1）求证：平面PQB平面PAD；（2）若二面角MBQC为30，设PM=tMC，试确定t的值考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题 专题：综合题分析：（）法一：由ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CDBQ由ADC=90，知QBAD由平面PAD平面ABCD，知BQ平面PAD由此能够证明平面PQB平面PAD法二：由ADBC，
26、BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CDBQ由ADC=90，知AQB=90由PA=PD，知PQAD，故AD平面PBQ由此证明平面PQB平面PAD（）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQAD由平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，知PQ平面ABCD以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3解答：解：（）证法一：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQADC=90AQB=90，即QBAD又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，BQ平面PADBQ平面PQB，平面PQB平面PAD （9分）证法二：
27、ADBC， BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQADC=90AQB=90PA=PD，PQADPQBQ=Q，AD平面PBQAD平面PAD，平面PQB平面PAD（9分）（）PA=PD，Q为AD的中点，PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PQ平面ABCD如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），设M（x，y，z），则，（12分）在平面MBQ中，平面MBQ法向量为（13分）二面角MBQC为30，t=3（15分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值综合性强，难度大，是2015届高考的重点解题时要认真审题
28、，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题19（14分）已知数列an中，a1=1，an+1=1，数列bn满足bn=（nN*）（1）求数列bn的通项公式；（2）证明：+7考点：数列与不等式的综合；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得an+1+1=2=，从而得到数列bn是首项为，公差为的等差数列，由此能求出bn=（2）当n=1和n=2时，验证不等式成立，当n3时，=4（），由此裂项求和法能证明+7解答：（1）解：数列an中，a1=1，an+1=1，an+1+1=2=，（2分）又由bn=，则=，（6分）又，所以数列bn是首项为，公差为的等差数列，bn=（8分）（
29、2）当n=1时，左边=，不等式成立；（9分）当n=2时，左边=4+1=57，不等式成立； （10分）当n3时，=4（），左边=+4+1+4（）=5+4（）=77不等式成立，+7（14分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用20（14分）已知动圆C过定点（1，0）且与直线x=1相切（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）设过定点M （4，0）的直线与圆心C的轨迹有两个交点A，B，坐标原点为O，设xOA=，xOB=，试探究+是否为定值，若是定值，求定值，若不是定值，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 专题：直线与圆；圆锥曲线的定
30、义、性质与方程分析：（1）设圆的圆心为（x，y），运用两点的距离和直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，即可得到轨迹方程；（2）设过定点M（4，0）的直线l的方程为x=my4，代入抛物线方程可得，y24my+16=0，设A（，y1），B（，y2），运用韦达定理和直线的斜率公式，计算即可得到定值解答：解：（1）设圆的圆心为（x，y），由动圆C过定点（1，0）且与直线x=1相切，可得=|x+1|，化简可得y2=4x；（2）设过定点M（4，0）的直线l的方程为x=my4，代入抛物线方程可得，y24my+16=0，设A（，y1），B（，y2），则y1+y2=4m，y1y2=16，由题意当m0，可得OA
31、的斜率为k1=tan=，OA的斜率为k2=tan=，即有tantan=1，则+=90；当m0时，同样有tantan=1，则+=90故+为定值，且为90点评：本题考查轨迹方程的求法，同时考查直线和圆相切的条件，以及抛物线的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算求解能力，属于中档题21（14分）已知函数f（x）=x2ax3（a0），xR（）求f（x）的单调区间和极值；（）若对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，求a的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（）求导数
32、，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（）由f（0）=f（）=0及（）知，当x（0，）时，f（x）0；当x（，+）时，f（x）0设集合A=f（x）|x（2，+），集合B=|x（1，+），f（x）0，则对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，等价于AB，分类讨论，即可求a的取值范围解答：解：（）f（x）=2x2ax2=2x（1ax），令f（x）=0，解得x=0或x=当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，0）0（0，）（，+）f（x）0+0f（x）递减0递增递减所以，f（x）的单调递减区间为：（，0）和，单调递增区间为，
33、当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（）由f（0）=f（）=0及（）知，当x（0，）时，f（x）0；当x（，+）时，f（x）0设集合A=f（x）|x（2，+），集合B=|x（1，+），f（x）0，则对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，等价于AB，显然A下面分三种情况讨论：当2，即0a时，由f（）=0可知，0A，而0B，A不是B的子集；当12，即时，f（2）0，且f（x）在（2，+）上单调递减，故A=（，f（2），A（，0）；由f（1）0，有f（x）在（1，+）上的取值范围包含（，0），即（，0）B，AB；当1，即a时，有f（1）0，且f（x）在（1，+）上单调递减，故B=（，0），A=（，f（2），A不是B的子集综上，a的取值范围是点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论
