1、2012全国各地模拟分类汇编理：立体几何（2）【浙江省杭州第十四中学2012届高三12月月考】若是空间四条直线如果“”，则(A) 且 (B) 中任意两条可能都不平行(C) 或者 (D) 中至少有一对直线互相平行【答案】D【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形且体积为，则该几何体的俯视图可以是 （ ） 【答案】C【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】正四面体ABCD的外接球的球心为0,E是BC的中点，则直线OE与平面BCD所成角的正切值为 （ ）A 1 B C D 【答案】C【广东省执信中学2012第一学期期末】设、表示两条直线，、表示两
2、个平面，下列命题中真命题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【安徽省六校教育研究会2012届高三联考】一个空间几何体的三视图如图（1）所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）（A），（B），（C），（D），【答案】B【广东省执信中学2012第一学期期末】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A24 B30 C36 D42【答案】C【甘肃省天水一中2012第一学期高三第四阶段考】正四面体P-ABC中，M为棱AB
3、的中点，则PB与CM所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【福建省南安一中2012届高三上期末】已知，表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则 其中正确的命题为（ ）A B C. D【答案】C【北京市东城区2012高三第一学期期末】一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的面积为（A） （B） （C） （D）【答案】C【北京市东城区2012高三第一学期期末】下列命题中正确的是 （A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行（B）过一条直线有
4、且只有一个平面与已知平面垂直（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面（D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面【答案】D【北京市西城区2012第一学期期末】某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】D【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】设是两条异面直线，下列命题中正确的是 ( )A过且与平行的平面有且只有一个 B过且与垂直的平面有且只有一个 C与所成的角的范围是 D过空间一点与、均平行的的平面有且只有一个【答案】A【浙江省杭州第十四中学2012届高三12月月考】假设一个四棱锥的正视图和侧视图为两个完
5、全相同的等腰直角三角形（如图所示），腰长为1，则该四棱锥的体积为 【答案】【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】如图是一个几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则这个几何体的表面积是 。【答案】12【广东省执信中学2012第一学期期末】如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该三视图中侧视图的面积为 【答案】【福建省南安一中2012届高三上期末】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】+【北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试】某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .【答案】
6、【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】已知一个几何体的三视图及其长度如图所示，则该几何体的体积为 . 【答案】【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为，侧棱与底面所成的角为，则 .【答案】2【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】 如图，已知四棱台ABCD A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2。 （ I）求证：平面A1ACC1平面B1BDD1； （）求四棱台ABCD - A1B1C1D1的体积； （）求二面角BC1CD的余弦值【答案】解：（）
7、平面 ABCD，底面是正方形，与是平面内的两条相交直线，平面平面，平面平面 （4分）（）过作于，则平面 ABCD，平面在中，求得而，所以四棱台的体积 （8分） （）设与交于点O，连接过点B在平面内作于M，连接由（）知平面，所以平面， 所以，是二面角的平面角在中，求得，从而求得在中，求得，同理可求得在中，由余弦定理，求得（12分）【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点(1)求证 (2)求在线段上找一点G，使面DFG【答案】 (1) 连接A , B, 由正方体的性质可知 ， ，又 又AE (2) 所求G点即为点，证明如下： 由(1) 知 取CD的中
8、点H，连AH, EH . 由DFAH , DFEH AHEH = H 可证DF平面AHE DFAE 又 即AE面DFG【广东省执信中学2012第一学期期末】如图一，平面四边形关于直线对称，把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于对于图二，完成以下各小题：BCDA图2（1）求两点间的距离； CBDA图1（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值【答案】解：（）取的中点，连接，由，得： 就是二面角的平面角， 2分在中， 4 分 （）由， 6分， 又平面 8分（）方法一：由（）知平面平面平面平面 10分平面平面，作交于，则平面，就是与平面所成的角， 12分 14分方法二：设点到平面的距离为，
9、 10分 12分于是与平面所成角的正弦为 14分方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则 10分CBDAEyFzx设平面的法向量为n，则n， n，取，则n， -12分于是与平面所成角的正弦即 14分【福建省南安一中2012届高三上期末】如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，分别是，的中点，点在直线上，且；（）证明：无论取何值，总有；（）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；（）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为30，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由【答案】证明：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），A1C1B1M
10、BAPxyzB1（1，0，1）， M（0，1，），N（，0），CN（1），无论取何值，AMPN4分（2）（0，0，1）是平面ABC的一个法向量。sin=|cos|=当时，取得最大值，此时sin=,cos=,tan=2 8分（3）假设存在，则，设是平面PMN的一个法向量。则得令x=3，得y=1+2,z=2-2|cos|=化简得4100-4413-1080方程（*）无解不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为3013分【北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试】如图，在四棱锥中，平面平面底面为矩形， ，（）求证：；（）求二面角的大小.【答案】证明：（）因为平面平面， ，且面面， 所以平面
11、. 又因为平面 所以 6分 （）由（）可知，. 在中， 所以， 所以平面. 即，, 所以为二面角的平面角 在中， ， 所以二面角的大小 13分法二：取的中点, 的中点 在中，为的中点，所以， 又因为平面平面，且平面平面 所以，平面显然，有 1分 如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PE为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则， 3分（）易知 因为， 所以 6分（）设为平面的一个法向量，则有， 即，所以 7分 显然，平面，所以为平面的一个法向量，所以为平面的一个法向量 9分 所以 ， 所以二面角的大小为 13分【北京市东城区2012高三第一学期期末】如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点， （）求
12、证：平面；（）点在线段上，试确定的值， 使平面； （）若平面，平面平面， 求二面角的大小【答案】证明：（）连接 因为四边形为菱形，所以为正三角形又为中点， 所以因为,为的中点，所以又， 所以平面 4分（）当时，平面下面证明：连接交于，连接 因为， 所以 因为平面，平面，平面平面，所以.所以所以，即 因为，所以 所以，所以.又平面，平面，所以平面 9分（）因为，又平面平面，交线为， 所以平面以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系由=2，则有，设平面的法向量为=，由，且，可得令得所以=为平面的一个法向量取平面的法向量=，则，故二面角的大小为6014分【北京市西城区2012
13、第一学期期末】如图，在直三棱柱中，是的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由 【答案】（）证明：连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，得 四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以 ， 2分因为 平面，平面， 所以 平面. 4分（）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.如图建立空间直角坐标系. 5分设，则.所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得. 7分易知平面的法向量为. 8分由二面角是锐角，得 . 9分所以二面角的余弦值为.（）解：假设存在满足条件的点.因为在线段上，故可设，其中.所以 ，. 11分因为
14、与成角，所以. 12分即，解得，舍去. 13分所以当点为线段中点时，与成角. 14分【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】如图，在正三棱柱中， 是的沿长线上一点，过三点的平面交于，交于 （）求证：平面；20题（）当平面平面时，求的值.【答案】（）因为，在平面外，所以平面；2分是平面与平面的交线，所以，故；4分而在平面外，所以平面6分注：不写“在平面外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.（）解法一：取中点、中点则由知在同一平面上，并且由知而与（）同理可证平行于平面与平面的交线，因此，也垂直于该交线，但平面平面，所以平面，10分于是，12分即14分注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理.（）解法二：如图，取中点、中点. 以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则在平面中,，向量设平面的法向量，则由即得9分在平面中,，向量设平面的法向量，由得12分平面平面，即14分
