1、 第三章检测(B)(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点 A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点 P(x,y)到原点的距离是()A.4B 解析:由题意知 -所以x=4,y=1,故 P(4,1)到原点的距离为 答案:D2.已知两点 A(-2,0),B(0,4),则线段 AB 的垂直平分线的方程为()A.2x+y=0B.2x-y+4=0C.x+2y-3=0D.x-2y+5=0解析:kAB -线段AB 的中点坐标为(-1,2),所以所求直线的方程为 y-2
2、=即x+2y-3=0.答案:C3.若直线 mx+ny+3=0 在 y 轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线 的倾斜角的 倍 则 A.m=C.m 解析:对直线 mx+ny+3=0,令 x=0,得 y=则 解得n=1.所以该直线的斜率为-m.由直线 得该直线的倾斜角为60,所以直线 mx+ny+3=0 的倾斜角为 120,所以 即m 答案:D 4.若斜率为 4 的直线经过点 A(3,5),B(a,7),C(-1,b)三点,则 a,b 的值分别为()A.a C.a 解析:由 -得a 由 -得b=-11.答案:C5.过直线 x+y=9 和 2x-y=18 的交点且与直线 3x-2y+8=0 平行的直线
3、的方程为()A.3x-2y=0B.3x-2y+9=0C.3x-2y+18=0D.3x-2y-27=0解析:(方法一)解方程组 -得 所以直线x+y=9 和 2x-y=18 的交点为(9,0).设与直线3x-2y+8=0 平行的直线的方程为 3x-2y+a=0(a8),把(9,0)代入 3x-2y+a=0,得 a=-27,故所求直线方程为 3x-2y-27=0.(方法二)过直线 x+y=9 和 2x-y=18 的交点的方程可设为 x+y-9+(2x-y-18)=0,即(2+1)x+(1-)y-(9+18)=0.若上述直线与 3x-2y+8=0 平行,则 -解得=-5,代入所设方程得 3x-2y-
4、27=0.答案:D6.已知两条直线 y=ax-2 和 3x-(a+2)y+1=0 互相平行,其中 a0,则这两条直线间的距离为()A 解析:由已知得 a 解得a=1 或 a=-3(舍).当 a=1 时,直线方程为 x-y-2=0,3x-3y+1=0,所以两条直线间的距离为 答案:A7.已知 A(-3,8),B(2,2),在 x 轴上有一点 M,使得|MA|+|MB|最短,则点 M 的坐标是()A.(-1,0)B.(1,0)C()()解析:点 A 关于 x 轴的对称点为 A(-3,-8),则直线 AB 的方程为 2x-y-2=0,求得点 M 的坐标为(1,0).答案:B 8.已知实数 x,y 满
5、足 5x+12y-60=0,则 的最小值为 A 解析:-表示直线5x+12y-60=0 上的点到坐标原点(0,0)的距离,其最小值为点(0,0)到直线 5x+12y-60=0 的距离 d -答案:D9.已知直线 l:y=kx+b(k0),且 l 不经过第三象限,当 x2,4时,y-1,1,则 k,b 的值分别为()A.k=2,b=3B.k=-2,b=3C.k=1,b=1D.k=-1,b=3解析:由题意知直线 l:y=kx+b(k0)不经过第三象限,则:该直线经过第一、第二、第四象限,且 y 随 x 的增大而减小,所以当 x=2 时,y=1;当 x=4 时,y=-1,即 -解得 -该直线经过第二
6、、第四象限,且 y 随 x 的增大而减小,所以当 x=2 时,y=1;当 x=4 时,y=-1,即 -无解.故选 D.答案:D10.已知 A,B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x-y=0 和 x+ay=0 上,且线段 AB 的中点为()则线段 的长为 A.10B.9C.8D.7解析:直线 2x-y=0 的斜率为 2,直线 x+ay=0 的斜率为 因为两条直线垂直,所以 所以a=2.所以中点 P(0,5),则|OP|=5.在直角三角形中斜边的长度|AB|=2|OP|=25=10,所以线段AB 的长为 10,选 A.答案:A二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在
7、题中的横线上)11.经过点(1,3),且在 x 轴上的截距为 2 的直线方程是 .解析:由题意设所求直线的方程为 因为点(1,3)满足该方程,所以 故b=6.将所求直线的方程 化为一般式为3x+y-6=0.答案:3x+y-6=012.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l1:x-2y-1=0 和直线 l2:2x-ay-a=0 平行,则常数 a 的值为 .解析:由题意知 -解得a=4.答案:413.已知定点 A(0,1),点 B 在直线 x+y=0 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标是 .解析:当|AB|最小时,直线 AB 与直线 x+y=0 垂直,则直线 AB 的方程为 y=x+1
8、,解方程组 得交点坐标为(-)答案:(-)14.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与(-2,0)重合,且点(2 018,2 019)与点(m,n)重合,则 n-m=.解析:因为(-2,0)与(0,2)两点重合,所以这张纸的折痕为 y=-x.所以(2 018,2 019)与(-2 019,-2 018)重合,故 n-m=(-2 018)-(-2 019)=1.答案:115.若直线 m 被两条平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 则 的倾斜角可以是 其中正确答案的序号是 解析:两条平行线间的距离为 d -结合题意得直线m 与 l1的夹角为 30.又 l1的
9、倾斜角为45,所以直线 m 的倾斜角等于 30+45=75或 45-30=15.答案:三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分)已知直线 l 平行于直线 3x+4y-7=0,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24,求直线 l 的方程.解:设 l:3x+4y+m=0(m-7),当 y=0 时,x=当 x=0 时,y=因为直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24,所以|-|-|所以 m=24.所以直线 l 的方程为 3x+4y+24=0 或 3x+4y-24=0.17.(8 分)已知两条直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:
10、2x+my-1=0.(1)若 l1与 l2交于点 P(m,-1),求 m,n 的值;(2)若 l1l2,试确定 m,n 需要满足的条件;(3)若 l1l2,试确定 m,n 需要满足的条件.解:(1)将点 P(m,-1)代入两条直线方程得,m2-8+n=0 和 2m-m-1=0,解得 m=1,n=7.(2)由 l1l2得,m2-82=0m=4.又两条直线不能重合,所以有 8(-1)-nm0,对应得 n2.所以当 m=4,n-2 或 m=-4,n2 时,l1l2.(3)当 m=0 时,直线 l1:y=和l2:x 此时l1l2.当 m0 时,此时两直线的斜率之积等于 显然l1与 l2不垂直,所以当
11、m=0,nR 时直线 l1和 l2垂直.18.(9 分)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR).(1)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围;(2)证明:不论 a 为何值,直线恒过某点,并求出这个定点的坐标.(1)解:将直线 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,欲使 l 不经过第二象限,则需-或-解得a-1.故实数 a 的取值范围为 a-1.(2)证明:方程可整理成 a(x-1)+x+y+2=0.由 -得 -当x=1,y=-3 时,方程 a(x-1)+x+y+2=0 对 aR 恒成立.因此,直线恒过定点(1,-3).19.(10 分)已知正方形 ABCD 的边
12、 CD 所在直线的方程为 x+3y-13=0,对角线 AC,BD 的交点为 P(1,5),求正方形 ABCD 其他三边所在直线的方程.解:设点 P(1,5)到 lCD的距离为 d,则 d 因为 lABlCD,所以可设 lAB:x+3y+m=0(m-13).点 P(1,5)到 lAB的距离也等于 d,则 又因为 m-13,所以 m=-19,即 lAB:x+3y-19=0.因为 lADlCD,所以可设 lAD:3x-y+n=0,则 P(1,5)到 lAD的距离等于 P(1,5)到 lBC的距离,且都等于 d -解得n=5 或 n=-1.结合图形(图略)知 lAD:3x-y+5=0,lBC:3x-y
13、-1=0.所以正方形 ABCD 其他三边所在直线的方程为 x+3y-19=0,3x-y+5=0,3x-y-1=0.20.(10 分)某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问:如何设计才能使开发面积最大?并求出最大面积.(已知|BC|=210 m,|CD|=240 m,|DE|=300 m,|EA|=180 m)解:以 BC 所在直线为 x 轴,AE 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy,如图,则 A(0,60),B(90,0).AB 所在的直线方程为 即 y=60 所以可设(-)其中0 x90.开发面积 S=(300-x)(240-y)=(300-x -(-)=000(0 x90).当 x=(-)且y=50 时,S 取最大值 54 150.即矩形顶点 P 距离 AE 15 m,距离 BC 50 m 时,开发面积最大,且为 54 150 m2.
