1、第二讲 函数性质复习一、复习要求理解函数及反函数的有关概念，理解函数的单调性、奇偶性和周期性的概念，并能判断函数的单调性和奇偶性，能求一些简单的抽象函数的周期，能利用函数的奇偶性及周期性描绘出函数的图象，能根据函数的图象研究函数的性质。二、学习指导1、函数的概念：（1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：AB，f表示对应法则，b=f(a)。（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x)|xA为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定
2、了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径
3、为函数与方程的思想，表现为法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。2、函数的通性（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义的变形，如，（f(x)0）。奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判
4、断函数单调性的方法：定义法，即比差法；图象法；单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；复合函数单调性判断法则。函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。求周期的重要方法：定义法；公式法；图象法；利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，ab，则T=2|a-b|。（4）反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具备反
5、函数，函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。设函数f(x)定义域为A，值域为C，则 f-1f(x)=x，xA ， ff-1(x)=x，xC3、函数的图象函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。图象作法：描点法；图象变换。应掌握常见的图象变换。4、常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数
6、模型。对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。三、典型例题例1（1）与函数y=x有相同图象的一个函数是 （ ）A、 B、 C、 D、（2）已知函数y= f(x)是偶函数，y= f(x-2)在0，2上是单调减函数，则下列关系式成立的是（ ）A、f(0) f(-1) f(2) B、f(-1) f(0) f(2) C、f(-1) f(2) f(0) D、f(2) f
7、(-1)1，f(x)=k(x-1)(xR) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( B )(A)3 (B) (C) (D)（4）已知定义在R上的函数y= f(x)满足下列三个条件：对于任意的xR，都有f(x+4)= f(x)对于任意的0x1x22，都有f(x1) f(x2)y=f(x+2)的图象关于y轴对称，则下列结论中，正确的是 （ ）A、f(4.5) f(6.5) f(7) B、f(4.5) f(7) f(6.5) C、f(7) f(4.
8、5) f(6.5) D、f(7) f(6.5) f(4.5)例2设f(x)是定义在（-，+）上的函数，对一切xR均有f(x)+f(x+2)=0，当-1x1时，f(x)=2x-1，求当1bc B、acb C、bca D、cba2、函数的反函数的解析表达式为 （ ）A B C D3、的单调减区间是 （ ）A、（-，1） B、（1，+） C、（-，-1）（1，+） D、（-，+）4、若函数、三、四象限，则一定有 （ ） ABC D5、设，函数g(x)= f -1(x+1)的图象与h(x)的图象关于直线y=x对称，则h(3)的值为 （ ）A、 B、5 C、 D、3*6、设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（ ）A、 B、 C、 D、 7、函数y=log2|ax-1|（ab）的图象的对称轴是直线x=2，则a等于 （ ）A、 B、 C、2 D、-28、已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且当0x1时，f(x)=x，则=_。9、函数f(x)定义域为1，3，则f(x2+1)的定义域是_。10、已知为常数，若，则=_。11、若(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=m(x)+ng(x)+2在（0，+）上有最大值3，则f(x)在（-，0）上最小值为_。 12、设f(x)=，xR（1）证明：对任意实数a，f(x)在（-，+）上是增函数；（2）当f(x)为奇函数时，求a；
