1、第四节数列求和热点命题分析学科核心素养本节是高考的热点，其中等差、等比数列的通项与求和、数列与不等式的综合、以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现.本节通过数列求和以及数列的综合应用提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养.授课提示：对应学生用书第108页知识点数列前n项和的求法1公式法(1)等差数列的前n项和公式Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式当q1时，Snna1；当q1时，Sn.2分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项4倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，
2、即等差数列求和公式的推导过程的推广5错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解 温馨提醒 二级结论1常见的裂项公式(1).(2).(3).2常见数列的求和公式(1)122232n2.(2)132333n32.必明易错1在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an1的式子应进行合并2在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项1在数列an中，an，若an的前n项和为，则项
3、数n为()A2 016B2 017C2 018D2 019答案：D2已知数列：1，2，3，则其前n项和关于n的表达式为_答案：13已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_.答案：(n1)2n124(易错题)求12x3x2nxn1(x0且x1)的和解析：设Sn12x3x2nxn1，则xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，所以Sn.授课提示：对应学生用书第109页题型一分组转化法求和合作探究例已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足关于x的不等式a1x2S2x20的解集为(1,2)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bna2n2an1，求数列
4、bn的前n项和Tn.解析(1)设等差数列an的公差为d，因为关于x的不等式a1x2S2x20的解集为(1,2)，所以123，得a1d，又易知2，所以a11，d1.所以数列an的通项公式为ann.(2)由(1)可得，a2n2n,2an2n.因为bna2n2an1，所以bn2n12n，所以数列bn的前n项和Tn(1352n1)(222232n)n22n12.分组转化法求和的常见类型对点训练(2021合肥质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S424，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2anan，求数列bn的前n项和Tn.答案：(1)an2n1(2)Tn(4n1)n22n题型
5、二裂项相消法求和合作探究例数列an满足a11, an1(nN*)(1)求证：数列a是等差数列，并求出an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和解析(1)证明：由an1得aa2，且a1，所以数列a是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a1(n1)22n1，又由已知易得an0，所以an(nN*)(2)bn，故数列bn的前n项和Tnb1b2bn(1)()()1.裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止(2)
6、消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.对点训练(2020高考浙江卷)已知数列an，bn，cn满足a1b1c11，cnan1an，cn1cn，nN*.(1)若bn为等比数列，公比q0，且b1b26b3，求q的值及数列an的通项公式；(2)若bn为等差数列，公差d0，证明：c1c2c3cn1，nN*.解析：(1)由b1b26b3，得1q6q2，解得q.由cn14cn得cn4n1.由an1an4n1，得ana1144n2.(2)证明：由cn1cn，得cn，所以c1c2c3cn，由b11，d0，得bn10，因此c1c2c3cn1，nN*.题型三错位相减法求和合作探
7、究例(2020高考全国卷)设数列an满足a13，an13an4n.(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前n项和Sn.解析(1)a25，a37.猜想an2n1.证明：由已知可得an1(2n3)3an(2n1)，an(2n1)3an1(2n1)，a253(a13)因为a13，所以an2n1.(2)由(1)得2nan(2n1)2n，所以Sn32522723(2n1)2n.从而2Sn322523724(2n1)2n1.得Sn3222222322n(2n1)2n1，所以Sn(2n1)2n12.运用错位相减法求和的关键：一是判断模型，即判断数列an，bn一个为等差数列
8、，一个为等比数列；二是错位相减；三是注意符号，相减时要注意最后一项的符号.对点训练(2021天津市部分区联考)已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，且a11，a3a412，b1a2，b2a5.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cn(1)nanbn(nN*)，求数列cn的前n项和Sn.解析：(1)设等差数列an的公差为d，因为a11，a3a412，所以2a15d12，所以d2，所以an2n1.设等比数列bn的公比为q，因为b1a2，b2a5，所以b1a23，b2a59，所以q3，所以bn3n.(2)由(1)知，an2n1，bn3n，所以cn(1)nanbn(1)n(2n1)3n(2n1
9、)(3)n，所以Sn1(3)3(3)25(3)3(2n1)(3)n，所以3Sn1(3)23(3)3(2n3)(3)n(2n1)(3)n1，得，4Sn32(3)22(3)32(3)n(2n1)(3)n13(2n1)(3)n1(3)n1.所以Sn(3)n1.数列求和中的核心素养数学运算数列求和的创新交汇应用例(2021江西重点中学联考)设x1是函数f(x)an1x3anx2an2x1(nN*)的极值点，数列an中满足a11，a22，bnlog2an1，若x表示不超过x的最大整数，则()A2 017B2 018C2 019D2 020解析：由题可知，f(x)3an1x22anxan2，则f(1)3a
10、n12anan20，即an23an12an0.an2an12(an1an)，a2a11，a3a2212，a4a32222，anan12n2，累加得an2n1，故bnn.则2 0182 0182 0182 017，所以2 017.答案：A本题的关键是利用累加法求通项后，利用裂项相消法求和题组突破1(2021贵阳摸底)定义为n个正数u1，u2，u3，un的“快乐数”若已知正项数列an的前n项的“快乐数”为，则数列的前2 019项和为()A. B C. D答案：B2(2021张掖期末测试)我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，.第二步：将数列的各项乘以n，得到一个新数列a1，a2，a3，an，则a1a2a2a3an1an()An2 B(n1)2 Cn(n1) Dn(n1)答案：C
