1、上海市浦东新区建平中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)一、填空题(共12小题).1不等式0的解集为 2 3设m是常数,若点F(0,5)是双曲线的一个焦点,则m 4直线3x+2y+50的一个法向量为(a,a2),则实数a 5已知eixcosx+isinx,则e2022i对应的点位于复平面的第 象限6空间一线段AB,若其主视图、左视图、俯视图的长度均为,则线段AB的长度为 7若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则其母线与轴所成角的大小是 8若直线mx+2ny40(m,nR)始终平分圆x2+y24x2y0的周长,则mn的取值范围是 9已知(x+)n展开式中的常数项是第五项,则系数
2、最大项为第 项10从7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张(数字6的卡片可以倒过来9用),可以组成 个无重复数字的被4整除的四位数11已知集合U1,2,3,4,5,集合X1、X2、Xn为集合U的所有子集,从这些子集中任取两个不同的集合Xi、Xj,则XiXj中恰有三个元素的概率为 12若不等式2sin2B9sinBsinC+sinAsinC0对于任意ABC恒成立,则|的最小值为 二、选择题13“x1”是“1”的()条件A充分不必要B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要14空间中有四点A,B,C,D,其中(2m,m,2),(m,m+1,5),且+(5,3),则直线AB和CD()A
3、平行B异面C必定相交D必定垂直15一段时间内没有大规模集体流感的标志为“连续10天,每天新增病例不超过7人”,根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据,一定符合该标志的是()A甲地:总体均值为3,中位数为4B乙地:总体均值为1,总体方差大于0C丙地:中位数为2,众数为3D丁地:总体均值为2,总体方差为316双曲线y21绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象,关于此函数f(x)有如下四个命题,其中真命题的个数为()f(x)是奇函数;f(x)的图象过点(,)或(,);f(x)的值域是(,+);函数yf(x)x有两个零点A4个B3个C2个D1个三、解答题17已知四棱锥PABCD,底面
4、为正方形ABCD,边长为4,E、F分别为AB、CD的中点,PE平面ABCD,若PF与平面ABCD所成角为45(1)求四棱锥PABCD的体积;(2)求二面角PBCD的大小18已知函数f(x)sinx+cosx(1)当f()0,且|1,求的值;(2)在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,a,b+c3,当2,f(A)1时,求bc的值19无穷数列an满足:an+1an+3an+1+an+40且a12(1)求证:为等差数列;(2)若a2021为数列an中的最小项,求a1的取值范围20已知函数f(x)x2(a2)x+a3(1)若f(a+1)f(2a),求a的值;(2)若函数yf(x)在x2,3的
5、最小值为5a,求实数a的取值范围;(3)是否存在整数m、n使得关于x的不等式mf(x)n的解集恰为m,n?若存在,请求出m、n的值;若不存在,请说明理由21已知椭圆:1(ab0),F1、F2分别为其左、右焦点(1)若T为椭圆上一点,TF1F2面积最大值为4,且此时TF1F2为等边三角形,求椭圆的方程;(2)若椭圆焦距长为短轴长的倍,点P的坐标为(2a,ab),Q为椭圆上一点,当|PQ|+|QF1|最大时,求点Q的坐标;(3)若A为椭圆上除顶点外的任意一点,直线AO交椭圆于B,直线AF1交椭圆于C,直线BF1交椭圆于D,若,求+(用a、b代数式表示)参考答案一、填空题1不等式0的解集为(3,2)
6、解:不等式0可化为,或,解得3x2,或;不等式的解集为(3,2)故答案为:(3,2)23【分析】利用数列极限的运算法则求解即可解:3,故答案为:33设m是常数,若点F(0,5)是双曲线的一个焦点,则m16【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键,利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系,列出关于m的方程,通过解方程求出m的值解:由于点F(0,5)是双曲线的一个焦点,故该双曲线的焦点在y轴上,从而m0从而得出m+925,解得m16故答案为:164直线3x+2y+50的一个法向量为(a,a2),则实数a6【分析】先求出直线的方向向量,然后利用法向量与方向向量垂直,由向
7、量垂直的坐标表示列出关于a的方程,求解即可解:因为直线3x+2y+50的一个法向量为(a,a2),又直线3x+2y+50的一个方向向量为(2,3),所以2a+3(a2)0,解得a6故答案为:65已知eixcosx+isinx,则e2022i对应的点位于复平面的第 四象限【分析】由题意,表示出e2022i对应的点的坐标,然后确定e2022i对应的点所在的象限即可解:因为eixcosx+isinx,所以e2022icos2022+isin2022对应的点的坐标为(cos2022,sin2022),因为202223201.9,所以cos20220,sin20220,所以e2022i对应的点位于复平面
8、的第四象限故答案为:四6空间一线段AB,若其主视图、左视图、俯视图的长度均为,则线段AB的长度为【分析】根据三视图得出,正方体的体对角线,符合题意,根据图形求解即可解:空间一线段AB,若其主视图、左视图、俯视图的长度均为,把它放到正方体中研究得出:可判断出正方体的棱长为1,体对角线为,线段AB为故答案为:7若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则其母线与轴所成角的大小是30【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式,结合已知可得l2R,进而解母线与底面所成角,然后求解母线与轴所成角即可解:设圆锥的底面半径为R,母线长为l,则:其底面积:S底面积R2,其侧面积:S侧面积2RlRl,圆锥的侧面积是其底面积的
9、2倍,l2R,故该圆锥的母线与底面所成的角有,cos,60,母线与轴所成角的大小是:30故答案为:308若直线mx+2ny40(m,nR)始终平分圆x2+y24x2y0的周长,则mn的取值范围是 (,1【分析】由圆的方程求得圆心坐标,把圆心坐标代入直线方程,可得m+n2,再由不等式的性质求解mn的取值范围解:圆x2+y24x2y0化为(x2)2+(y1)25,可得圆心坐标为(2,1),直线mx+2ny40(m,nR)始终平分圆x2+y24x2y0的周长,直线过圆心,则2m+2n4,即m+n2又m,nR,mn,即mn的取值范围是(,1故答案为:(,19已知(x+)n展开式中的常数项是第五项,则系
10、数最大项为第 9项【分析】由题意利用二项展开式的通项公式,先求得n的值,可得系数最大项解:(x+)n展开式中的通向公式为 Tr+12rxn3r,令n3r0,求得n3r,常数项是第五项,即r4,可得n12,则通向公式为 Tr+12rx123r,故第r+1项的系数为2r,检验可得,当r8时,第r+1项的系数2r 最大,故答案为:910从7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张(数字6的卡片可以倒过来9用),可以组成 276个无重复数字的被4整除的四位数【分析】根据题意,按四位数的后两位数字分3种情况讨论,求出每种情况下四位数的数目,由加法原理计算可得答案解:根据题意,分3种情况讨论:
11、四位数的后两位数字为04、20、40、60,有(20+8)3104个符合题意的四位数;四位数的后两位数字为12、24、32、52,有(5+12+6)492个符合题意的四位数;四位数的后两位数字为16、36、56、64、92,有(4+12)580个符合题意的四位数;则共有104+92+80276个符合题意的四位数;故答案为:27611已知集合U1,2,3,4,5,集合X1、X2、Xn为集合U的所有子集,从这些子集中任取两个不同的集合Xi、Xj,则XiXj中恰有三个元素的概率为 【分析】求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数,利用古典概型的概率公式求解即可解:因为集合U1,2,3,4,5,所以U
12、的子集个数为2532个,从这些子集中任取两个不同的集合Xi、Xj,则共有种不同的取法,XiXj中恰有三个元素,这三个元素可能有种选法,假设这三个元素是3,4,5,则Xi,Xj的情况有:3,4,5,1,3,4,5,3,4,5,2,3,4,5,3,4,5,1,2,3,4,5,1,3,4,5,2,3,4,5,共4种,所以XiXj中恰有三个元素,则共有种不同的取法,故XiXj中恰有三个元素的概率为故答案为:12若不等式2sin2B9sinBsinC+sinAsinC0对于任意ABC恒成立,则|的最小值为 5【分析】直接利用正弦定理的应用,三角函数的关系式的变换,恒成立问题的应用求出结果解:根据正弦定理
13、:不等式2sin2B9sinBsinC+sinAsinC0转换为2b29bc+ac0,由于对于任意三角形恒成立,故,由于,所以225,故|5,故最小正值为5故答案为:5二、选择题13“x1”是“1”的()条件A充分不必要B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要【分析】求出分式不等式的解,利用充要条件的判断方法判断即可解:因为1的解为:x0或x1,所以“x1”是“1”的充分不必要条件故选:A14空间中有四点A,B,C,D,其中(2m,m,2),(m,m+1,5),且+(5,3),则直线AB和CD()A平行B异面C必定相交D必定垂直【分析】利用向量坐标运算、向量垂直与数量积的关系即可得出解:(2m
14、,m,2),(m,m+1,5),且+(5,3),(3m,2m+1,3)(5,3),3m5,2m+1,解得m,而0,故选:D15一段时间内没有大规模集体流感的标志为“连续10天,每天新增病例不超过7人”,根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据,一定符合该标志的是()A甲地:总体均值为3,中位数为4B乙地:总体均值为1,总体方差大于0C丙地:中位数为2,众数为3D丁地:总体均值为2,总体方差为3【分析】对于AB,通过总体均值可知10天新增病例总数,以此可判断;对于C,知道中位数及众数不能确定某一天新增病例是否超过7人,以此可判断C;对于D,知道总体均值与方差,假设某一天新增病例超过7人,通过
15、计算方差可判断D解:对于A,通过总体均值可知10天新增病例总数为30,又知中位数是4,所以没法确定某一天新增病例是否超过7人,不选A;对于B,通过总体均值可知10天新增病例总数为10,又知总体方差大于0,所以没法确定某一天新增病例是否超过7人,不选B;对于C,知道中位数及众数不能确定某一天新增病例是否超过7人,不选C;对于D,知道总体均值为2,假设某一天新增病例超过7人,则方差会大于3,所以可以判断“连续10天,每天新增病例不超过7人”,选D故选:D16双曲线y21绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象,关于此函数f(x)有如下四个命题,其中真命题的个数为()f(x)是奇函数;f(
16、x)的图象过点(,)或(,);f(x)的值域是(,+);函数yf(x)x有两个零点A4个B3个C2个D1个【分析】求出双曲线的对称中心和顶点坐标和渐近线方程,画出f(x)的图象(位于一三象限),对选项逐一判断,由对称性可得f(x)的图象在二四象限的情况,即可得出答案解:对于:双曲线y21关于原点对称,可得旋转后得到的函数f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)是奇函数,故正确;对于:由双曲线的顶点为(,0),渐近线方程为yx,可得f(x)的图象的渐近线为x0和yx,图象关于直线yx对称,可得f(x)的图象过点(,)或(,),由对称性可得f(x)的图象按逆时针60旋转位于一三象限,按顺时针旋转6
17、0位于二四象限,故正确;对于:f(x)的图象按逆时针旋转60位于一三象限,由图象可得顶点为点(,)或(,),不是极值点,则f(x)的值域不是(,+),f(x)的图象按顺时针旋转60位于二四象限,由对称性可得f(x)的值域也不是(,+),故不正确;对于:当f(x)的图象位于一三象限时,f(x)的图象与直线yx有两个交点,函数yf(x)x有两个零点,当f(x)的图象唯一二四象限时,f(x)的图象与直线yx没有交点,函数yf(x)x没有零点,故不正确;故选:C三、解答题17已知四棱锥PABCD,底面为正方形ABCD,边长为4,E、F分别为AB、CD的中点,PE平面ABCD,若PF与平面ABCD所成角
18、为45(1)求四棱锥PABCD的体积;(2)求二面角PBCD的大小【分析】(1)利用线面角定义得到PFE即为PF与平面ABCD所成角,在RtPFE中,由边角关系求出PE,再利用锥体的体积公式求解即可;(2)利用线面垂直的判定定理证明BC平面PAB,从而得到PBBC,又ABBC,则PBE即为二面角PBCD的平面角,在三角形中由边角关系求解即可解:(1)因为PE平面ABCD,所以PFE即为PF与平面ABCD所成角,所以PFE45,因为EF平面ABCD,则PEEF,又E、F分别为AB、CD的中点,则EFBC,EFBC,在RtPFE中,EF4,PFE45,所以PE4,故四棱锥PABCD的体积为;(2)
19、因为底面ABCD为正方形,则BCAB,又PE平面ABCD,BC平面ABCD,则BCPE,因为ABPEE,AB,PE平面PAB,所以BC平面PAB,又PB平面PAB,则PBBC,所以PBE即为二面角PBCD的平面角,在RtPBE中,PE4,BE,则tanPBE,所以二面角PBCD的大小为arctan218已知函数f(x)sinx+cosx(1)当f()0,且|1,求的值;(2)在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,a,b+c3,当2,f(A)1时,求bc的值【分析】(1)利用辅助角公式化简,f()0,且|1,即可求解的值;(2)由a,b+c3,当2,f(A)1时,利用余弦定理即可求解b
20、c的值解:(1)函数f(x)sinx+cosx2sin(x)f()0,即k,kZ且|1,(2)由2,f(A)1,即2sin(2A)10AA由余弦定理,cosA即bc(b+c)2bca2解得:bc219无穷数列an满足:an+1an+3an+1+an+40且a12(1)求证:为等差数列;(2)若a2021为数列an中的最小项,求a1的取值范围【分析】(1)通过计算的值即可得到解答;(2)由(1)的结论可得:,再根据的增减性可以得到解答【解答】(1)证明:由已知可得:,是公差为1的等差数列;(2)解:由(1)可得,an2+,结合图象易知函数在na0,n+1a0时取到最小值,由a2021为数列an中
21、的最小项,有,解得:,a1的取值范围是:20已知函数f(x)x2(a2)x+a3(1)若f(a+1)f(2a),求a的值;(2)若函数yf(x)在x2,3的最小值为5a,求实数a的取值范围;(3)是否存在整数m、n使得关于x的不等式mf(x)n的解集恰为m,n?若存在,请求出m、n的值;若不存在,请说明理由【分析】(1)根据已知条件,得到(a+1)2(a2)(a+1)+a3(2a)22a(a2)+a3解方程即可求出结果;(2)由于f(x)的对称轴为,根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论,判断单调性求出最小值即可;(3)根据题意转化为 m,n 是方程 x2(a2)x+a3x 的两个根,结合韦达
22、定理得到 m+n2+mn,分离常数,根据m,n 为整数即可求解解:(1)因为f(x)x2(a2)x+a3,且 f(a+1)f(2a),所以(a+1)2(a2)(a+1)+a3(2a)22a(a2)+a3,整理得2a2+a30,解得a1或;(2)f(x)x2(a2)x+a3 的对称轴为 ,因为 x2,3,当,即 a6,则f(x)在x2,3上单调递增,所以f(x)minf(2)222(a2)+a35a,符合题意;当,即6a8,则f(x)在上单调递减,在单调递增,所以5a,则a6,与6a8矛盾,不符合题意;,即a8,则f(x)在x2,3上单调递减,所以,则a7,与a8矛盾,不符合题意,综上a6,因此
23、实数a的取值范围为(,6;(3)因为关于x的不等式mf(x)n的解集恰为m,n,若,则f(x)在m,n上单调递增,所以,即m,n是方程x2(a2)x+a3x,即x2(a1)x+a30的两个根,由韦达定理得,所以 m+n2+mn,所以m(1n)2n,当n1时,m不存在,舍去,当n1时,所以当n0时,m2;当n2时,m0,又因为mn,所以n2,m0,经检验,此时a3,关于x的不等式mf(x)n的解集不是m,n,故不符合题意舍去;若,则f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以,即,所以,即x2(a2)x+a3n0有两个不相等的实数根,且m+n2a,由于m,n为整数,则a为整数,则,当n0时,a3,m
24、1,经检验关于x的不等式mf(x)n的解集不是m,n,故不符合题意舍去;当n2时,a3,m1,经检验符合题意;故m1,n2;若,则f(x)在m,n上单调递减,所以,即,则mn,不合题意舍去综上:存在这样的m,n为整数,且m1,n221已知椭圆:1(ab0),F1、F2分别为其左、右焦点(1)若T为椭圆上一点,TF1F2面积最大值为4,且此时TF1F2为等边三角形,求椭圆的方程;(2)若椭圆焦距长为短轴长的倍,点P的坐标为(2a,ab),Q为椭圆上一点,当|PQ|+|QF1|最大时,求点Q的坐标;(3)若A为椭圆上除顶点外的任意一点,直线AO交椭圆于B,直线AF1交椭圆于C,直线BF1交椭圆于D
25、,若,求+(用a、b代数式表示)解:(1)因为TF1F2面积最大值为4,所以点T为短轴的顶点,所以S|F1F2|bbc4,因为TF1F2为等边三角形,所以TF1F260,所以tanTF1F2tan60,又a2b2+c2,由,解得a216,b212,c24,所以椭圆的方程为+1(2)因为椭圆焦距长为短轴长的倍,所以2c2b,即cb,又a2b2+c2b2+2b23b2,即ab,因为P点坐标(2a,ab),则(2b,b),所以点P在第一象限,由椭圆的定义可得|PQ|+|QF1|PQ|+2a|QF2|2a+(|PQ|QF2|)2a+|PF2|,当且仅当点Q在PF2延长线上时,取等号,直线PF2的方程为y(xc),所以y(xb),即yxb,联立,解得 x0或xb,当x0时,yb或当xb时,y0,所以Q(0,b)或(b,0),因为点Q在PF2延长线上,所以Q(0,b)(3)设|AF1|x,AF1F2,则|AF2|2ax,在AF1F2中,由余弦定理可得,解得,即,同理可得,设AF2F1,则DF1F2,所以,故,又,同理,所以