1、1110正态分布1借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2会进行与正态分布相关的简单计算此部分内容在近几年高考大题和小题中均有出现，对基本性质的考查难度一般不大，多注意结合图象分析即可；对于计算(或应用)的考查有加强的趋势，应给予一定的关注1正态曲线的性质(1)正态曲线的定义函数，(x) ，x(，)，其中实数和(0)为参数，我们称，(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线简称_(2)正态曲线的性质：曲线位于x轴_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_对称；曲线在x处达到峰值_；曲线与x轴之间的面积为_；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着_的变化而沿x轴平移，如图甲所示当一定
2、时，曲线的形状由确定，越_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示2正态分布的定义与简单计算(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)_，则称随机变量X服从正态分布，记作_我们把在正态曲线函数中，0，1的正态分布叫做标准正态分布(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(X)0682 6；P(2X2)0954 4；P(3X3)0997 4可以看到，正态总体几乎总取值于区间(3，3)之内而在此区间以外取值的概率只有0002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生在实际应用中，通常认为服从于正态
3、分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值，并简称之为3原则【自查自纠】1(1)e正态曲线(2)上方x1小大2(1) ，(x)dxXN(，2)正态曲线是()A递增函数B递减函数C从左到右先增后减的函数D从左到右先减后增的函数解：由正态曲线的对称性和中间高的特征知，C正确故选C设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)e (xR)，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A10与8 B10与2 C8与10 D2与10解：f(x)e，所以2，10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2，故选B已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X4)08，则P(0X2)()
4、A06 B04 C03 D02解：P(0X2)P(2X4)，则P(0X2)P(X4)P(X2)080503故选C()设随机变量服从正态分布N(1，2)，则函数f(x)x22x不存在零点的概率为_解：若函数f(x)x22x不存在零点，则2241，而随机变量服从正态分布N(1，2)，故函数f(x)x22x不存在零点的概率为P故填()已知某县农民的月均收入服从正态分布N(1000，402)，则此县农民月均收入在1000元到1080元之间的人数占全县农民人数的百分比为_解：P(10001080)P(100080100080)0954404772故填4772%类型一正态分布的概念与性质已知三个正态分布密
5、度函数i(x)e (xR，i1，2，3)的图象如图所示，则()A123，123B123，123C123，123D123，123解：由正态曲线关于直线x对称，知123；的大小决定曲线的形状，越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则123实际上，由1(1)2(2)3(3)，则 ，即123故选D【评析】正态曲线的性质(详见“考点梳理”)大都可由，(x)的解析式推知如一定，当x且x增大时，(x)2减小增大 e增大，(x)在x左侧单调递增其他类似可得把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是()A曲线C2仍是正态曲线B曲线C1，C
6、2的最高点的纵坐标相等C以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2D以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2解：正态密度函数为f(x)e，正态曲线对称轴为x，曲线最高点的纵坐标为f()所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f()没变，从而没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即变了，因为曲线向右平移2个单位，所以期望值增大了2故选C类型二正态分布的计算问题设XN(5，1)，求P(6X7)解：由已知5，1P(4X6)0682 6，P(3X7)0954 4P(3X4)P(6X7)09
7、54 40682 60271 8如图，由正态曲线的对称性可得P(3X4)P(6X7)P(6X7)0135 9【评析】确定，根据正态曲线的对称性知P(X)，P(2X2)的概率再进行求解求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知三个区间上的概率设XN(1，22)，试求(1)P(1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5)解：XN(1，22)，1，2(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0682 6(2)P(3X5)P(3X1)，P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0954 40682 6)
8、0135 9(3)P(X5)P(X3)，P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10954 4)0022 8类型三正态分布的实际应用在一次数学考试中，某班学生的成绩XN(110，202)，且知满分为150分，这个班的学生共54人求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和成绩在130分以上的人数解：因为XN(110，202)，所以110，20P(11020130的概率为(10.682 6)0.158 7.所以，X90的概率为0.682 60.158 70.841 3及格的人数约为540841 345(人)成绩在130分以上的人数约为540158 79(人)【评析】要求
9、及格的人数，即求出P(90X150)，此时只需找出三个特殊区间与所求事件所在区间的关系，然后利用对称性求解在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布N(90，100)(1)试求考试成绩X位于区间(70，110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？解：XN(90，100)，90，10(1)由于正态变量在区间(2，2)内取值的概率是09544，而该正态分布中，29021070，290210110，于是考试成绩X位于区间(70，110)内的概率是09544(2)由90，10，得80，100由于正态变量在区间(，)内取值的概率是06
10、826, 考试成绩X位于区间(80，100)内的概率是06826一共有2000名学生，考试成绩在(80，100)间的考生大约有2000068261365(人)1熟练地掌握正态密度曲线的解析式，(x)e，xR，注意结构特点，特别是参数的一致性2正态曲线的性质特点可用来求其数学期望和标准差：正态曲线是单峰的，它关于直线x对称，据此结合图象可求；正态曲线在x处达到峰值，据此结合图象可求3要能熟练应用正态曲线的对称性解题，注意以下几点：(1)正态曲线与x轴之间的面积为1；(2)正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等；(3)几个常用公式：P(Xa)1P(Xa)；P(X0，则P(Xb)4无论是正态分布的正向或逆向的应用问题，关键都是先确定，然后利用对称性，将所求概率转化到三个特殊区间
