1、7.2离散型随机变量及其分布列最新课标(1)通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列(2)通过具体实例，了解超几何分布，并能解决简单的实际问题教材要点要点一随机变量与离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有_的实数X()与之对应，我们称X为随机变量可能取值为_或可以_的随机变量，我们称为离散型随机变量用大写英文字母X，Y，Z等表示随机变量，用小写英文字母x，y，z等表示随机变量的取值(1)随机变量可将随机试验的结果数量化，如设随机变量X表示骰子掷出的点数，则X1，2，3，4，5，6，或者说X的取值范围是1，2，3，4，5，6有些随机试验的结果虽然不
2、具有数量性质，但也可以用数来表示如掷一枚硬币，X0表示正面向上，X1表示反面向上(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量的不同取值对应着试验的不同结果，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，这些数是预先知道的可能值，但不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源(3)随机变量与函数既有联系又有区别，联系：它们都是一种映射，都是将一个对象映射为实数，区别：随机变量是把随机试验的结果映为实数，而函数则是把实数映为实数要点二离散型随机变量的分布列(1)分布列的定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(Xxi)pi，i1，2，n
3、为X的概率分布列，简称分布列，以表格的形式表示如下：Xx1x2xnPp1p2pn1.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况2.离散型随机变量的分布列类似于函数，也有三种表示形式，即解析式、表格和图象，但离散型随机变量的分布列多是用表格或解析式表示(2)离散型分布列的性质：pi_，i1，2，n；p1p2pn_1.由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和2.分布列的性质可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布
4、列中的某些参数要点三两点分布随机变量X的分布列是：X01P1pp我们称X服从_分布或_分布两点分布的试验结果只有两个可能，且其概率之和为1.基础自测1.判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个()(2)在离散型随机变量的分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数()(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值()(4)在离散型随机变量的分布列中，所有概率之和为1.()2.(多选题)下列变量中，是离散型随机变量的是()A掷5次硬币正面向上的次数MB某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TC从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所
5、标的数字之和YD将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X3.下列表中能成为随机变量X的分布列的是()AX104P0.10.30.5BX2 0172 0182 019P0.40.70.1CX2 0172 0182 019P0.30.40.3DX123P0.30.40.54.已知离散型随机变量X的概率分布列如下：X0123Pa则常数a的值为_题型一随机变量、离散型随机变量的判断自主完成1.(多选题)以下选项中说法正确，且所描述对象是离散型随机变量的是()A某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X是一个随机变量B如果以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差X是一个随机变量C一个沿数轴进行随机运动的质点，它在
6、数轴上的位置X是一个随机变量D某人射击一次中靶的环数X是一个随机变量2.写出下列随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果(1)一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；(2)抛掷两枚骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y.方法归纳1.判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量
7、不是离散型随机变量2.明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果题型二离散型随机变量的分布列微点探究微点1两点分布例1一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记X求X的分布列方法归纳两点分布的两个特点：(1)两点分布只有两个结果，且是对应的(2)P(X0)1P(X1).微点2根据古典概型求分布列例2同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列微点3根据排列组合求分布列例3一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个
8、红球，从中摸出2个球(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列方法归纳求离散型随机变量的分布列的一般步骤：(1)确定随机变量的所有可能取值以及每个取值所表示的意义；(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率；(3)按规范形式写出分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验，即检验分布列的概率和是不是1.跟踪训练1一个袋子中有5个大小相同的玻璃球，其编号分别为1，2，3，4，5，从中任取两个球，试构造两点分布的模型，求取出的两个球的最大编号大于3的概率，并列出两点分布列题型三离散型随机变量的分布列的性质及其应用微点探究微点1根
9、据分布列求参数的值例4已知随机变量X的分布列如下：X0123P0.100.00.150.4为丢失的数据，则丢失的数据分别为()A2，0 B2，5C3，0 D3，5微点2根据分布列求概率例5设随机变量X的分布列为P(Xi)ai(i1，2，3，4)，求：(1)P(X1x3)；(2)P.方法归纳1.利用分布列的性质检验分布列的正确性：利用性质1和性质2都可以检验分布列的正确性例如各个概率值都小于或等于1；所有的概率之和必须等于1.2.因为离散型随机变量在某一范围内的取值，包含有n个随机变量，而它们所对应的事件互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率跟踪训练2(1)若随机变量X的分布列为X21012
10、3P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xa)0.5时，实数a的取值范围是()A(，0 B0，1C(0，1 D(1，2(2)某一射手射击所得的环数X的分布列如下：X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数7”的概率为_易错辨析对离散型随机变量分布列的性质认识不够致错例6设X是一个离散型随机变量，其分布列为X01P6a2a37a则常数a的值为()A B1C或1 D或1解析：由离散型随机变量分布列的性质可得解得a.故选A.答案：A【易错警示】易错原因本题易由离散型随机变量分布列的性质得6a2a37a1，解得a或a1，从而错选C.产
11、生此种错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列满足概率和为1，忽略了0pi1(i1，2).纠错心得牢记离散型随机变量分布列的两条性质是解题的关键72离散型随机变量及其分布列新知初探课前预习要点一唯一有限个一一列举要点二01要点三两点01基础自测1(1)(2)(3)(4)2解析：选项A，C，D均能一一列出，而B不能一一列出，故选ACD.答案：ACD3解析：选项A，D不满足分布列的基本性质p1p2pipn1，选项B不满足分布列的基本性质pi0.故选C.答案：C4解析：由分布列的性质可得a1，解得a.答案：题型探究课堂解透题型一1解析：A，B，C，D中所描述的对象都是随机变量根据离散型随机变量的定义
12、可知，A，D中的X的所有可能取值可以一一列举出来，因此是离散型随机变量，而B，C中的X可以取某一区间内的一切值，不能一一列举出来，因此不是离散型随机变量故选AD.答案：AD2解析：(1)X的所有可能取值为0，1，2.X0表示所取的3个球是3个黑球；X1表示所取的3个球是1个白球，2个黑球；X2表示所取的3个球是2个白球，1个黑球(2)Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.用(a，b)表示一个基本事件，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数Y0表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的基本事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).Y1表示掷出的
13、两枚骰子的点数相差1，其包含的基本事件有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)Y2表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的基本事件有(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4).Y3表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3).Y4表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的基本事件有(1，5)，(5，1)，(2，6)，(6，2).Y5表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的基本事件有(1，6)
14、，(6，1).题型二例1解析：因为X服从两点分布，所以P(X0)，P(X1)1.所以X的分布列为X10P例2解析：同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为1，2，3，4，5，6，如下表：X出现的点数情况数1(1，1)12(2，2)，(2，1)，(1，2)33(3，3)，(3，2)，(3，1)，(2，3)，(1，3)54(4，4)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，4)，(2，4)，(1，4)75(5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，(4，5)，(3，5)，(2，5)，(1，5)96(6，6)，(6，5)，(6，4)，(6，3
15、)，(6，2)，(6，1)，(5，6)，(4，6)，(3，6)，(2，6)，(1，6)11由古典概型可知X的分布列为X123456P例3解析：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C10(种)情况(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A).即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.(2)X的所有可能取值为0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).故X的分布列为：X012P跟踪训练1解析：设取出两球的较大编号是否大于3用X表示，令X事实上，X服从两点分布从5个大小相同的玻璃球中任取两个球的不同结果有C10种，其中，最大的编号为2的概
16、率为，最大的编号为3的概率为.P(X0)，取出的两个球的最大编号大于3的概率P(X1)1P(X0).两点分布列为X01P题型三例4解析：由离散型随机变量分布列的性质，得0.100.00.150.41，即0.00.40.75，比较十分位和百分位的数字可知，04的为5，0.0的为3.故选D.答案：D例5解析：题目中所给的X的分布列为X1234Pa2a3a4a由离散型随机变量的分布列的性质得a2a3a4a1，解得a.(1)P(X1X3)P(X1)P(X3).(2)PP(X1)P(X2).跟踪训练2解析：(1)由随机变量X的分布列，可得P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X0)0.5，P(X1)0.5，则当P(Xa)0.5时，a(0，1.故选C.(2)根据射手射击所得的环数X的分布列，有P(X7)0.09，P(X8)0.28，P(X9)0.29，P(X10)0.22.所求的概率为P(X7)0.090.280.290.220.88.答案：(1)C(2)0.88
