1、02第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课时过关能力提升1.根据下面给出的数塔猜测123 4569+7等于()19+2=11129+3=1111239+4=1 1111 2349+5=11 11112 3459+6=111 111A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113答案:B2.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是()各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱
2、的夹角都相等.A.B.C.D.解析:因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比,所以都比较恰当.答案:C3.设f1(x)=cos x,f2(x)=f1(x),f3(x)=f2(x),fn+1(x)=fn(x),nN+,则f2 017(x)等于()A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x解析:f1(x)=cos x,f2(x)=f1(x)=(cos x)=-sin x,f3(x)=(-sin x)=-cos x,f4(x)=(-cos x)=sin x,f5(x)=(sin x)=cos x,fn(x)的取值呈周期性变化,
3、且4是最小正周期.f2 017(x)=f1(x)=cos x.答案:C4.如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,记这个数列前n项的和为Sn,则S16等于()A.128B.144C.155D.164解析:由题意可知该数列的前16项为1,2,3,3,6,4,10,5,15,6,21,7,28,8,36,9.故S16=1+2+3+36+9=164.答案:D5.线与角是几何中两种最基本的量,因而可以取线段为类比源.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果点P(x,y)分线段P1P2之比为=P1PPP2,则由定比分点公式可得P点的坐标x
4、=x1+x21+,y=y1+y21+.如图,设xOA=,xOB=,若记=AOPPOB,则有类比猜想xOP=.图图另外,如图,若P为线段AB的定比分点,且=APPB,AA1BB1PP1,则有类比猜想PP1=.解析:由线段的定比分点坐标公式类比可得.答案:+1+AA1+BB11+6.下面是一系列有机物的结构简图,图中的顶点表示原子,两顶点间的短线表示化学键,按图中结构第n个图中有个原子,有个化学键.答案:4n+25n+17.观察下列不等式1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,照此规律,第五个不等式为.解析:由前3个不等式可知第(n-1)个不等式为1+122+132
5、+142+1n22n-1n,所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162116.答案:1+122+132+142+152+1621168.已知两个圆:x2+y2=1,与x2+(y-3)2=1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程,将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题要成为所推广命题的一个特例,推广的命题为.答案:设两圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,与(x-c)2+(y-d)2=r2,其中ac或bd,则由式减去式可得两圆的对称轴方程9.将自然数排成如下的螺旋状:第一个拐弯处的数是2,第二个拐弯处的数是3,则第20个及第25个拐
6、弯处的数各是多少?分析先根据前面的情况归纳出一般结论,再求解.解:前几个拐弯处的数依次是2,3,5,7,10,13,17,21,26,这是一个数列,题目要求找出它的第20项和第25项各是多少,因此要找出这个数列的规律.把数列的后一项减去前一项,得一新数列,1,2,2,3,3,4,4,5,5,把原数列的第一项2添在新数列的前面,得到2,1,2,2,3,3,4,4,5,5,于是,原数列的第n项an就等于上面数列的前n项和,即a1=1+1=2,a2=2+1=1+(1+1)=3,a3=2+1+2=1+(1+1+2)=5,a4=2+1+2+2=1+(1+1+2+2)=7,所以,第20个拐弯处的数a20=
7、1+(1+1+2+2+3+3+4+4+10+10)=1+2(1+2+10)=111,第25个拐弯处的数a25=1+(1+1+2+2+12+12+13)=111+2(11+12)+13=170.10.如图,点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PMBB1交AA1于点M,PNBB1交CC1于点N.(1)求证:CC1MN;(2)在任意DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DFEFcosDFE.类比三角形的余弦定理,拓展到空间,写出如图所示的斜三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.(1)证明PMBB1,PNBB1,PMPN=
8、P,BB1平面PMN.又MN平面PMN,BB1MN.又CC1BB1,CC1MN.(2)解:在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,有S四边形ABB1A12=S四边形BCC1B12+S四边形ACC1A12-2S四边形BCC1B1S四边形ACC1A1cos ,其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角.证明如下:由(1)可知CC1平面PMN,上述的二面角的平面角为MNP.在PMN中,PM2=PN2+MN2-2PNMNcosMNP,PM2CC12=PN2CC12+MN2CC12-2(PNCC1)(MNCC1)cosMNP.S四边形BCC1B1=PNCC1,S四边形ACC1A1=MNCC1,S四边形ABB1A1=PMBB1=PMCC1,S四边形ABB1A12=S四边形BCC1B12+S四边形ACC1A12-2S四边形BCC1B1S四边形ACC1A1cos .
