1、1.掌握指数函数与对数函数图象的关系.2.能灵活利用对数函数的单调性解对数不等式.3.掌握与对数函数有关的复合函数的单调性、值域最值等问题的处理方法.前面我们学习了对数函数的概念、图象与性质,并重点学习了图象和性质的简单应用;在解决一些对数问题时,还常常会遇到与对数有关的不等式问题、与对数函数有关的复合函数问题等,这些都体现了对对数函数图象与性质的深层次应用,这一讲我们就来探索这些问题的解法.问题1:对数函数y=logax(a0,且a1)的定义域、值域和单调性(1)y=logax定义域为,值域为.(2)当0a1时,y=logax在定义域内是.问题2:函数y=ax与函数y=logax(a0,且a
2、1) 的区别与联系(1)将函数y=ax中的字母x,y对换一下就变成了函数y=logax,所以称函数y=ax与函数y=logax互为.(2)若函数y=ax图象经过点(a,b),则反函数y=logax图象经过点,所以函数y=ax图象与函数y=logax图象关于直线对称.问题3:关于对数的不等式的解法(1)形如logaf(x)b的不等式,先将其转化为logaf(x)logaab,再根据底数a的值确定函数y=logax的单调性:当0alogaab ;当a1时,logaf(x)logaab.(2)形如logaf(x)logag(x)的不等式,首先要求定义域,其次根据底数a的值确定函数y=logax的单调
3、性:当0alogag(x);当a1时,logaf(x)logag(x).(3)形如logaf(x)clogag(x)的不等式,先将其转化为logaf(x)logag(x)c,再根据(2)的解法进行求解,注意求定义域即解不等式组.问题4:判断复合函数y=logaf(x)的单调性.(1)先求函数的定义域,即解不等式;(2) 在函数的定义域范围下讨论函数t=f(x)的单调性;(3) 确定底数a的值,若0a1,则t=f(x)的单调性与y=logaf(x).1.若log2a1,则下列说法正确的是.0a1,b1,b0;0a0;a1,b0.2.如果loxloy0,且a1)的反函数且f(2)=1,求f(x).
4、对数函数的图象已知f(x)=ax,g(x)=logax(a0,且a1),若f(3)g(3)loga5,则m的取值范围是.(2)已知loga1,则a的取值范围为.(3)已知log0.72x0且a1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是下图中的. 若a0且a1,且loga(2a+1)loga3a1).(1)求f(x)的定义域和值域;(2)判断并证明f(x)的单调性.1.已知集合M=x|x1,则MN=. 2.若函数f(x)=a-x(a0,a1)是定义域为R的增函数,则函数g(x)=loga(x+1)的图象大致是.3.满足不等式log3x0(a0,a1).(2013年福建卷)函数f(x)=l
5、n(x2+1)的图象大致是().考题变式(我来改编):第7课时对数函数的图象与性质的应用知识体系梳理问题1:(1)(0,+)R(2)减函数增函数问题2:(1)反函数(2)(b,a)y=x问题3:(1)(2)(3)问题4:(1)f(x)0(3)相反相同基础学习交流1.函数y=log2x在(0,+)上为增函数,由log2a0=log21,得0a1=()0,得b0.2.1yxy=lox是(0,+)上的减函数,且loxloyy1.3.-3y=lox是上的减函数,故当x=8时,函数取得最小值-3.4.解:因为函数y=ax(a0,且a1)的反函数为y=logax(a0,且a1),所以f(x)=logax,
6、所以f(2)=loga2=1,解得a=2,所以f(x)=log2x.重点难点探究探究一:【解析】由于指数函数与对数函数互为反函数,其图象关于直线y=x对称,故错误;观察两个选项中的图象,中显然f(3)g(3)0,不符合要求.【答案】【小结】结合函数解析式判断函数的图象,首先要考虑函数对应哪一个基本初等函数;其次找出函数图象的特殊点,判断函数的基本性质:定义域、单调性以及奇偶性等;最后综合上述几个方面将图象选出.此类题目常用排除法,即根据性质逐一加以排除.探究二:【解析】(1)0a1,f(x)=logax在(0,+)上是减函数,0m1得logalogaa,当a1时,有a,此时无解;当0a1时,有
7、a,a1,即a的取值范围是(,1).(3)函数y=log0.7x在(0,+)上为减函数,由log0.72x1,即x的取值范围是(1,+).【答案】(1)0mlogab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0ab的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解.(3)形如logaxlogbx的不等式,可利用图象求解.探究三:【解析】设u(x)=2-ax,a0且a1,u(x)在上为减函数,故要使y=loga(2-ax)在上为减函数,则需y=logau为增函数,故a1.又u(x)=2-ax0在上恒成立,只须u(1)0,即2-a0,a2.
8、由可知a的取值范围为1a2.【答案】(1,2)【小结】求参数的取值范围要充分挖掘题目中包含的不等关系,本题中函数y=loga(2-ax)的单调性须依据对数函数与一次函数的单调性综合考虑,还须注意定义域的限制.思维拓展应用应用一:(法一)首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除.其次,从单调性着手,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除.(法二)若0a1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有满足条件.(法三)如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y
9、=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接找出答案.应用二:不等式可化为loga(2a+1)loga3aloga1,等价于或解得a1,a-ax0,即aax,得x1,故f(x)的定义域为(-,1),由0a-axa,可知loga(a-ax)x1x2,又a1,a-a-,loga(a-)loga(a-),即f(x1)f(x2),故f(x)在(-,1)上为减函数.基础智能检测1.x|2x1知x2,故N=x|x2,MN=x|2x3.2.因为函数f(x)=a-x的定义域为R的增函数,所以0a1.另外g(x)=loga(x+1)的图象是由函数h(x)=logax的图象向左平移1个单位得到的,故正确.3.x|0x3因为log3x1=log33,所以x满足的条件为即0x3.所以x的取值集合为x|0xloga(2x-1).当a1时,不等式等价于解得x.当0a4.综上知,当a1时,x;当0a4.全新视角拓展A本题考查的是对数函数的图象.由函数解析式可知f(x)=f(-x),即函数为偶函数,排除C;由函数过(0,0)点,排除B,D.思维导图构建反函数y=x减函数增函数f(x)0
