1、专题5.5导数在研究函数中的应用1函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f(x)的正负之间的关系单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增；单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.如果在某个区间(a,b)内恒有f(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.(2)函数值变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，
2、那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.常见的对应情况如下表所示.2函数的极值极值的相关概念(1)极小值点与极小值：如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f(x)0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值：如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；(4)解不等式f(x)g(x)在区
3、间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)f(x)g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式若F(a)0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题【例6】（2022吉林高三阶段练习（文）已知函数，.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：.【变式6-1】（2022河北高三期中）已知，函数.(1)当时，求的单调区间；(2)证明：.【变式6-2】（2022北京高三阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，
4、讨论函数的单调性；(3)当时，证明：.【变式6-3】（2022四川自贡一模（理）设函数，其中，e为自然对数底数.(1)若，求函数的最值；(2)证明：当时，.【题型7 导数中的恒成立（存在性）问题】【方法点拨】解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.【例7】（20
5、22黑龙江高三阶段练习）已知函数.(1)若，证明：；(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.【变式7-1】（2022四川高三期中）已知函数(1)若在上是单调递减，求实数的取值范围；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【变式7-2】（2022北京高三阶段练习）已知函数.(1)时，在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数对任意都有成立，求a的取值范围【变式7-3】（2022广东高三阶段练习）已知.(1)若，求函数的单调区间和极值；(2)若对都有成立，求实数a的取值范围.【题型8 导数在实际问题中的应用】【方法点拨】解决实际问题时，首先要根据实际情况建立实际问题的数学模型，
6、写出实际问题中变量之间的函数关系式，然后利用导数研究，进而解决问题.【例8】用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？【变式8-1】（2022山东泰安高二期中）如图，一个面积为平方厘米的矩形纸板，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边的长分别为厘米和厘米，其中.（1）当，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值【变式8-2】（2022全国高三专题练习）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外
7、围是一个周长为米的圆在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元.（）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；（）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低【变式8-3】（2022河南高三阶段练习（理）某超市开展促销活动，经测算该商品的销售量为s件与促销费用x元满足已知s件该商品的进价成本为元，商品的销售价格定为元/件(1)将该商品的利润y元表示为促销费用x元的函数；(2)促销费用投入多少元时，商家的利润最大？最大利润为多少?（结果取整数）参考数据：，
