1、高考资源网（） 您身边的高考专家第六章综合测评一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果物体的运动方程为s(t)=+2t(t1),其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在2秒末的瞬时速度是()A.米/秒B.米/秒C.米/秒D.米/秒答案A解析s(t)=+2t,s(t)=-+2.故物体在2秒末的瞬时速度s(2)=-+2=(米/秒).2.(2020全国,文15)设函数f(x)=.若f(1)=,则a=.答案1解析对函数f(x)=求导得f(x)=,由题意得f(1)=,解得a=1.3.(2020全国,理6)函数f(x)=x4-2x3的图
2、像在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1答案B解析对函数f(x)求导可得f(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1)处的切线的斜率为k=f(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.4.函数f(x)=exsin x在区间上的值域为()A.0,B.(0,)C.0,)D.(0,答案A解析f(x)=ex(sin x+cos x).x,f(x)0,f(x)在上是单调增函数,f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f.5.(2020河南周口中英文学校高二月考
3、)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是()A.(2,3)B.(3,+)C.(2,+)D.(-,3)答案B解析f(x)=6x2+2ax+36.因为f(x)在x=2处有极值,所以f(2)=0,解得a=-15.令f(x)0,得x3或x0,a1,函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是()A.2,5B.(-,5)C.(3,5)D.(1,2答案A解析函数f(x)在R上单调递增,当x1;当x1时,f(x)=2x-0恒成立,令g(x)=2x3+ax-4,x1,+),则g(x)=6x2+a,a0,g(x)0,即g(x)在1,+)上单调递增,g(x)
4、g(1)=2+a-4=a-2,要使当x1时f(x)0恒成立,则a-20,解得a2.函数f(x)在R上单调递增,还需要满足a11+aln 1,即a5,综上,a的取值范围是2,5.故选A.7.设函数f(x)=x-ln x(x0),则y=f(x)()A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点答案D解析f(x)=,令f(x)=0,得x=3,当0x3时,f(x)0,f(e)=-10,所以y=f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点.8.(2020山西高二月考)f(x)是定义在R上的偶函数
5、,当x0时,xf(x)-f(x)0的解集为()A.(-,-3)(3,+)B.(-,-3)(0,3)C.(-3,3)D.(-3,0)(3,+)答案B解析设函数g(x)=,则g(x)=,当x0时,xf(x)-f(x)0,所以此时g(x)=0时单调递减,且f(3)=0.画出函数g(x)=的草图(只体现单调性),则不等式0的解集为0x3或x-3.即不等式的解集为(-,-3)(0,3).二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.(2020山东高三月考)设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-b有三个
6、零点,则实数b可取的值可能是()A.0B.C.1D.2答案BC解析由题意,函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则g(x)=f(x)-b=0,即f(x)=b有三个根,当x0时,f(x)=ex(x+1),则f(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2),由f(x)0得x+20,即x0得x+20,即-2x0,此时f(x)为增函数,即当x=-2时,f(x)取得极小值f(-2)=-,作出f(x)的大致图像如图:要使f(x)=b有三个根,则0b1,则实数b可取的值可能是,1.故选BC.10.(2020福建连城第一中学高二期中)如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图像,则下面判断正确的有()A.在
7、(-2,1)上f(x)是增函数B.在(3,4)上f(x)是减函数C.在x=-1处取得极小值D.在x=1处取得极大值答案BC解析根据导函数的正负,得到原函数的增减性,由图可得,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-3,-1)-1(-1,2)2(2,4)4(4,+)f(x)-0+0-0+f(x)极小值极大值极小值在(3,4)上f(x)是减函数,在x=-1处取得极小值.正确的有B,C.11.(2021辽宁大连高三二模)已知函数f(x)=x+,则下列说法正确的是()A.f(x)在-2,1上是增函数B.f(x)在值域是-2,4C.方程ff(x)=2有两个实数解D.对于x1,x2(x1x2
8、)满足f(x1)=f(x2),则x1+x20,即此时f(x)0,f(x)单调递增,所以A正确;当x-2,1时,f(x)0,当x(1,2时,f(x)0,即x(-2,1)时,函数是增函数,x(1,2)时,函数是减函数,f(x)max=f(1)=4,最小值在x=-2或x=2时取得,f(2)=2,f(-2)=-2,所以最小值为-2,所以B正确;ff(x)=2,可得f(x)=2或f(x)=-1,如图,满足题意的x的值有3个,所以C错误;由f(x1)=f(x2),可知x1(-1,1),x2(1,2),由图可知x1+x20且x1,所以函数f(x)=的定义域为(0,1)(1,+),所以A不正确;由f(x)=,
9、当x(0,1)时,ln x0,f(x)0在定义域上有解,所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C是正确的;由g(x)=ln x-,则g(x)=(x0),所以g(x)0,函数g(x)单调递增,则函数f(x)=0只有一个根x0,使得f(x0)=0,当x(0,x0)时,f(x)0),所以g(x)0,函数g(x)单调递增,且g(1)=-10,所以函数f(x)在(1,2)先减后增,没有最大值,所以E不正确,故选BC.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2020甘肃武威第六中学高二月考)已知函数f(x)=2cos x+sin x,则f的值为.答案-解析依题意,得f(x)=-2sin x
10、+cos x,故f=-2sincos=-=-.14.(2020湖南长郡中学高三下学期第二次适应性考试)过曲线y=x3-3x2上一点(2,-4)作曲线的切线,则切线方程为.答案9x+4y-2=0或y=-4解析由题意可得y=3x2-6x.设该切线切点为(x0,y0),则切线斜率为3-6x0,因此切线方程为y=(3-6x0)(x-x0)+y0=(3-6x0)(x-x0)+-3.又点(2,-4)在切线上,(3-6x0)(2-x0)+-3=-4,整理,得(2-x0)2(2x0-1)=0,解得x0=2或x0=.代入切线方程,化简得y=-4或y=-x+,整理得,y=-4或9x+4y-2=0.15.用长为18
11、 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为21,则该长方体的长、宽、高分别为时,其体积最大.答案2 cm,1 cm, cm解析设长、宽、高分别为2x,x,h,则4(2x+x+h)=18,h=-3x,V=2xxh=2x2=-6x3+9x2,由V=0,得x=1或x=0(舍去).x=1是函数V在(0,+)上唯一的极大值点,也是最大值点,故当长、宽、高分别为2 cm,1 cm, cm时,体积最大.16.(2020山东济南高二期中)若函数f(x)=mln x-x3+x2-4x+4在(2,+)上单调递减,则实数m的取值范围为.答案(-,20解析f(x)=mln x-x3+x2-4x+4
12、(x0),f(x)=-3x2+3x-4.由于f(x)在(2,+)上单调递减,即f(x)0在(2,+)上恒成立,即-3x2+3x-40在(2,+)上恒成立,设g(x)=3x3-3x2+4x(x2),则m3x3-3x2+4x在(2,+)上恒成立,即mg(x)min在(2,+)上恒成立,g(x)=9x2-6x+4,知=36-4940,g(x)单调递增,mg(x)min=g(2)=323-322+42=20,m20,即实数m的取值范围为(-,20.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=+x2.(1)求f(x)的递减区间;(2)当x
13、-1,1时,求f(x)的值域.解(1)由函数f(x)=+x2,得f(x)=x2+2x.由f(x)=x2+2x0,解得x(-,-2)(0,+),即f(x)在-1,0上单调递减,在0,1上单调递增.所以f(0)f(x)maxf(-1),f(1),且f(0)=0,f(-1)=,f(1)=,故f(x)的值域为.18.(12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中aR.已知f(x)在x=3处取得极值.(1)求f(x)的解析式;(2)求曲线y=f(x)在点A(1,16)处的切线方程.解(1)f(x)=6x2-6(a+1)x+6a.f(x)在x=3处取得极值,f(3)=69-6(a+1
14、)3+6a=0,解得a=3.f(x)=2x3-12x2+18x+8.(2)A点在f(x)上,由(1),可知f(x)=6x2-24x+18,f(1)=6-24+18=0,切线方程为y=16.19.(12分)(2020广东广州育才中学高二月考)已知函数f(x)=x2-2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当x2时,f(x)3x-4.解(1)依题意,知函数的定义域为x|x0,f(x)=2x-,由f(x)0,得x1;由f(x)0,得0x2时,g(x)0,g(x)在(2,+)上为增函数,g(x)g(2)=4-2ln 2-6+4=2-2ln 20,当x2时,x2-2ln x3x-4,即当
15、x2时,f(x)3x-4.得证.20.(12分)甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(单位:元)关于速度v(单位:千米/时)的函数关系是P=v4-v3+15v.(1)求全程运输成本Q(单位:元)关于速度v的函数关系式.(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时全程运输成本的最小值.解(1)Q=P=v4-v3+15v=v3-v2+15400=v2+6 000(0v100).(2)Q=-5v,令Q=0,则v=0(舍去)或v=80,当0v80时,Q0,当800,则当v=80时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且
16、Qmin=Q(80)=.故为使全程运输成本最少,汽车应从80千米/时的速度行驶,此时全程运输成本为元.21.(12分)(2020山东,21)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)1,求a的取值范围.解f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aex-1-.(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为
17、,2.因此所求三角形的面积为.(2)由题意a0,当0a1时,f(1)=a+ln a1.当a=1时,f(x)=ex-1-ln x,f(x)=ex-1-.当x(0,1)时,f(x)0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)1.当a1时,f(x)=aex-1-ln x+ln aex-1-ln x1.综上,a的取值范围是1,+).22.(12分)(2020全国,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f(x)=ex-1.当x0时,f(x
18、)0时,f(x)0.所以f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)f(x)=ex-a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在(-,+)单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a0时,由f(x)=0可得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).若0,则f(ln a)0,所以f(x)在(-,ln a)存在唯一零点.由(1)知,当x2时,ex-x-20,所以当x4且x2ln(2a)时,f(x)=-a(x+2)eln(2a)-a(x+2)=2a0.故f(x)在(ln a,+)存在唯一零点.从而f(x)在(-,+)有两个零点.综上,a的取值范围是.- 7 - 版权所有高考资源网
