1、河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高一数学12月月考试题 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每小题 5分 ，共计60分 ） 1. 下列命题中正确的有一个棱柱至少有个面； 正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台； 正方形的直观图是正方形； A.个B.个C.个D.个2. 如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则ABCD3. 如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为，则四棱锥的体积为 A. B. C. D.4. 我国古代数学名著九章算术中有“天
2、池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量为（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸） A.寸B.寸C.寸D.寸5. 已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为 A.B.C.D.6. 如图，在直三棱柱中，若半径为的球与三棱柱 的底面和侧面都相切，则三棱柱的体积为A.B.C.D.7. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为 A.B.C.D.8. 在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为A.B.C.D.9. 九章算术中，将四个面都为
3、直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥为鳖臑，平面， ，且三棱锥的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为 A.B.C.D.10. 如图，在四面体中，已知，则四面体被截面分得的上下两部分的体积之比为 A.B.C.D.11. 如图所示，正方体的棱长为，分别为，的中点，点是正方形内的动点包括边界，若平面，则动点的轨迹长度为A.B.C.D.12. 如图，在正方体中，点，分别是棱的中点，给出下列四个推断：平面；平面;平面；平面平面；平面平面.其中推断正确的序号是（） A.B.C.D. 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每小题 5 分 ，共计20分 ） 13. 如图是一个正方体的展开图，如果
4、将它还原为正方体，那么、这四条线段所在直线是异面直线的有_对14. 如图，在正方体中，过顶点与正方体其他顶点的连线与直线成角的条数为_.15. 已知正方体的棱长为，点在线段上，若平面经过点，则它截正方体所得的截面的周长最小值为_.16. 已知正方体的棱长为，点，分别为棱，的中点下列结论中，正确结论的序号是_过，三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；平面；异面直线与所成角的正切值为；四面体的体积等于. 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，第17小题10分，第18至第22小题每题12分，共计70分 ） 17. 计算下列各式 ； .18. 已知正四
5、面体，分别在棱，上，且，为棱上任意一点（不与重合）. 求证：直线平面； (2) 若正四面体的各棱长均为，求三棱锥的体积.19. 已知 若，求函数的定义域； 当时，函数有意义，求实数的取值范围MAA1DCBD1C1B1NEF20. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点（）求证：E，F，B，D四点共面；（）求证：平面AMN平面EFDB；（）画出平面BNF与正方体侧面的交线（需要有必要的作图说明、保留作图痕迹）21. 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且（1）求证：PQ平面A1D1DA；（2
6、）若R是A1B1上的点，的值为多少时，能使平面PQR平面A1D1DA？请给出证明22. 函数，. 求函数的单调性； 若，求使恒成立时的取值范围； 若，任意，存在，使得求实数的取值范围 .参考答案与试题解析一、 选择题 1.因为底面最少为三角形，故个侧面，个底面，共个面，故正确；正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，射影侧面都是全等的等腰三角形，故正确；由于不能保证各侧棱的延长线交于一点，故不正确；正方形的直观图是平行四边形，故不正确.正确的命题只有故选.2.四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，EFBD1，平面AD
7、D1A1平面BCC1B1，G在CC1上，BG平面BD1G，且平面AEF平面BD1G，AFBG，故选：B3.取中点，连接，因为正三棱柱，所以为正三角形，所以.因为正三棱柱，所以平面平面，因此平面，从而四棱锥的体积为.故选.4.由题意可知，天池盆上底面半径为寸，下底面半径为寸，高为寸，积水深寸， 水面半径为(寸)，则盆中水的体积为(立方寸)， 平地降雨量为(寸)故选.5.设圆锥的底面半径为，母线长为，则由侧面展开图是一个中心角为直角的扇形知，则圆锥的侧面积，可得，该圆锥的高为，则该圆锥的体积为.故选.6.由题意可知，内切圆的半径为，有，解得，可得三棱柱的体积为故选7.由三视图可知，该几何体是一个四
8、棱锥，如图所示，且，底面，可求得，在中，由勾股定理得，同理可求得，.故选.8.9.由于在三棱锥中，平面，且四个面都为直角三角形，作出三棱锥，如下图所示：其中，又，所以平面.又因为三棱锥四个面都为直角三角形且四个顶点都在一个正方体的顶点上，所以该正方体如下图所示，可知为正方体的一条棱：又，所以在中，该正方体的表面积为.故选 .10.设的面积为，点到平面的距离为，则.又，点到平面的距离为，所以，所以四面体被截面分得的上下两部分的体积之比为故选11.如图所示，取的中点，的中点，连接，可得：四边形是平行四边形， 同理可得： ，且易知直线与直线相交 平面平面. 点是正方形内的动点包括边界，平面 点在线段
9、上 点的轨迹长度故选.12.对于，由正方体性质可知，平面平面，又平面，故平面，故正确；对于，因为与延长线相交，故与平面不平行，故错误；对于，因为分别为，的中点，所以，又因为平面，所以平面，故正确；对于，由可知与延长线相交，故平面与平面不平行，故错误；对于，由知，平面，同理可证平面，又，所以平面平面，故正确.故正确的序号有.故选.二、 填空题13.如图所示：把展开图再还原成正方体，这四条线段，异面直线的有：和，和，和，和，和，共对.故答案为：.14.过顶点与正方体其他顶点的连线与直线成角的连线有，共条故答案为：.15.当点靠近或与重合时，确定的平面， 平面， ，同理， 四边形是平行四边形，平面就
10、是截面，设，则， ， ，可以看作平面直角坐标系中点到和距离的最小值，关于轴的对称点，连接，其长度即为的最小值，由勾股定理得到， 周长的最小值为，当点靠近或与重合时，确定的平面， 平面， ，同理，所以四边形是平行四边形，平面就是截面，设，则，所以，,证法同上，所以周长的最小值为，综上所述，所以周长的最小值为.故答案为：.16.延长分别与，的延长线交于，连接交于，设与的延长线交于，连接交于，交于，连，如图，则截面六边形为正六边形，故正确； 与相交，故与平面相交，故不正确；正确；取的中点，连接，则， 就是异面直线与的夹角，设正方体的棱长为，可得， 是直角三角形，所以， 异面直线与的夹角的正切值为，故
11、正确；四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故不正确故答案为：.三、 解答题 17.原式原式.18.证明：由，在上，得.又， .又不在平面内，在平面内， 直线平面.解：设为底面的重心，为的中点，如图则， 由知，又不在平面内，在平面内 直线平面， 点与点到平面的距离相等， 三棱锥的体积与三棱锥的体积相等.又三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， ， 三棱锥的体积为19.当时，则必须满足，解得或，即或所以的定义域为或当时，令，则，有意义，即在上恒成立，即在上恒成立因为，当时，所以，所以20.（）证明：连结B1D1，BD，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，C1D1
12、的中点EFB1D1，B1D1BD，EFBD，E，F，B，D四点共面；（）证明：由已知，MN是A1B1D1的中位线，EF是C1B1D1的中位线，MNB1D1，EFB1D1，MNEF，MN平面EFDB，EF平面EFDB，MN平面EFDB，四边形ADFM是平行四边形，AMDF，AMMNM，DFEFF，平面AMN平面EFDB（）解：过B作NF的平行线交DA、DC分别为G、H，连结NG，FH，分别交A1A，C1C于I，J，连结IB，JB，如图，即得到平面BNF与正方体侧面的交线分别为NF、FJ、BJ、BI、IN理由如下：NFA1C1AC，NF平面ABCD，NF平面BNF，设平面ABCD平面BNFl，由线
13、面平行的性质定理得NFl，过B作NF的平行线交DA，DC分虽于G，H，连结NG，FH，分别交A1A，C1C于I，J，连结IB，JB，即可得到平面BNF与正方体侧面的交线分别为NF、FJ、BJ、BI、IN21.（1）证明：连结CP并延长与DA的延长线交于M点，因为四边形ABCD为正方形，所以BCAD，故PBCPDM，所以，又因为，所以，所以PQMD1又MD1平面A1D1DA，PQ平面A1D1DA，故PQ平面A1D1DA（2）解：当的值为时，能使平面PQR平面A1D1DA证明：因为，即有，故所以PRDA又DA平面A1D1DA，PR平面A1D1DA，所以PR平面A1D1DA，又PQPRP，PQ平面A1D1DA所以平面PQR平面A1D1DA22.，令， ，且， ，即在上为单调增函数 .，且恒成立， ，恒成立，不妨设，当，即时，即可， ，则.当，即时，即可， ，则.当即时，即可， ，则.综上所述，.，使得， 令，则，由可知在上为单调增函数，则，且值域为.，其对称轴为， ， ，则在上为单调增函数，则，且值域为， ，即，又 ，的取值范围为.
