1、专题14 空间向量在立体几何 中的应用 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-2-能力目标解读 热点考题诠释 本部分主要考查利用空间向量工具解决立体几何中平行、垂直的证明,距离的求解,空间角的求解,并且此类问题常以解答题的形式出现.若出现在客观题中,一般以求线线角、线面角或距离问题为主.对于立体几何中的平行、垂直的证明一般利用传统的几何知识和相关的性质或定理进行证明,但如果所给的载体结构容易建系和求出相关点的坐标,可选用空间向量证明.对于距离的求解可以利用等体积法,也可以利用向量解决,对于空间角,在大多数情况下,传统的几何法、向量
2、法都可以解决,但首先应选用向量法,这样降低了思维的难度,但对运算能力有较高的要求.本部分主要考查学生的空间想象能力、化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力,预测在 2015 年的高考中,本部分内容仍以解答题形式出现,难度中档,其中向量工具求空间角仍然是重点,对于探索类问题也要引起足够的重视.第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-3-能力目标解读 热点考题诠释 1231.(2014 广东高考,理 5)已知向量 a=(1,0,-1),则下列向量中与 a 成 60夹角的是()A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.
3、(-1,0,1)命题定位:本题考查空间向量的数量积运算和向量夹角的求法.能力方面,主要考查运算求解能力、推理论证能力.答案 解析 解析 关闭对于 A 中的向量 a1=(-1,1,0),cos=1|1|=-1 2 2=-12,a1 与 a 的夹角为120,不合题意;对于 B 中的向量 a2=(1,-1,0),cos=2|2|=1 2 2=12,a2与 a 的夹角为 60,符合题意;对于 C 中的向量 a3=(0,-1,1),cos=3|3|=-1 2 2=-12,a3 与 a 的夹角为 120,不合题意;对于 D 中的向量a4=(-1,0,1),cos=4|4|=-2 2 2=-1,a4 与 a
4、 的夹角为 180,不合题意,故选B.答案 解析 关闭B 4第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-4-能力目标解读 热点考题诠释 1232.(2014 课标全国高考,理 11)直三棱柱 ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N 分别是 A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.22命题定位:本题考查利用空间向量求异面直线所成的角或利用平移法求异面直线的夹角.能力方面,要求学生要掌握空间向量这一工具性知识,用向量来解决夹角问题,建系是关键,运算是核心.
5、突出了对问题的转化能力和运算求解能力的考查.4第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-5-能力目标解读 热点考题诠释 123解析:如图,以点 C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C 所在的直线分别为 x轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,不妨设 BC=CA=CC1=1,可知点 A(0,1,1),N 0,12,0,B(1,0,1),M 12,12,0.=0,-12,-1,=-12,12,-1.cos=|=3010.根据 与 的夹角及 AN 与 BM 所成角的关系可知,BM 与 AN 所成角的余弦值为 3010.答案:C 4第五
6、部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-6-能力目标解读 热点考题诠释 1233.(2014 四川高考,理 8)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 O 为线段BD 的中点.设点 P 在线段 CC1上,直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为,则sin 的取值范围是()A.33,1 B.63,1 C.63,2 23 D.2 23,1 命题定位:本题考查了直线与平面所成角问题,此类问题可选用空间向量这一工具解决,突出建系及运算能力;也可以直接构造平面角解决,突出了构造及转化能力.4第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用
7、高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-7-能力目标解读 热点考题诠释 123解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设 DC=DA=DD1=1,则 D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O 12,12,0,并设点 P(0,1,t)且 0t1.则 =-12,12,t,1D =(-1,0,-1),1B =(0,1,-1).4第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-8-能力目标解读 热点考题诠释 123设平面 A1BD 的法向量
8、为 n=(x0,y0,z0),则有 A1D =0,A1B =0,即 -x0-z0=0,y0-z0=0,取 x0=1,y0=-1,z0=-1,n=(1,-1,-1).sin=|cos|=|-1-|3 2+12(0t1),sin2=2+2t+13 2+12,0t1.令 f(t)=2+2t+13 2+12,0t1.则 f(t)=22+t-1-3 2+12 2=-(2-1)(+1)3 2+12 2,可知当 t 0,12 时,f(t)0;4第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-9-能力目标解读 热点考题诠释 123当 t=12时,f(t)=
9、0,当 t 12,1 时,f(t)0),则 =(-1,-3,t).设平面 PBC 的法向量 m=(x,y,z),则 m=0,m=0.所以-+3y=0,-3y+tz=0.令 y=3,则 x=3,z=6.所以 m=3,3,6.同理,平面 PDC 的法向量 n=-3,3,6.因为平面 PBC平面 PDC,所以 mn=0,即-6+362=0,解得 t=6,所以 PA=6.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-33-能力突破点一 能力突破点二 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 能力突破点三 能力突破点二 利用空间向量求
10、线线角、线面角思考:利用空间向量求线线角、线面角的一般思路如何?提示:先合理建系,找出所研究对象的对应向量,然后通过研究向量的夹角得出所要求的角.(1)异面直线所成的角,可以通过两条直线方向向量的夹角 求得,即cos=|cos|.(2)直线与平面所成的角 主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角 求得,即 sin=|cos|.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-34-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练【例 2】(2014 北京高考,理 17)如图,正方形 AMDE
11、的边长为 2,B,C 分别为 AM,MD 的中点.在五棱锥 P-ABCDE 中,F 为棱 PE 的中点,平面 ABF与棱 PD,PC 分别交于点 G,H.(1)求证:ABFG;(2)若 PA底面 ABCDE,且 PA=AE,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求线段 PH 的长.分析推理(1)此问题的切入点是 ABED 的利用,体现出从更高难度来证明线线平行问题;(2)首先要合理建系,明确相关点的坐标,再求出直线 BC 的方向向量和平面 ABF 的法向量;求线段 PH 的长时,设出点的坐标属于点睛之笔.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力
12、突破 高考能力训练 高考能力突破-35-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 我的解答:(1)证明:在正方形 AMDE 中,因为 B 是 AM 的中点,所以 ABDE.又因为 AB平面 PDE,所以 AB平面 PDE.因为 AB平面 ABF,且平面 ABF平面 PDE=FG,所以 ABFG.(2)解:因为 PA底面 ABCDE,所以 PAAB,PAAE.如图建立空间直角坐标系 A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),=(1,1,0).能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何
13、中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-36-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 设平面 ABF 的法向量为 n=(x,y,z),则 AB =0,AF =0,即 =0,+=0.令 z=1,则 y=-1.所以 n=(0,-1,1).设直线 BC 与平面 ABF 所成角为,则 sin=|cos|=BC|BC|=12.因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为6.设点 H 的坐标为(u,v,w).因为点 H 在棱 PC 上,所以可设 =(01),即(u,v,w-2)=(2,1,-2),所以 u=2,v=,w=2-2.能力突破
14、点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-37-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 因为 n 是平面 ABF 的法向量,所以 n =0,即(0,-1,1)(2,2-2)=0,解得=23,所以点 H 的坐标为 43,23,23.所以 PH=43 2+23 2+-43 2=2.点评:利用线面平行来证明线线平行时,关键要找准其中一条直线所在的面,有时需要多次尝试.对于线段 PH 的求解,要充分利用点 H 在棱 PC 上这一重要信息.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的
15、应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-38-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 2.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2,C1H平面 AA1B1B,且 C1H=5.(1)求异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦值;(2)设 N 为棱 B1C1的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN平面 A1B1C1,求线段 BM 的长.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-39-能力突破点一 能
16、力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 解:如图所示,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点.依题意得 A(2 2,0,0),B(0,0,0),C(2,-2,5),A1(2 2,2 2,0),B1(0,2 2,0),C1(2,2,5).(1)易得 =(-2,-2,5),11 =(-2 2,0,0),于是 cos=11|11|=432 2=23.所以异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦值为 23.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-40-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突
17、破方略 能力突破模型 能力迁移训练(2)由 N 为棱 B1C1的中点,得 N 22,3 22,52 .设 M(a,b,0),则 =22-a,3 22-b,52 .由 MN平面 A1B1C1,得 11 =0,11 =0,即 22-a(-2 2)=0,22-a(-2)+3 22-b(-2)+52 5=0.解得 =22,=24,故 M 22,24,0,因此 =22,24,0.所以线段 BM 的长|=104.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-41-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力
18、迁移训练 能力突破点三 利用空间向量求二面角及距离思考 1:如何求平面的法向量?提示:(1)待定系数法:设出法向量坐标,利用垂直关系建立坐标的方程求解.(2)先确定平面的垂线,然后取相关线段对应的向量,即确定了平面的法向量.思考 2:如何用向量法求二面角?提示:设 n1,n2分别为二面角的两个半平面的法向量,其二面角为,则=或=-,其中 cos=12|1|2|.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-42-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 思考 3:如何用向量法研究空间
19、中的距离问题?提示:(1)点点距离:点与点的距离是以这两点为起点和终点的向量的模;(2)点线距离:点 M 到直线 a 的距离,设直线的方向向量为 a,直线上任一点为 N,则点 M 到直线 a 的距离 d=|sin;(3)线线距离:两条平行线间的距离,转化为点线距离;两条异面直线间的距离,转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度;(4)点面距离:点 M 到平面 的距离,如平面 的法向量为 n,平面 内任一点为 N,则点 M 到平面 的距离 d=|cos|=|MN|;(5)线面距离:直线和与它平行的平面间的距离,转化为点面距离;(6)面面距离:两平行平面间的距离,转化为点面距离.能力突破点四 第五部
20、分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-43-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练【例 3】(2014 江西高考,理 19)如图,四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为矩形,平面 PAD平面 ABCD.(1)求证:ABPD;(2)若BPC=90,PB=2,PC=2,问 AB 为何值时,四棱锥 P-ABCD 的体积最大?并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值.分析推理(1)要证 ABPD,只需证 AB平面 PAD,只要寻求线面垂直成立的条件,利用已知条件中的垂直关系即可得证.(2)先
21、根据已知条件确定 AB 的长,再建立适当的空间直角坐标系,借助于两平面的法向量求出两个平面夹角的余弦值.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-44-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 我的解答:(1)证明:ABCD 为矩形,故 ABAD;又平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,所以 AB平面 PAD,故 ABPD.(2)解:过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O,过 O 作 BC 的垂线,垂足为 G,连接 PG.故 PO平面 ABCD,BC平面 P
22、OG,BCPG,在 RtBPC 中,PG=2 33,GC=2 63,BG=63,设 AB=m,则 OP=2-O2=43-2,故四棱锥 P-ABCD 的体积为V=13 6m 43-2=3 8-62.因为 m 8-62=82-64=-6 2-23 2+83,能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-45-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 故当 m=63,即 AB=63 时,四棱锥 P-ABCD 的体积最大.此时,建立如图所示的坐标系,各点的坐标为O(0,0,0),B 63,-
23、63,0,C 63,2 63,0,D 0,2 63,0,P 0,0,63 .故 =63,2 63,-63 ,=(0,6,0),=-63,0,0,设平面 BPC 的法向量 n1=(x,y,1),则由 n1 ,n1 得 63 x+2 63 y-63=0,6y=0,解得 x=1,y=0,n1=(1,0,1).能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-46-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 同理可求出平面 DPC 的法向量 n2=0,12,1,从而平面 BPC 与平面 DPC 夹
24、角 的余弦值为cos=|12|1|2|=1 2 14+1=105.点评:第(1)问中体现了证明线线垂直的常用方法是利用线面垂直得出线线垂直;第(2)问中函数思想的应用是解决问题的关键.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-47-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 3.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,E 为PD 的中点.(1)求证:PB平面 AEC;(2)设二面角 D-AE-C 为 60,AP=1,AD=3,求三棱锥 E-ACD
25、 的体积.能力突破点四 解:(1)连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点.又 E 为 PD 的中点,所以 EOPB.EO平面 AEC,PB平面 AEC,所以 PB平面 AEC.第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-48-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练(2)因为 PA平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,的方向为 x 轴的正方向,|为单位长,建立空间直角坐标系 A-xyz
26、,则 D(0,3,0),E 0,32,12,=0,32,12.设 B(m,0,0)(m0),则 C(m,3,0),=(m,3,0),设 n1=(x,y,z)为平面 ACE的法向量,能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-49-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 则 1AC =0,1AE =0,即 +3y=0,32 y+12 z=0,可取 n1=3,-1,3.又 n2=(1,0,0)为平面 DAE 的法向量,由题设|cos|=12,即 33+42=12,解得 m=32.因为
27、 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E-ACD 的高为12.三棱锥 E-ACD 的体积 V=13 12 3 32 12=38.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-50-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 能力突破点四 利用空间向量解决探索性问题思考:如何利用空间向量解决立体几何中的探索性问题?提示:(1)根据所研究的几何体的结构特征合理建系,只需把所研究的问题通过坐标运算来解决,不需进行复杂的作图、论证和推理.(2)解题时,要把成立的结论当条件,列出方程或方程组,把“
28、是否存在”问题转化为“方程或方程组是否有实数解”,这种向量的坐标方法把几何问题转化为代数问题,体现了数学中的化归思想.能力突破点四 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-51-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三【例 4】(2014 湖北高考,理 19)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N 分别是棱 AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点 P,Q 分别在棱DD1,BB1上移动,且 DP=BQ=(02).(1)当=1 时,证明:直线 BC1平面 EFPQ;(2)是否存在,使面 EFPQ 与
29、面 PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.能力突破点四 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-52-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 分析推理解决立体几何问题往往可以用两种方法来解决,一是几何法,二是向量法.第(1)问的突破口是在平面 EFPQ 内找到一条与 BC1平行的直线,中位线定理与构造平行四边形常用来解决平面中的平行问题.第(2)问关键是利用平面 EFPQ平面 PQMN 这一信息,得到一个含有参数 的方程.能力突破点四 能力突破方略 能力
30、突破模型 能力迁移训练 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-53-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 我的解答:方法一(几何方法)图(1)证明:如图,连接 AD1,由 ABCD-A1B1C1D1是正方体,知 BC1AD1.当=1时,P 是 DD1的中点,又 F 是 AD 的中点,所以 FPAD1.所以 BC1FP.而 FP平面 EFPQ,且 BC1平面 EFPQ,故直线 BC1平面 EFPQ.能力突破点四 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高
31、考能力训练 高考能力突破-54-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三(2)解:如图,连接 BD.图因为 E,F 分别是 AB,AD 的中点,所以 EFBD,且 EF=12BD.又 DP=BQ,DPBQ,所以四边形 PQBD 是平行四边形,故 PQBD,且 PQ=BD,从而 EFPQ,且 EF=12PQ.能力突破点四 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-55-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 在 RtEBQ 和 RtFDP 中,因为 BQ=DP=,BE=DF=1,于是 EQ=F
32、P=1+2,所以四边形 EFPQ 是等腰梯形.同理可证四边形 PQMN 是等腰梯形.分别取 EF,PQ,MN 的中点为 H,O,G,连接 OH,OG,则 GOPQ,HOPQ,而 GOHO=O,故GOH 是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角.若存在,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角,则GOH=90.连接 EM,FN,则由 EFMN,且 EF=MN,知四边形 EFNM 是平行四边形.连接 GH,因为 H,G 是 EF,MN 的中点,所以 GH=ME=2.能力突破点四 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能
33、力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-56-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 在GOH 中,GH2=4,OH2=1+2-22 2=2+12,OG2=1+(2-)2-22 2=(2-)2+12,由 OG2+OH2=GH2,得(2-)2+12+2+12=4,解得=1 22,故存在=1 22,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角.方法二(向量方法)以 D 为原点,射线 DA,DC,DD1分别为 x,y,z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.图能力突破点四 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高
34、考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-57-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 由已知得 B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).1 =(-2,0,2),=(-1,0,),=(1,1,0).(1)证明:当=1 时,=(-1,0,1),因为1 =(-2,0,2),所以1 =2 ,即 BC1FP.而 FP平面 EFPQ,且 BC1平面 EFPQ,故直线 BC1平面 EFPQ.能力突破点四 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突
35、破-58-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三(2)解:设平面 EFPQ 的一个法向量为 n=(x,y,z),则由 FE =0,FP =0,可得 +=0,-+=0,于是可取 n=(,-,1).同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m=(-2,2-,1).若存在,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角,则 mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=1 22.故存在=1 22,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角.点评:从求解过程可看出几何法强调构造,但技巧性强;向量法强调运算,思路简单,但运算较复杂.能力突破点四 能力突
36、破方略 能力突破模型 能力迁移训练 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-59-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 4.如图,在 RtABC 中,C=90,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DEBC,DE=2,将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置,使 A1CCD,如图.图图(1)求证:A1C平面 BCDE;(2)试在线段 A1D 上确定一点 M,使得 CM 与平面 A1BE 所成的角为 45 能力突破点四 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用
37、高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-60-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三(1)证明:折起前 BCAC,DEBC,DEAC.折起后,仍有 DEA1D,DECD,DE平面 A1DC,DEA1C.又 A1CCD,A1C平面 BCDE.(2)解:如图,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系 C-xyz,则 C(0,0,0),A1(0,0,2 3),D(0,2,0),B(3,0,0),E(2,2,0).1B =(3,0,-2 3),=(-1,2,0),能力突破点四 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力
38、突破 高考能力训练 高考能力突破-61-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),则由 n1B =n =0,得 3-2 3z=0,-+2=0,令 x=2,则 y=1,z=3,n=(2,1,3).依题意设 =t1 ,又1 =(0,-2,2 3),=(0,-2t,2 3t).=+=(0,2,0)+(0,-2t,2 3t)=(0,2-2t,2 3t).CM 与平面 A1BE 所成的角为 45,sin 45=|cos|=CM|CM|=|2-2+6|8(2-2)2+(2 3t)2=22,解得 t=12,即 =12 1 ,故当 M 为线段 A1D 的中点时
39、,CM 与平面 A1BE 所成的角为 45.能力突破点四 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练 1.一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是等边三角形,若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),则第五个顶点的坐标为()A.(1,1,1)B.(1,1,2)C.(1,1,3)D.(2,2,3)-62-1234 答案 解析 解析 关闭因为正视图和侧视图是等边三角形,俯视图是正方形,所以该几何体是四棱锥.还
40、原几何体并结合其中四个顶点的坐标,建立如图所示的空间直角坐标系,则第五个顶点的坐标为(1,1,3).答案 解析 关闭C 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练-63-12342.(2014 四川成都七中一诊)已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AC1与平面A1BD,CB1D1交于 E,F 两点.给出以下命题,其中真命题有 .(写出所有正确命题的序号)点 E,F 为线段 AC1的两个三等分点;1 =-23 +13 +13 1 ;设 A1D1的中点为 M,CD 的中点为 N,则直线 MN 与平面 A1DB 有一个交点;E 为A
41、1BD 的内心;设 K 为B1CD1的外心,则-1-BFD为定值.答案 解析 解析 关闭对,在对角面 ACC1A1 中可看出点 E,F 为线段 AC1 的两个三等分点,正确;对于,1 =1 +11 =23(+1 )-=-13 +23 +23 1 =-13 +23 +23 1 ,故错;对于,取 DD1 的中点 R,则易证平面 MNR平面 A1BD,故错;对于,A1E 为A1BD 中 BD 边上的中线,故 E 不一定为A1BD 的内心(实际上是重心),故错;对于,设 K 为B1CD1 的外心,则-1-BFD=-1BD=13,为定值.正确.答案 解析 关闭 第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的
42、应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练-64-12343.(2014 四川成都三诊)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M 为正方形 AA1D1D 的中心,N 为棱 AB 的中点.(1)求证:MN平面 BB1D1D;(2)求二面角 D1-MB1-N 的余弦值.第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练-65-1234解:(1)如图,连接 AD1,BD1,易知 MAD1.易知 M 为 AD1 的中点,MNBD1.又MN平面 BB1D1D,BD1平面 BB1D1D,MN平面 BB1D1D.第五部分 专题
43、14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练-66-1234(2)分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),B1(2,2,2),M(1,0,1),N(2,1,0).1M =(1,0,-1),1 =(1,2,1).第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练-67-1234设 n1=(x1,y1,z1)为平面 D1MB1 的一个法向量.1M n1=0;1 n1=0.1-1=0,1+21+1=0.取 x1=1,则 y1=-1,z1
44、=1.n1=(1,-1,1).设 n2=(x2,y2,z2)为平面 NMB1 的一个法向量.第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练-68-1234 =(1,1,-1),1 =(1,2,1),2+2-2=0,2+22+2=0.取 x2=3,则 y2=-2,z2=1.n2=(3,-2,1).cos=12|1|2|=427.易知二面角 D1-MB1-N 为钝角,故二面角 D1-MB1-N 的余弦值为-427.第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练-69-12344.(2014
45、吉林长春三调)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ACAB,AB=2AA1,M 是 AB 的中点,A1MC1是等腰三角形,D 为 CC1的中点,E 为BC 上一点.(1)若 DE平面 A1MC1,求;(2)求直线 BC 和平面 A1MC1所成角的余弦值.第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练-70-1234解:(1)三棱柱 ABC-A1B1C1为直三棱柱,AA1平面 ABC.又 ACAB,以 A 为坐标原点,分别以 AB,AA1,AC 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设 AB=2AA1=2,又
46、三角形 A1MC1是等腰三角形,A1M=A1C1=2,易得 A1(0,1,0),M(1,0,0),C1(0,1,2),1M =(1,-1,0),11 =(0,0,2).第五部分 专题14 空间向量在立体几何中的应用高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练-71-1234设平面 A1MC1的一个法向量为 n=(x,y,z),则有 A1M =0,A1C1 =0,即 -=0,2z=0,令 x=1,则有 n=(1,1,0).设=,则 E 21+,0,21+.又 D 0,12,2,=21+,-12,21+-2.若 DE平面 A1MC1,则 n ,有21+12=0,解得=13.=13.(2)由(1)可知平面 A1MC1的一个法向量是 n=(1,1,0),B(2,0,0),C(0,0,2),求得 =(-2,0,2).设直线 BC 和平面 A1MC1所成的角为,0,2,则 sin=|BC|BC|=2 2 6=33.所以 cos=63.故直线 BC 和平面 A1MC1所成的角的余弦值为 63.
