1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2019全国,理1)已知集合M=x|-4x2,N=x|x2-x-60,则MN=()A.x|-4x3B.x|-4x-2C.x|-2x2D.x|2x3解析由题意得N=x|-2x3,则MN=x|-2x2.B=(-,-1(2,+).则RB=(-1,2,A(RB)=(-1,1.答案D3.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是()A.tsB.tsC.tbc,则abB.若ab,cd,则a-cb-dC.若ab,cd,则acbdD.若ab,则abc,但ab,cd,但a-c=-2,b-d=-1,
2、a-cb,cd,但ac=0,bd=2,acbd,故C错;因为0ab,故(a)2(b)2,即ab,故D正确.答案D5.不等式2x+2x+1的解集是()A.(-3,-2)(0,+)B.(-,-3)(-2,0)C.(-3,0)D.(-,-3)(0,+)解析不等式2x+20,即等价于x(x+3)(x+2)0,得它的解集为(-3,-2)(0,+).答案A6.若不等式x2-(a+1)x+a0的解集是-4,3的子集,则a的取值范围是()A.-4,1B.-4,3C.1,3D.-1,3解析由x2-(a+1)x+a0得(x-a)(x-1)0,若a=1,不等式解集为1,满足1-4,3;若a1,有ax1,即解集为a,
3、1,若满足a,1-4,3,则-4a1,有1xa,即解集为1,a,若满足1,a-4,3,则1a3,综上-4a3,即实数a的取值范围是-4,3.答案B7.若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y4m2-3m有解,则实数m的取值范围是()A.(-1,4)B.(-4,1)C.(-,-1)(4,+)D.(-,0)(3,+)解析1x+4yx+y4=2+y4x+4xy2+2y4x4xy=4,则x+y44,不等式x+y44,解得m4,故选C.答案C8.某工厂年产量第二年增长率为a,第三年增长率为b,这两年年产量的平均增长率为x,则()A.xa+b2B.xa+b2C.xa+b2D.x0时,不等式x2
4、-mx+90恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-,6)B.(-,6C.6,+)D.(6,+)解析当x0时,不等式x2-mx+90恒成立,即不等式mx+9x恒成立,即mx+9xmin.x+9x2x9x=6(当且仅当x=3时取“=”),因此x+9xmin=6,所以m0,t+14t2-80,t2+4t-320,即(t+8)(t-4)0,t4,故x+2y的最小值为4.答案A12.对实数a和b,定义运算“”:ab=a,a-b1,b,a-b1.设函数y=(x2-2)(x-x2),xR.若函数y=c的图象与x轴恰有两个交点,则实数c的取值范围是
5、()A.(-,-2-1,32B.(-,-2-1,-34C.-1,1414,+D.-1,-3414,+解析由题可知y=x2-2,-1x32,x-x2,x32,作出函数图象,如图所示,由图象可知,y=c与上述图象有两个交点时,c的取值范围为(-,-2-1,-34.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,则a的取值范围是.解析由题意,设y=x2+(a2-1)x+a-2,要使得关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,根据二次函数的图象与性质,则满足x=1时,y0,即a2+a
6、-20,即(a-1)(a+2)0,解得-2a1,即实数a的取值范围是-2a1.答案-2a0(a,b,cR)的解集为x|3x4,则c2+5a+b的最小值为.解析由不等式解集知a0,y0,求z=(x+2y)2x+4y的最值.甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:甲:z=(x+2y)2x+4y=2+4xy+4yx+818,乙:z=(x+2y)2x+4y22xy28xy=16.你认为甲、乙两人解法正确的是.请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确.答案甲答案不唯一.如:已知x0,y0,求z=(a+b)1a+1b的最小值.甲:z=(a+b)1a+1b=1+ba+ab+14,乙
7、:z=(a+b)1a+1b2ab21a1b=4.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a,b为正数,且ab,比较a3+b3与a2b+ab2.解(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),a0,b0且ab,(a-b)20,a+b0,(a3+b3)-(a2b+ab2)0,即a3+b3a2b+ab2.18.(12分)若bc-ad0,bd0,求证:a+bbc+dd.证明bc-ad0,bd0,bcad,1bd0,bc1bdad1bd,即cda
8、b,cd+1ab+1,c+dda+bb,即a+bbc+dd.19.(12分)已知不等式ax2-3x+20的解集为x|xb.(1)求a,b;(2)解不等式x-cax-b0.解(1)由题意可知1,b为方程ax2-3x+2=0的两根,据根与系数的关系有1+b=3a,1b=2a,可得a=1,b=2.(2)由(1)可知,不等式x-cx-20,当c2时,原不等式的解集为x|x2;当c=2时,原不等式的解集为x|x2;当c2时,原不等式的解集为x|xc.20.(12分)已知函数f(x)=(m+1)x2-mx+1.(1)当m=5时,求不等式f(x)0的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为R,求实数m的取值范
9、围.解(1)当m=5时,f(x)=6x2-5x+1,不等式f(x)0即为6x2-5x+10,解得该不等式的解集为xx12.(2)由题意得(m+1)x2-mx+10的解集为R.当m=-1时,该不等式的解集为(-1,+),不符合题意,舍去;当m-1时,=(-m)2-4(m+1)0,解得2-22m25时,不等式ax258+50+16(x2-600)+15x有解,等价于x25时,a150x+16x+15有解,由于150x+16x2150x16x=10,当且仅当150x=x6,即x=30时等号成立,所以a10.2.当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入
10、之和,此时该商品的每件定价为30元.22.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,aR.(1)若a=2,试求函数yx(x0)的最小值;(2)对于任意的x0,2,不等式ya成立,试求a的取值范围.解(1)依题意得yx=x2-4x+1x=x+1x-4.因为x0,所以x+1x2.当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.所以yx-2.故当x=1时,yx的最小值为-2.(2)因为y-a=x2-2ax-1,所以要使得“对于任意的x0,2,不等式ya成立”只要“x2-2ax-10在0,2上恒成立”.不妨设z=x2-2ax-1,则只要z0在0,2上恒成立.所以0-0-10,4-4a-10,解得a34.所以a的取值范围是34,+.
