1、第三章 空间向量与立体几何31 空间向量及其运算3.1.5 空间向量运算的坐标表示目标 1.掌握空间向量的坐标运算.2.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直.3.掌握向量长度，两向量夹角和两点间距离公式重点 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题难点 立体几何问题坐标化、代数化课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一 空间向量的加减和数量积运算的坐标表示填一填设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab(2)ab(3)a(R)(4)ab.(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a
2、3b3答一答1如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致知识点二 夹角与距离公式填一填在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则(1)模：|a|aa a21a22a23.(2)夹角：cosa，b ab|a|b|.a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23(3)垂直：若 ab，则有0.(4)平行：若 b0，则 abab(R)(5)AB(6)dAB|AB|a1b12a2b22a3b32.a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3(b1
3、a1，b2a2，b3a3)答一答2若 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab，则a1b1a2b2a3b3对吗？提示：不一定正确，因为 b1，b2，b3 可能为 0，只有 b10，b20，b30 时才有a1b1a2b2a3b3成立3空间向量的夹角与距离公式与平面向量的夹角与距离公式有什么不同？提示：空间向量的夹角公式及空间向量长度的坐标计算公式分别类似于平面向量的夹角公式及平面向量长度的坐标计算公式，只是都多了一个竖坐标1应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线2判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为 0.3用向量法
4、求两异面直线所成角时，首先依据题设取异面直线上的方向向量，然后求出两向量的夹角，若夹角为锐角则该角就是两异面直线的夹角，若向量夹角为钝角，则该角的补角就是两异面直线所成的角4用向量法求空间两点间的距离时，首先依据题意求出由两点组成的向量的坐标，再利用|a|a2求出两点间的距离类型一 空间向量的坐标运算【例 1】在ABC 中，A(2，5,3)，AB(4,1,2)，BC(3，2,5)(1)求顶点 B，C 的坐标；(2)求CA BC；(3)若点 P 在 AC 上，且AP12PC，求点 P 的坐标【解】(1)设 B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以AB(x2，y5，z3)，BC(x1x，y1
5、y，z1z)因为AB(4,1,2)，所以x24，y51，z32，解得x6，y4，z5，所以点 B 的坐标为(6，4,5)因为BC(3，2,5)，所以x163，y142，z155，解得x19，y16，z110，所以点 C 的坐标为(9，6,10)(2)因为CA(7,1，7)，BC(3，2,5)，所以CA BC 2123558.(3)设 P(x，y，z)，则AP(x2，y5，z3)，PC(9x，6y,10z)，于是有(x2，y5，z3)12(9x，6y,10z)，所以 x2129x，y5126y，z31210z，解得x133，y163，z163，故点 P 的坐标为133，163，163.向量的坐标
6、即终点坐标减去起点的对应坐标.反之求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点.在原点时，向量的坐标与原坐标相同.不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.已知向量 a(1，2,4)，求同时满足以下三个条件的向量x.ax0；|x|10；x 与向量 b(1,0,0)垂直解：设 x(x，y，z)，由三个条件知x2y4z0 x2y2z2100，x0 x0y4 5z2 5或x0y4 5z2 5，x(0,4 5，2 5)或(0，4 5，2 5)类型二 坐标形式下的平行与垂直【例 2】(1)已知向量 a(2,4,5)，b(3，x，y)，若 ab，求 x、y 的值(2)已知：a(2,4，x)，b(2，
7、y,2)，若|a|6，且 ab，求xy 的值【分析】(1)ab，ab，一定存在，故可设.(2)ab，ab0，再加上条件|a|6，可求 x、y 的值【解】(1)ab，ab.即 23，4x，5y.23，x6，y152.即 x6，y152.(2)ab 且|a|6，即224y2x0，2242x26.x4，y3，或x4，y1.xy1 或3.1要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算.2在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件.在条件不明确时，要分类讨论.如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，以 D
8、为坐标原点，DA，DC，DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系过 B 作 BMAC1 于 M，求点 M 的坐标解：解法一：设 M(x，y，z)，由题图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则AC1(a，a，a)，AM(xa，y，z)，BM(xa，ya，z)BMAC1，BM AC1 0，a(xa)a(ya)az0，即 xyz0.又AC1 AM，xaa，ya，za，即 xaa，ya，za.由得 x2a3，ya3，za3.M2a3，a3，a3.解法二：设AM AC1(a，a，a)，BM BAAM(0，a,0)(a，a，a)(a，aa，a)BMAC1，BM A
9、C1 0，即 a2a2a2a20，解得 13，AM a3，a3，a3，DM DA AM 2a3，a3，a3.M 点坐标2a3，a3，a3.类型三 坐标形式下的夹角与距离【例 3】在长方体 AC1 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，A1C1 与 B1D1 交于 N，BC1 与 B1C 交于点 M，且AM BN，建立空间直角坐标系(1)求AA1 的长；(2)求 cosBN，AD1【分析】关键是建立合适的直角坐标系，先求出AA1 的长，然后运用夹角公式求解【解】(1)如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1a，则 B(4,4,0)，
10、N(2,2，a)，A(4,0,0)，M(2,4，a2)，BN(2，2，a)，AM(2,4，a2)，由BNAM 得BN AM 0，48a22 0，a2 2，AA1 的长为 2 2，(2)由(1)可得BN(2，2,2 2)，AD1(4,0,2 2)，cosBN，AD1 BNAD1|BN|AD1|63.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤：1根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；2利用题设条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；3利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角.要注意两角范围不一致，若异面直线 AB、CD 所成角为，则 c
11、os|cosAB，CD|.如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1，底面ABC 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点(1)求BN 的长；(2)求 cosBA1，CB1 的值解：以 C 为原点，以CA、CB、CC1 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Cxyz.(1)依题意，得 B(0,1,0)，N(1,0,1)|BN|102012102 3.(2)依题意，得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)BA1(1，1,2)，CB1(0,1,2)，BA1 CB1 3.|BA1|6，|CB1|5.cosBA
12、1，CB1 BA1 CB1|BA1|CB1|3010.类型四 素养提升构建空间直角坐标系的策略坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)是我们构建空间直角坐标系时的重要依据常见的建系策略有：(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系；(2)利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系；(3)利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系【例 4】如图所示，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H 为
13、 BC 的中点求证：FH平面 EDB.【证明】四边形 ABCD 为正方形，ABBC，又 EFAB，EFBC.又 EFFB，EF平面 BFC.EFFC，ABFH.又 BFFC，H 为 BC 的中点，FHBC.FH平面 ABC.以 H 为坐标原点，HB 为 x 轴正方向，HF 为 z 轴正方向，建立如图所示的坐标系设 BH1，则 A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)设 AC 与 BD 的交点为 G，连接 GE，GH，则 G(0，1,0)，GE(0,0,1)又HF(0,0,1)，HF GE.又 GE平面 EDB，HF平面 EDB，
14、FH平面 EBD.【解后反思】利用向量法解此类问题的关键是建立适当的坐标系，求出直线的方向向量，要证线面平行可证明直线的方向向量与平面内的一个向量共线如右图所示，已知三棱锥 P-ABC 中，PAPC，APCACB90，BAC30，且平面 PAC平面 ABC，求证：平面PAB平面 PBC.证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设 PAPC2a，则 P(0,0，2a)，C(0，2a,0)，A(0，2a,0)，D(63 a,0,0)，B2 63 a，2a，0，所以AP(0，2a，2a)，PC(0，2a，2a)，BC 2 63 a，0，0，所以APBC 0，APPC 0，所以 APPC，APBC，又 P
15、CBCC，所以 AP平面 PBC.因为 AP平面 PAB，所以平面 PAB平面 PBC.1已知 A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC 25AB，则点 C的坐标是()A(65，45，85)B(65，45，85)C(65，45，85)D(65，45，85)解析：AB(3，2，4)，25AB(65，45，85)设 C 点坐标为(x，y，z)，则OC(x，y，z)25AB(65，45，85)故选 A.A2与向量 a(1,2,3)，b(3,1,2)都垂直的向量为()A(1,7,5)B(1，7,5)C(1，7,5)D(1，7，5)解析：利用数量积为零逐一验证可求得C3与向量 a(1
16、，3,2)平行的一个向量的坐标是()A(13，1,1)B(1，3,2)C(12，32，1)D(2，3，2 2)解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式，即 b0，abab，观察选项，只有C 符合C4若 a(2,3，1)，b(2,1,3)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为.解析：ab4，|a|14，|b|14，cosa，b ab|a|b|27，sina，b3 57，S|a|b|sina，b 14 143 57 6 5.6 55已知 A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(34，1,2)(1)求线段 AB 中点 D 的坐标；(2)证明：CDAB，且|AC|BC|.解：(1)设 AB 的中点 D 的坐标为(x，y，z)，则OD 12(OA OB)12(3,3,1)(1,0,5)(2，32，3)，点 D 的坐标为(2，32，3)(2)证明：CD OD OC(2，32，3)(34，1,2)(54，12，1)，ABOB OA(1,0,5)(3,3,1)(2，3,4)，CD AB(54，12，1)(2，3,4)54(2)12(3)14523240.CD AB，即 CDAB.|AC|AC|33423121228116510 116，|BC|BC|13420125221161910 116.|AC|BC|.温示提馨请 做：课时作业 23PPT文稿（点击进入）
