1、第一章 第3节一元二次方程根与系数的关系专项练习六六、根与系数关系综合题2：1已知关于x的一元二次方程k（4k+1）x+3k+3=0（1）试说明：无论k取何值，方程总有两个实数根；（2）若ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5当ABC是等腰三角形时，求k的值2已知：关于x的一元二次方程 x2（m22）xm21=0（m0）（1）证明：方程有两个不相等的实数根 （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，（其中x12; (2)17试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得试题解析：解：（
2、1）由题意得=4（m+1）24（m2+5）=8m160，解得：m2；（2）由题意，x1x2时，只能取x1=7或x2=7，即7是方程的一个根，将x=7代入得：4914（m+1）+m2+5=0，解得：m=4或m=10当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为178（1）nx2mx10；（2）47或2；（3）c的最小值为4.试题分析：(1) 设x2mxn0 (n0)的两根为x1、x2，根据根与系数的关系可得x1x2m，x1x2n，将以上两式变形可得 和，即可求出答案(2)根据a、b满足a215a
3、5=0，b215b5=0，得出a，b是x215x5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求结果；(3)根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2-40，即可求出c的最小值.解：(1)设x2mxn0 (n0)的两根为x1、x2.x1x2m，x1x2n.，.所求一元二次方程为x2x0，即nx2mx10. (2)当ab时，由题意知a、b是一元二次方程x215x50的两根，ab15，ab5.47.当ab时，112.综上，47或2.(3)abc0，abc16，abc，ab.a、b是方程x2cx0的两根，c20.c0，c364，c4，c的最小值为
4、4.点拨：本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法本题的运算过程有点复杂，难度也较大，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键.9（1）证明见解析；（2）5.试题分析:（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可试题解析：（1）关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=0=（2m+1）2-4m（m+1）=10，方程总有两个不相等的实数根；（2）x=0是此方程的一个根，把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，m=0或m=-1，
5、（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=31-3+5=510(1) k;(2)-2.试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=4k+50，解之即可得出实数k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=12k、x1x2=k21，将其代入x12+x22=（x1+x2）22x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值试题解析：（1）关于x的方程x2+（2k1）x+k21=0有两个实数根x1，x2，=（2k1）2
6、4（k21）=4k+50，解得：k，实数k的取值范围为k（2）关于x的方程x2+（2k1）x+k21=0有两个实数根x1，x2，x1+x2=12k，x1x2=k21x12+x22=（x1+x2）22x1x2=16+x1x2，（12k）22（k21）=16+（k21），即k24k12=0，解得：k=2或k=6（不符合题意，舍去）实数k的值为211（1）n=-2m-5；（2）有两个不相等的实数根，理由略试题分析：（1）把x=2代入方程，然后化简得到的等式即可；（2）根据条件证明方程判别式大于0即可试题解析：（1）把x=2代入方程得：4+2m+n+1=0,2m+n+5=0,n=-2m-5,（2）+4
7、40,方程y2 +my+n=0总有两个不相等的实数根12ABC为直角三角形试题分析：由方程有两个相等的实数根，可得4b24（a+c）（ac）=0，然后整理可得到b2+c2=a2，从而ABC为直角三角形解：方程有两个相等的实数根，b24ac=0，即4b24（a+c）（ac）=0，b2+c2=a2，ABC为直角三角形点拨:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围（2）将x=2代入方程，得到关于k的方程，求出即可，试题解析：（1）由题意得=
8、2（k3）24（k24k1）0化简得2k+100，解得k5（2）将2代入方程，整理得k28k+15=0，解这个方程得k1=3，k2=5又k5k=315(1)证明详见解析；(2)5或-1.试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出0，此题得证；（2）根据根与系数的关系即可得出+=a，=a2，结合=即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值试题解析：（1）在方程+ax+a2=0中，=4（a2）=+4，0，0，故不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）方程+ax+a2=0的两个实数根分别为，+=a，=a2，=，=13，即4（a2）=13，整理得：=9，解得：=5，=1，所以a的值为5或-1.
